Extremwerte - Hesse < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Finden Sie die absoluten Hoch - Tiefpunkte der Funktion:
f(x,y) = x*y*(2-x-y) auf
D= {(x,y): [mm] x\ge [/mm] 0, [mm] y\ge [/mm] 0, 3x+2y-6 [mm] \le [/mm] 0}
Untersuchen Sie weiters die Punkte 0 = (0 / 0) , A = (2 / 0) und B (0 / 3) |
Hallo alle zusammen!
Die Aufgabe habe ich eig. fast gelöst, ums zu Vervollständigen führe ich alles an:
Mit Lagrange:
x*y*(2-x-y) [mm] \lambda [/mm] * (3x+2y-6)
Partielle Ableitungen:
[mm] \partial [/mm] x -2*x*y - y² +2*y +3* [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \partial [/mm] y -2*y*x - x² +2*x +2* [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \partial \lambda [/mm] 3*x + 2*y -6 = 0
Also:
(--> bedeutet: Auflösen der Formel nach ...
=> bedeutet: Einsetzen in Formel ... )
[mm] \partial [/mm] x --> [mm] \lambda
[/mm]
[mm] \partial \lambda [/mm] --> y
=> [mm] \partial [/mm] y --> x
Ergebnis (mit Derive kontrolliert) :
x= 2 / 3 und x = 2
somit:
P1 ( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] / 2)
P ( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] / 2) <= nicht gültig da y größer gleich 0 sein muss
gleiches Spiel nochmal:
[mm] \partial [/mm] y --> [mm] \lambda
[/mm]
[mm] \partial \lambda [/mm] --> x
=> [mm] \partial [/mm] x --> y
Ergebnis (mit Derive kontrolliert) :
y = 0 und y = 2
wobei y= 0 gleich dem Punkt "A" ist, somit:
P2 (0 / 2)
Die Punkte dürften somit alle gefunden sein, somit kommt jetzt der Teil weshalb ich euch frage; Hesse-Matrix.
[mm] f_{x}= [/mm] - (2*x+y-2)*y
[mm] f_{y}= [/mm] - (2*y+x-2)*x
[mm] f_{xx}= [/mm] -2y
[mm] f_{xy}=-2y [/mm] -2(x-1)
[mm] f_{yy}= [/mm] -2x
Hesse:
det [mm] \pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} }
[/mm]
In meinem Lehrbuch steht jetzt folgendes:
Eine Funktion z=f(x;y) besitzt an der Stelle [mm] (x_{0}; y_{0}) [/mm] einen relativen Extremwert, wenn die folgenden Bedingungen zugleich erfüllt sind:
1) Die aprtiellen Ableitungen 1. Ordnung verschwinden in [mm] (x_{0}; y_{0})
[/mm]
[mm] f_{x} (x_{0} [/mm] ; [mm] y_{0}) [/mm] = 0
[mm] f_{y} (x_{0} [/mm] ; [mm] y_{0}) [/mm] = 0
2) etwas mit der Diskrimante...
Wenden wir das ganze auf meinen Fall an:
det [mm] \pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} }
[/mm]
=
[mm] \Delta [/mm] = [mm] f_{xx} [/mm] (x0 ; y0) * [mm] f_{yy} [/mm] (x0 ; y0) - [mm] f_{xy}² [/mm] (x0,y0)
für P2 ist die 1. Bedingung erfüllt, also [mm] f_{x} [/mm] sowie [mm] f_{y} [/mm] = 0, somit kann ich mir [mm] \Delta [/mm] ausrechnen, was -4 entspricht.
Also ist es ein Sattelpunkt
Für Punkt "O" kann man keine Entscheidung fällen, da [mm] \Delta [/mm] = 0 ist.
Meine Problemzonen sind jetzt die Punkte: A / B und P1, sie alle erfüllen das Kriterium 1) nicht, als Beispiel P1 hat [mm] f_{y} [/mm] nicht gleich 0.
Was kann ich nun tun, um zu bestimmen, um welchen Punkt es sich hier handelt?
