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| Aufgabe | | Zu bestimmen die relativen und absoluten Extrema der Funktion[mm]f(x,y)=3x(1-y^2)-x^3[/mm] im Bereich [mm] x^2+y^2\le4[/mm]. |
Folgendes habe ich bisher gerechnet:
[mm]f(x,y)=3x(1-y^2)-x^3[/mm]
<=> [mm]f(x,y)=3x-3xy^2-x^3[/mm]
=> [mm] Dxf=3-3y^2-3x^2[/mm] und [mm]Dyf=-6xy[/mm]
=> [mm]\begin{pmatrix} 3-3y^2-3x^2 \\ -6xy \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}[/mm]
<=> [mm]\begin{pmatrix} x^2+y^2 \\ xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}[/mm]
Danach habe ich eine Fallunterscheidung gemacht.
Fall 1:
Wenn x=0
=> y=1
Fall 2:
Wenn y=0
=> x=1
Dann waere der 1.Fall ein relatives Extremum und der 2.Fall ein absolutes, weil ||f(1,0)||=2>||f(0,1)||=0
Ist meine Idee richtig?
Gruss
mathestudent
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zu bestimmen die relativen und absoluten Extrema der
> Funktion[mm]f(x,y)=3x(1-y^2)-x^3[/mm] im Bereich [mm]x^2+y^2\le4[/mm].
> Folgendes habe ich bisher gerechnet:
>
> [mm]f(x,y)=3x(1-y^2)-x^3[/mm]
>
> <=> [mm]f(x,y)=3x-3xy^2-x^3[/mm]
>
> => [mm]Dxf=3-3y^2-3x^2[/mm] und [mm]Dyf=-6xy[/mm]
>
> => [mm]\begin{pmatrix} 3-3y^2-3x^2 \\ -6xy \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}[/mm]
>
> <=> [mm]\begin{pmatrix} x^2+y^2 \\ xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}[/mm]
>
> Danach habe ich eine Fallunterscheidung gemacht.
>
> Fall 1:
>
> Wenn x=0
>
> => y=1
Nein, es folgt: $y = [mm] \pm [/mm] 1$
> Fall 2:
>
> Wenn y=0
>
> => x=1
Nein, es folgt: $x = [mm] \pm [/mm] 1$
>
> Dann waere der 1.Fall ein relatives Extremum und der 2.Fall
> ein absolutes, weil ||f(1,0)||=2>||f(0,1)||=0
>
> Ist meine Idee richtig?
Nein, was sollen oben die Normstriche ?????
Tipp: Hessematrix
FRED
>
> Gruss
>
> mathestudent
>
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Also ich schaetze, dass das plusminus wegen dem wurzelziehen kommt und wichtig ist um deine Hesse Matrix aufzuspannen. Ist die Hessematrix die approximierte lineare Abbildung von f(x,y) und wie unterscheide ich dann, ob das Extremum lokal oder relativ ist?
Gruss
mathestudent
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also ich schaetze, dass das plusminus wegen dem
> wurzelziehen kommt
Ja
> und wichtig ist um deine Hesse Matrix
die gehört nicht mir ....
>
> aufzuspannen. Ist die Hessematrix die approximierte lineare
> Abbildung von f(x,y)?
Nein. Den Begriff Hessematrix hattet Ihr sicher. Schau noch mal nach
FRED
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Also ich habe mal in meinem Skript geschaut. Dort ist mit keinem Wort die Hesse-Matrix erwähnt (also nur indirekt). Aber ich habe mal bei Wikipedia geschaut unter dem besagten Stichwort. Muss ich die Determinante für die Matrix als hinreichendes Kriterium nehmen oder die Eigenwerte? Muss ich ableiten bis ich 0 heraus bekomme? Inwiefern muss ich meine Fallunterscheidung einbringen? Mir ist das Verfahren nicht ganz klar.
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