Extremwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Sei f(x,y) eine stetige Funktion,
es kann sein, dass die Funktion nur ein globales inneres Maximum und Minimum hat, aber kein lokales.
Begründen Sie, warum diese Aussage falsch ist. |
Hallo,
ich verstehe nicht so ganz wieso die Aussage falsch sein soll. Mir fällt eine Funktion ein kein lokales, aber trotzdem ein globales Maximum und globales Minimum besitzt.
Ich habe sie hiermal gezeichnet:
http://i39.tinypic.com/2w4jqe0.jpg
Was bedeutet eigentlich inneres globales Maximum? Dass der Definitionsbereich abgeschlossen und beschränkt ist?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f(x,y) eine stetige Funktion,
> es kann sein, dass die Funktion nur ein globales inneres
> Maximum und Minimum hat, aber kein lokales.
>
> Begründen Sie, warum diese Aussage falsch ist.
> Hallo,
>
> ich verstehe nicht so ganz wieso die Aussage falsch sein
> soll.
Weil jedes globale Extremum auch ein lokales Extremum ist.
> Mir fällt eine Funktion ein kein lokales, aber
> trotzdem ein globales Maximum und globales Minimum
> besitzt.
>
> Ich habe sie hiermal gezeichnet:
>
> http://i39.tinypic.com/2w4jqe0.jpg
>
> Was bedeutet eigentlich inneres globales Maximum? Dass der
> Definitionsbereich abgeschlossen und beschränkt ist?
Nein. Ist D der Definitionsbereich von f und ist [mm] x_0 [/mm] ein innerer Punkt von D, indem f ein lokales oder globales Extremum hat, so spricht man von einem inneren Extremum.
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Mathics |
d.h. also, dass lokales und inneres Extremum dasselbe ist, bedeutet es handelt sich um ein Extremum an einem stationären Punkt, damit ist die Steigung gleich Null?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> d.h. also, dass lokales und inneres Extremum dasselbe ist,
nein. Das hat doch keiner gesagt !
> bedeutet es handelt sich um ein Extremum an einem
> stationären Punkt, damit ist die Steigung gleich Null?
Das alles hat zunächst nix mit Steigung etc ... zu tun.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Mathics |
Aber ein inneres Extremum heißt doch, dass es nicht am Rand oder an einer Knickstelle liegt, sodass das Schaubild in diesem Punkt eine waagerechte Tangente besitzt. Also gilt für innere Extrempunkte als notwendige Bedingung:
f′(x)=0
Und genau dasselbe gilt doch auch für ein lokales Extremum.
Wieso hat das jetzt nichts damit zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Aber ein inneres Extremum heißt doch, dass es nicht am
> Rand oder an einer Knickstelle liegt,
Es liegt nicht auf dem Rand des Definitionsbereichs, das stimmt.
Das mit dem Knick kannst Du knicken !
> sodass das Schaubild
> in diesem Punkt eine waagerechte Tangente besitzt.
Wieso das denn ?
> Also
> gilt für innere Extrempunkte als notwendige Bedingung:
>
> f′(x)=0
Nein. f muss doch nicht differenzierbar sein !
>
> Und genau dasselbe gilt doch auch für ein lokales
> Extremum.
Nein. f muss doch nicht differenzierbar sein !
>
Beispiel: D:=[-1,1], f(x)=|x|
f hat in [mm] x_0=0 [/mm] ein inneres lokales und globales Minimum (denn [mm] x_0= [/mm] ist innerer Punkt von D)
f ist in [mm] x_0=0 [/mm] nicht differenzierbar
f hat in [mm] x_1=1 [/mm] ein globales Maximum und es ist [mm] f'(x_1)=1 \ne [/mm] 0.
f hat in [mm] x_2=-1 [/mm] ein globales Maximum und es ist [mm] f'(x_2)=-1 \ne [/mm] 0.
FRED
>
> Wieso hat das jetzt nichts damit zu tun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Mathics |
> Beispiel: D:=[-1,1], f(x)=|x|
Das bedeutet jetzt, dass das Intervall von -1 bis 1 geht und damit 0 in diesem Intervall enthalten ist?
>
> f hat in [mm]x_0=0[/mm] ein inneres lokales und globales Minimum
> (denn [mm]x_0=[/mm] ist innerer Punkt von D)
>
> f ist in [mm]x_0=0[/mm] nicht differenzierbar
Wieso ist es nicht differenzierbar? Der Graph geht doch von P(-1|-1) über (0|0) bis Q(1|1) oder? Wo ist denn quasi die Unterbrechung?