Ich danke euch!
mit freundlichen Grüßen
Zuggel
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Finden Sie die absoluten Hoch - Tiefpunkte der Funktion:
>
> f(x,y) = x*y*(2-x-y) auf
> D= {(x,y): [mm]x\ge[/mm] 0, [mm]y\ge[/mm] 0, 3x+2y-6 [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}
>
> Untersuchen Sie weiters die Punkte 0 = (0 / 0) , A = (2 /
> 0) und B (0 / 3)
> Hallo alle zusammen!
>
> Die Aufgabe habe ich eig. fast gelöst, ums zu
> Vervollständigen führe ich alles an:
>
> Mit Lagrange:
>
> x*y*(2-x-y) [mm]\lambda[/mm] * (3x+2y-6)
>
> Partielle Ableitungen:
>
> [mm]\partial[/mm] x -2*x*y - y² +2*y +3* [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]\partial[/mm] y -2*y*x - x² +2*x +2* [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]\partial \lambda[/mm] 3*x + 2*y -6 = 0
>
> Also:
>
> (--> bedeutet: Auflösen der Formel nach ...
> => bedeutet: Einsetzen in Formel ... )
>
> [mm]\partial[/mm] x --> [mm]\lambda[/mm]
> [mm]\partial \lambda[/mm] --> y
>
> => [mm]\partial[/mm] y --> x
>
> Ergebnis (mit Derive kontrolliert) :
>
> x= 2 / 3 und x = 2
>
> somit:
>
> P1 ( [mm]\bruch{2}{3}[/mm] / 2)
> P ( [mm]\bruch{2}{3}[/mm] / 2) <= nicht gültig da y größer gleich 0
> sein muss
>
> gleiches Spiel nochmal:
>
> [mm]\partial[/mm] y --> [mm]\lambda[/mm]
> [mm]\partial \lambda[/mm] --> x
>
> => [mm]\partial[/mm] x --> y
>
> Ergebnis (mit Derive kontrolliert) :
>
> y = 0 und y = 2
>
> wobei y= 0 gleich dem Punkt "A" ist, somit:
>
> P2 (0 / 2)
>
> Die Punkte dürften somit alle gefunden sein, somit kommt
> jetzt der Teil weshalb ich euch frage; Hesse-Matrix.
Hallo,
ich habe Ableitungen un d Punkte nicht nachgerechnet, ich gehe davon aus, daß bis hierher alles richtig ist.
Als Kandidaten für Extrema innerhalb des zu betrachtenden Bereiches hast Du zu untersuchen
[mm] P_1 (\bruch{2}{3}/ [/mm] 2) [mm] ,P_2 [/mm] (0 / 2), A(2/0)
Hierfür hast Du bereits die Hessematrix aufgestellt.
>
> [mm]f_{x}=[/mm] - (2*x+y-2)*y
> [mm]f_{y}=[/mm] - (2*y+x-2)*x
>
> [mm]f_{xx}=[/mm] -2y
> [mm]f_{xy}=-2y[/mm] -2(x-1)
>
> [mm]f_{yy}=[/mm] -2x
>
> Hesse:
>
> det [mm]\pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} }[/mm]
>
> In meinem Lehrbuch steht jetzt folgendes:
>
> Eine Funktion z=f(x;y) besitzt an der Stelle [mm](x_{0}; y_{0})[/mm]
> einen relativen Extremwert, wenn die folgenden Bedingungen
> zugleich erfüllt sind:
>
> 1) Die aprtiellen Ableitungen 1. Ordnung verschwinden in
> [mm](x_{0}; y_{0})[/mm]
> [mm]f_{x} (x_{0}[/mm] ; [mm]y_{0})[/mm] = 0
> [mm]f_{y} (x_{0}[/mm] ; [mm]y_{0})[/mm] = 0
Mithilfe dieser Bedingung hast Du bereits die infrage kommenden Punkte innerhalb des Bereiches abgeschöpft. Das war oben, als Du die partiellen Ableitungen =0 gesetzt hattest.
>
> 2) etwas mit der Diskrimante...
