Extremwerte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Do 19.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Wenn ich eine Gleichung mit mehreren Komponenten habe und Extremwerte bestimmen soll, wie mache ich das dann am besten? z.B. beim Bsp. :
f: [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] , [mm] f(x,y,z):=(z-1)^2(x^2-y^2-z^2)
[/mm]
Ich dachte eigentlich, dass ich einfach die Jakobimatrix aufstelle und gleich Null setze. Dann bekäme ich doch raus:
[mm] \vektor{2(z-1)^2x \\ -2(z-1)^2y \\ 2(z-1)[(x^2-y^2-z^2)-z(z-1)] }= \vektor{0 \\ 0 \\ 0 }, [/mm] also z=1 mit beliebigen x,y und x=0, y=0 und z=0 oder z=0,5
Stimmt wenigstens das so im Ansatz? Wenn ja, kann ich nicht weiter einfach (wie in der Schulmathematik) mit der zweiten Ableitung arbeiten? Reicht das, um aufzuzeigen, dass das Extremwerte sind? Wenn nicht, wie dann?Ich meine, mich zu erinnern, dass irgendwo irgendwann einmal in dem Zusammenhang der Begriff Eigenwerte fiel.
Ich habe keinen Plan und hoffe auf Hilfe.
San
PS: Vielleicht kann mir jemand das ganze am Beispiel von g: [mm] \IR^2 \to \IR, g(x,y):=-(x^2+y^2)(x^2+y^2-1) [/mm] erklären?
Schon mal im Voraus vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Do 19.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Sanshine!
Deine Rechung ist richtig; ich habe alles nachgerechnet! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Der Ansatz stimmt auch!
Jetzt hast du also die kritischen Punkte berechnet. Du musst dir nun allgemein die Hesse-Matrix in diesen Punkten anschauen (dies ist eine Art zweite Ableitung im Mehrdimensionalen, wie du es meintest). In ihr stehen die zweiten partiellen Ableitung. In deinem Fall sähe sie so aus:
[mm] $(Hf)(x_0,y_0,z_0):=\pmat{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0,z_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0,z_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}(x_0,y_0,z_0) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x_0,y_0,z_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0,z_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z}(x_0,y_0,z_0) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x}(x_0,y_0,z_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}(x_0,y_0,z_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}(x_0,y_0,z_0)}$.
[/mm]
Rechne diese Matrix jetzt für deine kritischen Punkte [mm] $(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] einmal aus.
Es gilt nun:
1) Ist [mm] $(Hf)(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] negativ definit, so hat $f$ in [mm] $(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] ein lokales Maximum.
2) Ist [mm] $(Hf)(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] positiv definit, so hat $f$ in [mm] $(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] ein lokales Minimum.
3) Ist [mm] $(Hf)(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] indefinit, so hat $f$ in [mm] $(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] kein lokales Extremum, sondern einen Sattelpunkt.
Bei positiver oder negativer Semidefinitheit kann man keine Aussage machen.
Du findest alles Wichtige dazu (mit Beispielen) ![[]](/images/popup.gif) hier.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Do 19.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank. Muss mal sehen, ob ich das alles auch wirklich so fertig gerechnet bekommen, aber ich versuchs ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
|
|
|
|
