Extremwertbestimmung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben ist f(x,y)= cos(4x+4y)
man gebe die kurven mit grad f(x,y)=0 and. dabei soll zwischen Kurven auf denen f ein Maximum und kurven auf den f ein minimum annimmt unterschieden werden. außerdem suche man alle Kurven auf denen der betrag des gradienten maximiert wird. es entsteht für jeden der drei fälle eine Kurvenschar. man stelle diese 3 kurvenscharen in der gestalt [mm] g(x,y)=\alpha(m) [/mm] , [mm] m\in\IZ [/mm] dar, wpbei g und [mm] \alpha [/mm] für jeden der drei fälle zu wählen sind.
hinweis: jedem festen wert m entspricht eine kurve aus der jeweiligen schar. |
zu erst bestimme ich grad f = [mm] \vektor{-4sin(4x+4y) \\ -4sin(4x+4y)}
[/mm]
für grad f(x,y) = 0 [mm] \mapsto [/mm] (4x+4y)=0 was z.b bei (0,0) oder [mm] (\pi/4;\pi/4) [/mm] der fall wäre nun bestimme ich grad f' (x,y) [mm] =\vektor{-16cos(4x+4y) \\ -16cos(4x+4y)} [/mm] bei (0;0) wäre dies kleiner als 0 und somit ein maximum, und meine anderen punkte irgendwie auch.
ich habe auch die befürchtung das mein rechenansatz nicht 100%korrekt ist, deswegen würde ich mich über hinweise, hilfe und ähnliches sehr freuen!
schönen gruß und besten dank schonmal!
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Du mußt in deinen Folgerungen vorsichtiger sein. Wenn der Gradient 0 ist, folgt nicht [mm]4x+4y = 0[/mm], sondern allgemeiner [mm]4x+4y = k \pi[/mm] mit [mm]k \in \mathbb{Z}[/mm] geeignet. Welche "Kurven" werden durch diese Gleichungen beschrieben?
Und dann würde ich einfach den Wert von [mm]4x+4y[/mm] in [mm]f(x,y)[/mm] einsetzen. Dann sieht man sofort, ob sich ein Minimal- oder Maximalwert ergibt, schließlich kennt man die Cosinusfunktion aufs genaueste.
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