Ja. (Das folgende gilt für Funktionen mit zwei Variablen)
Wenn die Determinante der Hessematrix am betrachteten Punkt
-größer als Null ist und der erste Eintrag in der Matrix kleiner als Null, hast Du ein Maximum,
-größer als Null ist und der erste Eintrag in der Matrix größer als Null, hast Du ein Minimum,
-kleiner als Null ist, hast Du einen Sattelpunkt.
Du mußt jetzt nur die drei Punkte untersuchen, die Du als kritische Punkte ermittelt hast, für die anderen bringt Dir die Hessematrix gar nichts.
Die Untersuchungen, die Du gerade durchführst, dienen dazu, Dir die lokalen Extrema im zu betrachtenden Bereich zu finden.
>
> Wenden wir das ganze auf meinen Fall an:
>
> det [mm]\pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} }[/mm]
>
> =
>
> [mm]\Delta[/mm] = [mm]f_{xx}[/mm] (x0 ; y0) * [mm]f_{yy}[/mm] (x0 ; y0) - [mm]f_{xy}²[/mm]
> (x0,y0)
>
> für P2 ist die 1. Bedingung erfüllt, also [mm]f_{x}[/mm] sowie [mm]f_{y}[/mm]
> = 0, somit kann ich mir [mm]\Delta[/mm] ausrechnen, was -4
> entspricht.
> Also ist es ein Sattelpunkt
Ich hab's nicht nachgerechnet, der Schluß ist jedenfalls richtig.
>
> Für Punkt "O" kann man keine Entscheidung fällen, da [mm]\Delta[/mm]
> = 0 ist.
s.o.
>
> Meine Problemzonen sind jetzt die Punkte: A / B und P1, sie
> alle erfüllen das Kriterium 1) nicht, als Beispiel P1 hat
> [mm]f_{y}[/mm] nicht gleich 0.
Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
a. Rechenfehler,
b. [mm] P_1 [/mm] ist kein kritischer Punkt.
Wenn es so ist, daß der Gradient bei [mm] P_1 \not=0, [/mm] kann bei [mm] P_1 [/mm] kein lokaler4 Extremwert vorliegen.
Zum Punkt A: wo liegt hier Dein Problem? (Ich habe det=-4, hab' ich falsch gerechnet?)
Was haben wir jetzt? Wir haben festgestellt, daß es in dem Gebiet keine lokalen Extremwerte gibt.
Wir müssen uns nun, da wir es mit einem Gebiet mit Rand zu tun haben, auf die Suche nach den absoluten Extremwerten machen, also die Hoch- und Tiefpunkte auf dem Rand.
Hierzu müssen wir untersuchen:
3x+2y-6=0 mit x,y nichtnegativ
(x,0) mit [mm] 0\le x\le [/mm] 2
(0,y) mit [mm] y\le 0\le [/mm] 3
Gesonderte Aufmerksamkeit müssen dann noch die Eckpunkte (0,0), (0,3) und (2,0) bekommen.
Die Untersuchung der drei Randstücke ist jeweils eine Extremwertaufgabe in Abhängigkeit v, einer Variablen,
bei der ersten setze in f für y den Term -3/2x+3 ein, die anderen beiden dürften klar sein.
Ermittle die Extremwerte.
Dann schau Dir zum Schluß nioch die Funktionswerte in den Ecken an und schau, welches denn nun wirklich der absolute Hoch- und Tiefpunkt ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Di 15.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Einen wunderschönen guten Morgen und Danke für die Antwort
Also, für Punkt A kommt in der Tat 0 für die ersten Ableitungen bezüglich x / y heraus, habe ich wohl verwechselt.
Dafür ist P1 und B nicht genau identifizierbar - Rechenfehler dürften keine vorliegen da bis zur Hesse Matrix alles mit Derive kontrolliert wurde.
d.h. A => Sattelpunkt
Ich habe jetzt nicht ganz genau verstanden was du meinst mit:
3x+2y-6=0 mit x,y nichtnegativ
(x,0) mit [mm] 0\le x\le [/mm] 2
(0,y) mit [mm] y\le 0\le [/mm] 3
Gesonderte Aufmerksamkeit müssen dann noch die Eckpunkte (0,0), (0,3) und (2,0) bekommen.