> f hat in [mm]x_1=1[/mm] ein globales Maximum und es ist [mm]f'(x_1)=1 \ne[/mm]
> 0.
>
> f hat in [mm]x_2=-1[/mm] ein globales Maximum und es ist [mm]f'(x_2)=-1 \ne[/mm]
> 0.
Ist die Ableitung von f(x)=x nicht immer 1 und damit f'(x2) auch 1 ?
> FRED
>
>
> >
> > Wieso hat das jetzt nichts damit zu tun?
>
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Hallo,
> > Beispiel: D:=[-1,1], f(x)=|x|
>
> Das bedeutet jetzt, dass das Intervall von -1 bis 1 geht
> und damit 0 in diesem Intervall enthalten ist?
>
> >
> > f hat in [mm]x_0=0[/mm] ein inneres lokales und globales Minimum
> > (denn [mm]x_0=[/mm] ist innerer Punkt von D)
> >
> > f ist in [mm]x_0=0[/mm] nicht differenzierbar
>
> Wieso ist es nicht differenzierbar? Der Graph geht doch von
> P(-1|-1) über (0|0) bis Q(1|1) oder? Wo ist denn quasi die
> Unterbrechung?
Nein, FRED hat als Beispiel die Betragsfunktion angegeben, deren Schaubild bekanntlich an de Stelle x=0 einen Knick hat, der ein Minimum darstellt. Ist es ein globalkes Minumum, ein inneres?
>
> > f hat in [mm]x_1=1[/mm] ein globales Maximum und es ist [mm]f'(x_1)=1 \ne[/mm]
> > 0.
> >
> > f hat in [mm]x_2=-1[/mm] ein globales Maximum und es ist [mm]f'(x_2)=-1 \ne[/mm]
> > 0.
>
> Ist die Ableitung von f(x)=x nicht immer 1 und damit f'(x2)
> auch 1 ?
Wie gesagt: das ist die falsche Funktion.
Ich möchte zwei Dinge anmerken:
- In deiner Ausgangsfrage geht es um Funktionen zweier Veränderlicher, also vom Typ z=f(x,y), deren Schaubilder Flächen sind.
- Es ist vollkommen in Ordnung, in einem Forum wie dem unseren Verständnisfragen zu stellen. Damit man dir dabei aber dann zielführend helfen kann, ohne gleich ein ganzes Analysisbuch aus dem Stegreif verfassen zu müssen, solltest du deine Fragen besser vorbereiten und strukturieren. Mir ist in dem ganzen Thread nicht klar geworden, was du eigentlich wissen möchtest. Ausgangspunkt ist eine Aufgabe, das ist schon klar. Aber dir dürfte auch klar sein, dass das hier eigentlich eine Frage ist, die du gestellt hast, um wichtige Grundlagen nachzufragen? Nur wie gesagt: man bzw. ich kann hier kaum nachvollziehen, woran es hakt, denn die Unterscheidung von Extrema auf der einen Seite in lokal und global, auf der anderen Seite in innere und äußere, das ist ja eigentlich schon Schulmathematik.
Vielleicht schlägst du das alles einfach in deinen Unterlagen nochmals nach, versuchst die Aufgabe besser zu verstehen und meldest dich dann gerne wieder, mit möglichst präzisen Fragen bewaffnet! 
Gruß, Diophant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:33 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Mathics |
Ich habe deinen Rat verfolgt und meine Gedanken gesammelt.
Hier habe ich meine Gedanken aufgezeichnet.
http://imageshack.com/a/img826/6524/by6r.jpg
Beim 1. ist das globale Maximum ja im Definitionsbereich und damit ein inneres, wohingegen das globale Minimum ein Randextremum ist und damit kein inneres?
Ein lokales Maximum kommt ja dann vor, wenn es in seiner nahen Umgebung der höchste Punkt ist. Dies ist bei 3. ja der Fall. Damit ist ein lokales Maximum immer ein inneres Maximum? Und die Steigung ist ja hierbei auch Null? Kann ich mir das so merken, dass ein lokales Maximum immer ein inneres ist und die Steigung Null hat? Also das lokale Maximum immer im stationären Punkt zu finden ist?
Bei 4. bin ich mir aber unsicher, ob ein lokales Minimum vorliegt, undzwar rechts außen der ersten Gerade oder handelt es sich um ein globales Extremum am linken Rand?
LG
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Hallo,
gleich mal vorneweg: ich tue hier etwas, was ich eigentlich prinzipiell nicht mache. Ich antworte auf eine Frage, von der wesentliche Teile per Link in irgendeinem Online Cloud-Dienst liegen. Ich sehe das eigentlich nicht ein, dass ich da extra noch andere Webseiten aufrufen muss und mich ggf. noch mit Werbepopups und dergleichen herumschlagen muss.
