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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremwerte
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Extremwerte: 2 variable
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Mo 03.08.2009
Autor: domerich

Aufgabe
Bestimmen Sie alle stationären Punkte der folgenden Funktionen und untersuchen Sie mittels
der zweiten partiellen Ableitungen, ob Extrema vorliegen und von welchem Typ diese sind:

[mm] w=-x^2-3y^2+7x+2y+3 [/mm]

und v= [mm] (x+y)^2 [/mm]

für w habe ich
fx= -2x+7=0
fy=-6y+2=0

und mit (3.5,1/3)

dann mit Hess

-2 0
0 -6 det>0 , -2<0 -> Maximum?

und für v

fx 2x+2y=0
fy=2y+2x=0

kriege ich mit x=-y
0=0

was bringt mir das? die aussage ist wahr mehr aber auch nicht!


        
Bezug
Extremwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Mo 03.08.2009
Autor: fred97


> Bestimmen Sie alle stationären Punkte der folgenden
> Funktionen und untersuchen Sie mittels
>  der zweiten partiellen Ableitungen, ob Extrema vorliegen
> und von welchem Typ diese sind:
>  
> [mm]w=-x^2-3y^2+7x+2y+3[/mm]
>  
> und v= [mm](x+y)^2[/mm]
>  für w habe ich
>  fx= -2x+7=0
>  fy=-6y+2=0
>  
> und mit (3.5,1/3)
>  
> dann mit Hess
>  
> -2 0
> 0 -6 det>0 , -2<0 -> Maximum?

Alles O.K.



>  
> und für v
>  
> fx 2x+2y=0
>  fy=2y+2x=0
>  
> kriege ich mit x=-y

Die Punkte auf der Geraden mit der Gleichung y = -x sind  stationäre Punkte von v !!!!!. Für y = -x ist v = 0, ansonsten ist v [mm] \ge [/mm] 0.

Fazit : in jedem Punkt obiger Gerade hat v ein absolutes Minimum

FRED




>  0=0
>  
> was bringt mir das? die aussage ist wahr mehr aber auch
> nicht!
>  


Bezug
                
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Mo 03.08.2009
Autor: domerich

klingt logisch, danke

Bezug
                        
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Mo 03.08.2009
Autor: fred97


> klingt logisch,

Da bin ich aber froh !

FRED


> danke  


Bezug
                
Bezug
Extremwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Mo 03.08.2009
Autor: domerich

zu früh gefreut ^^

es sind alles kandiaten auf der Geraden, einverstanden.

warum aber sind das alles Minima?

Bezug
                        
Bezug
Extremwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Mo 03.08.2009
Autor: fred97


> zu früh gefreut ^^
>  
> es sind alles kandiaten auf der Geraden, einverstanden.
>  
> warum aber sind das alles Minima?

Nochmal:

Es ist

            v(x,y) [mm] =(x+y)^2 \ge [/mm] 0 für jedes (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm]

und    

              v(x,y) = 0, falls  y = -x

FRED

Bezug
                                
Bezug
Extremwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Mo 03.08.2009
Autor: domerich

so klug bin ich nicht. einzusehen ist dass dieses flächengebilde immer positiv ist also alle z werte positiv sind. das heißt dann es gibt kein maximum?

diese gerade y=-x kann ich mir ja malen aber ich verstehe das ganze nicht

Bezug
                                        
Bezug
Extremwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Mo 03.08.2009
Autor: fred97


> so klug bin ich nicht. einzusehen ist dass dieses
> flächengebilde immer positiv ist

Für jedes z [mm] \in \IR [/mm] gilt: [mm] z^2 \ge [/mm] 0

Das dürfte Dir bekannt sein.  Also ist auch [mm] (x+y)^2 \ge [/mm] 0


> also alle z werte positiv
> sind. das heißt dann es gibt kein maximum?
>  
> diese gerade y=-x kann ich mir ja malen aber ich verstehe
> das ganze nicht

Wenn y=-x ist, so ist

            v(x,y) = v(x,-x) = [mm] (x-x)^2 [/mm] = 0

V ist also auf dem ganzen [mm] \IR^2 \ge [/mm] 0 und auf der Geraden y=-x ist v = 0.

FRED



Bezug
                                                
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Mo 03.08.2009
Autor: domerich

jetzt thx

Bezug
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