Die Untersuchung der drei Randstücke ist jeweils eine Extremwertaufgabe in Abhängigkeit v, einer Variablen,
bei der ersten setze in f für y den Term -3/2x+3 ein, die anderen beiden dürften klar sein.
Ermittle die Extremwerte.
Ich versuchs zu erörtern:
Also, dass x und y zwischen den gegebenen Werten variieren dürfen, ist mir klar.
Können die absoluten Extremwerte nicht auch innerhalb dieser Grenzen liegen, oder müssen sie zwangsweise auf dem Rand liegen? Ich versuche mir nämlich zu erklären, warum wir P1 nicht in Betracht ziehe : Oder aus dem Grund, dass er nicht auf dem Rand liegt, oder aus dem Grund, dass [mm] f_{x} \not= [/mm] 0 war...
Beim Untersuchen der 3 Punkte sagtest du, sie sind in Abhängigkeit einer Variabeln. Ab hier konnte ich deinem Gedanken-Gang nichtmehr ganz folgen!
Wäre es möglich mir bitte das nochmals kurz zu erklären?
Rießengroses Danke!
lg
Zuggel
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> Ich habe jetzt nicht ganz genau verstanden was du meinst
> mit:
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> 3x+2y-6=0 mit x,y nichtnegativ
>
> (x,0) mit [mm]0\le x\le[/mm] 2
>
> (0,y) mit [mm]y\le 0\le[/mm] 3
>
> Gesonderte Aufmerksamkeit müssen dann noch die Eckpunkte
> (0,0), (0,3) und (2,0) bekommen.
>
> Die Untersuchung der drei Randstücke ist jeweils eine
> Extremwertaufgabe in Abhängigkeit v, einer Variablen,
>
> bei der ersten setze in f für y den Term -3/2x+3 ein,
> die anderen beiden dürften klar sein.
>
> Ermittle die Extremwerte.
>
>
>
> Ich versuchs zu erörtern:
>
> Also, dass x und y zwischen den gegebenen Werten variieren
> dürfen, ist mir klar.
> Können die absoluten Extremwerte nicht auch innerhalb
> dieser Grenzen liegen, oder müssen sie zwangsweise auf dem
> Rand liegen?
Hallo,
ich will das Problem an einem Beispiel, welches nur von einer Variablen abhängt, erörtern:
Betrachte eine diffbare Funktion, die z.B. auf dem Intervall [1,2] definiert ist.
Wenn ich nun dahergehe und das Procedere mit erster Ableitung =0 usw. starte, erhalte ich Gipfel und Talsohlen im Intervall.
Es handelt sich aber um ein abgeschlossenes Intervall. Das bedeutet, daß der Funktionswert an den Intervallenden 1 und 2 größer oder kleiner sein könnte als der meiner zuvor errechneten Extremwerte.
Ich könnte in den Endpunkten Hoch- oder Tiefpunkte haben, obgleich dort weder Gipfel noch Talsohle ist.
Für Dich bedeutet das: Du mußt die Begrenzungen Deines Gebietes noch untersuchen, denn wegen der Angabe [mm] \le [/mm] ist es abgeschlossen.
Die Untersuchung der Eckpunkte ist vergleichbar mit den Intervallenden von oben
> Ich versuche mir nämlich zu erklären, warum
> wir P1 nicht in Betracht ziehe : Oder aus dem Grund, dass
> er nicht auf dem Rand liegt, oder aus dem Grund, dass [mm]f_{x} \not=[/mm]
> 0 war...
Dieser Punkt liegt im betrachteten Gebiet, sein Gradient ist [mm] \not=0, [/mm] und deshalb kann hier kein lokales (relative) Extremum vorliegen.
Daher scheidet er als potentieller Extremwertkandidat aus.
Bei der Untersuchung der ränder ist er nicht dabei, weil er nicht auf dem Rand liegt, und folglich kein Kandidat für ein absolutes Extremum, welches kein lokales ist, ausscheidet.
> Beim Untersuchen der 3 Punkte sagtest du, sie sind in
> Abhängigkeit einer Variabeln. Ab hier konnte ich deinem
> Gedanken-Gang nichtmehr ganz folgen!