Solche selbst angefertigten Werke kannst du bei uns hochladen, ganz abgesehen davon dass die zugehörigen Rechnungen abgetippt gehören!
> Ich habe deinen Rat verfolgt und meine Gedanken gesammelt.
Das kann man m.A. nach nicht wirklich nachvollziehen. Das einzige, was man mit Sicherheit sagen kann, ist, dass du dich eben nicht darum gekümmert hast, was amn unter einem inneren bzw. einem äußeren Extremum versteht.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Di 17.12.2013 | | Autor: | Mathics |
Ich entschuldige mich vielmals für den externen Link, kommt in Zukunft nicht wieder vor!
Ich hatte in der Schule nie die Unterscheidung zwischen innerem und äußerem Extremum gehabt, sodass ich im Internet gesucht habe. Aus meiner Recherche und aus den Vorlesungsfolien habe ich verstanden, dass ein inneres Maximum bedeutet, dass der Punkt innerhalb von D liegen muss und folglich ein stationärer Punkt ist, sodass gilt: f'(x)=0. Dann hab ich mir überlegt, dass die Funktion ja auch unstetig sein kann und eben dann auch ein inneres Maximum aber ohne f'(x)=0 vorliegen kann.
Könnte man inneres Maximum denn so wie ich es beschrieben habe definieren?
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Hallo,
> Ich hatte in der Schule nie die Unterscheidung zwischen
> innerem und äußerem Extremum gehabt, sodass ich im
> Internet gesucht habe. Aus meiner Recherche und aus den
> Vorlesungsfolien habe ich verstanden, dass ein inneres
> Maximum bedeutet, dass der Punkt innerhalb von D liegen
> muss und folglich ein stationärer Punkt ist, sodass gilt:
> f'(x)=0. Dann hab ich mir überlegt, dass die Funktion ja
> auch unstetig sein kann und eben dann auch ein inneres
> Maximum aber ohne f'(x)=0 vorliegen kann.
Nein, das ist glaube ich der Knackpunkt. Unter einem inneren Extremum versteht man im Fall von Funktionen vom Typ y=f(x) grundsätzlich eines mit f'(x)=0. Alle anderen Extrema sind äußere bzw. Randextrema.
> Könnte man inneres Maximum denn so wie ich es beschrieben
> habe definieren?
Könnte man sicherlich, macht man aber nicht, das würde IMO auch keinerlei Sinn ergeben.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Di 17.12.2013 | | Autor: | Mathics |
Achso okay jetzt ist es mir klar. Vielen Dank! :)
Bezeichnet man ein Randmaximum eigentlich auch als ein lokales Maximum?
Für ein lokales Maximum muss ja gelten f(x*,y*) [mm] \ge [/mm] f (x,y) für alle (x,y) hinreichend nahe bei (x*, y*). Ist dass dann für ein Randmaximum auch erfüllt?
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Hallo,
> Achso okay jetzt ist es mir klar. Vielen Dank! :)
>
> Bezeichnet man ein Randmaximum eigentlich auch als ein
> lokales Maximum?
Nein, das darfst du nicht durcheiander bringen. Das ist ein anderer Gesichtspunkt, unter dem man Extrema betrachtet, bei der Unterscheidung anch lokal oder global geht es ja nur darum, ob es zu einem vorgelgten Extremum ein weiteres gibt, welches dieses über- bzw. unterschreitet. Ist dies der Fall, ist das vorgelegte Extremum ein lokales, sonst ist es global. Ob es sich dabei jetzt gerade um innere oder um äußere Extrema handelt, interessiert dabei nicht.
> Für ein lokales Maximum muss ja gelten f(x*,y*) [mm]\ge[/mm] f
> (x,y) für alle (x,y) hinreichend nahe bei (x*, y*). Ist
> dass dann für ein Randmaximum auch erfüllt?
Ja.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Di 17.12.2013 | | Autor: | Mathics |
Aber es stimmt doch, dass jedes globale Maximum auch ein lokales Maximum ist, oder? Und da ein Randmaximum ja auch ein globales Maximum sein kann, würde ich schlussfolgern, dass es auch ein lokales Maximum ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Aber es stimmt doch, dass jedes globale Maximum auch ein
> lokales Maximum ist, oder?
Ja
> Und da ein Randmaximum ja auch
> ein globales Maximum sein kann,
Ja, sowas kommt vor.
> würde ich schlussfolgern,
> dass es auch ein lokales Maximum ist?
Ja
FRED
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