Extremwertberechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mo 11.07.2011 | | Autor: | knurrla |
| Aufgabe 1 | Durch die Abbildungsvorschrift f(x,y)= [mm] x^4 [/mm] - 2x² + y² sei eine Funktion auf R² gegeben.
a)Finden Sie alle Punkte, für die die erste Ableitung gleich 0 ist. |
| Aufgabe 2 | | b)Zeigen Sie, dass die Funktion im Punkt (-1,0) ein lokales Extremum annimmt. Um welche Art von Extremum handelt es sich? Berechnen Sie den Extremwert. |
Hallo,
mein Ansatz für Teil a) lautet:
erst die partiellen Ableitungen bilden, dann zusammenfügen und ich bekomme für die 1. Ableitung
[mm] f´(x,y)=(4x^3-4x, [/mm] 2y)
stimmt das soweit? und wenn ja, wie gehts dann weiter? ich weiß derzeit nicht, was ich dann gleich 0 setzen soll und wie ich dann an die Kandidaten für die Extremstellen
komme...
für Teil b):
2. Ableitung bilden und Extremwertkandidaten einsetzen und ab dann hänge ich wieder in der luft.
dass f´´(x) > 0 auf ein lok.Minimum hinweist und < 0 auf ein Maximum weiß ich.
kann mir wer helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mo 11.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Durch die Abbildungsvorschrift f(x,y)= [mm]x^4[/mm] - 2x² + y² sei
> eine Funktion auf R² gegeben.
> a)Finden Sie alle Punkte, für die die erste Ableitung
> gleich 0 ist.
> b)Zeigen Sie, dass die Funktion im Punkt (-1,0) ein
> lokales Extremum annimmt. Um welche Art von Extremum
> handelt es sich? Berechnen Sie den Extremwert.
> Hallo,
>
> mein Ansatz für Teil a) lautet:
>
> erst die partiellen Ableitungen bilden, dann zusammenfügen
> und ich bekomme für die 1. Ableitung
> [mm]f´(x,y)=(4x^3-4x,[/mm] 2y)
das nennt man dann den Gradient: [mm] $\nabla f=(4x^3-4x,2y)$
[/mm]
>
> stimmt das soweit? und wenn ja, wie gehts dann weiter? ich
> weiß derzeit nicht, was ich dann gleich 0 setzen soll und
setze: [mm] $\nabla [/mm] f=0$
> wie ich dann an die Kandidaten für die Extremstellen
> komme...
indem Du die Gleichungen löst. $2y=0$ ist nur für einen Wert erfüllt, wie sieht es mit der anderen Komponente aus?
>
> für Teil b):
> 2. Ableitung bilden und Extremwertkandidaten einsetzen und
Na, ja '2. Ableitung' ist vielleicht etwas zu salopp ausgedrückt. Die Hessematrix ist hier zu bestimmen.
> ab dann hänge ich wieder in der luft.
> dass f´´(x) > 0 auf ein lok.Minimum hinweist und < 0 auf
> ein Maximum weiß ich.
Wenn diese positiv definit ist handelt es sich um ein lokales Minimum und wenn sie negativ definit ist um ein lokales Maximum.
>
> kann mir wer helfen?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mo 11.07.2011 | | Autor: | knurrla |
danke dir schonmal,
also kann ich schonmal sagen, y=0 und für x folgt dann entsprechend:
4x * (x²-1) = 0 -> x=0, 1 oder -1
dh ich hab als mögliche Punkte (0,0) (-1,0) und (1,0).
richtig?
bei b): stimmt, Hessematrix..dann müsst ich wissen wies geht:
f´´(x,y) = [mm] \pmat{ 12x²-4 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
wenn ich da dann den Wert (-1,0) einsetze bekomme ich:
[mm] \pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
stimmt doch, oder? determinanten berechnen bekomm ich dann auch hin. hauptproblem gelöst, rest mache ich dann jetzt :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mo 11.07.2011 | | Autor: | notinX |
> danke dir schonmal,
>
> also kann ich schonmal sagen, y=0 und für x folgt dann
> entsprechend:
>
> 4x * (x²-1) = 0 -> x=0, 1 oder -1
>
> dh ich hab als mögliche Punkte (0,0) (-1,0) und (1,0).
> richtig?
ja.
>
> bei b): stimmt, Hessematrix..dann müsst ich wissen wies
> geht:
>
> f´´(x,y) = [mm]\pmat{ 12x²-4 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
ich würde eher [mm] $H_f(x,y)$ [/mm] oder so schreiben, nicht f''. Außerdem solltest Du den ersten Eintrag der Matrix nochmal nachrechnen.
> wenn ich da dann den Wert (-1,0) einsetze bekomme ich:
>
> [mm]\pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> stimmt doch, oder? determinanten berechnen bekomm ich dann
Ja, stimmt seltsamerweise.
> auch hin. hauptproblem gelöst, rest mache ich dann jetzt
> :)
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Mo 11.07.2011 | | Autor: | knurrla |
in der matrix wird komischeweise mein x² nicht angezeigt, wenn ich auf die matrix klicke bekomm ich aber bei mir den quelltext angezeigt, wo es richtig abzulesen ist. der erste eintrag soll demnach natürlich 12x²-4 sein. so wie es in meinem vorherigen post steht ist die schlussfolgerung natürlich falsch, sorry.
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