Ja. Wenn Du die Funktion in dem Bereich untersuchst, in welchem die Argumente die Gestalt (x,0) haben, betrachtest Du die Einschränkung der Funktion f auf die x-Achse. Es ist, als würdest Du genau über der x-Achse auf dem Funktionengebirge eine schwarzen Strich zeichnen und Dir anschauen, wie er hoch und runter geht.
In der Funktion würdest Du für y die Null einsetzen, denn diese Argumente betrachtest Du ja.
Also hängt das, was Du nun untersuchst, nur noch von x ab.
Für die anderen beiden Falle so ähnlich.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Di 15.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Sehr gut erklärt, Danke :)!
Dann versuche ich es jetzt anzuwenden:
3x+2y-6=0
Ich will jetzt A untersuchen, welcher sich in x=2 befindet, somit ziehe ich den Strich entlang des Gebirges auf der x Achse, y = 0 ist die Folge, somit habe ich:
3x - 6 = 0
Dann differenziere ich das auf x, was das Ergebnis 3 zur Folge hat, somit ist Punkt A ein absolutes Minima?
Zu Punkt (0/0) sagtest du:
" bei der ersten setze in f für y den Term -3/2x+3 ein, die anderen beiden dürften klar sein "
Meinst du mit F jetzt die Funktion:
xy*(2-x-y) oder
3x+2y-6
Für die zweite Funktion ergibt es irgendwie keinen Sinn, dort für y diesen Wert einzusetzen; dies würde die Funktion annullieren...
Dankeschön und
lg
Zuggel
€dit:
Ok, ich habe jetzt verstanden, was du mit f meinst, also die Funktion f(x,y) = xy*(2-x-y).
Nun wenn ich dort für den Punkt 0/0 in y => -3/2 * x + 3 einsetze und für x= 0, kommt immer noch 0 heraus, das Selbe für A / B...
(Ich hocke trotz der einwandfreien Erklärung noch etwas auf der Leitung *grins* )
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> Meinst du mit F jetzt die Funktion:
> xy*(2-x-y) oder
> 3x+2y-6
>
> Für die zweite Funktion ergibt es irgendwie keinen Sinn,
> dort für y diesen Wert einzusetzen; dies würde die Funktion
> annullieren...
Hallo,
genau.
Ich habe vorhin wohl etwas an Zeit und Worten gespart.
Wenn Du Dich für den unteren Rand des Gebietes, für die Argumente (x,0), interessierst, optimierst Du die Funktion
[mm] f_u(x):=f(x,0)=x*0*(2-x-0)=0. [/mm] (Mit wenig Aufwand zu haben...)
Wenn Du Dich für den linken Rand des Gebietes, für die Argumente (0,y) interessierst, optimierst Du die Funktion
[mm] f_l(x):=f(0,y)= [/mm] 0*y*(2-0-y) =0. (Mit wenig Aufwand zu haben...)
Wenn Du Dich für den "schrägen" Rand des Gebietes, für die Stellen mit 3x+2y-6=0 interessierst, also für die Argumente mit [mm] (x,-\bruch{3}{2}x+3) [/mm] interessierst, optimierst Du die Funktion
[mm] f_s(x):=f(x,-\bruch{3}{2}x+3)= x*(-\bruch{3}{2}x+3)*(2-x-(-\bruch{3}{2}x+3)). [/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Guten Morgen und Danke für die Antwort schon einmal!
Ja; so wollte ich es nicht direkt ausdrücken, habe jedoch lange versucht zu verstehen was du gemeint hast!
Also:
[mm] f_u(x):=f(x,0)=x*0*(2-x-0)=0.
[/mm]
[mm] f_l(x):=f(0,y)= [/mm] 0*y*(2-0-y) =0.
[mm] f_l(x):=f(x,-\bruch{3}{2}x+3)= x*(-\bruch{3}{2}x+3)*(2-x-(-\bruch{3}{2}x+3)).
[/mm]
Die Funktionen sind ja alle schön und gut, jedoch, wie du bereits geschrieben hast, annullieren sie sich alle - deshalb hatte ich auch bei der Berechnung diesen Lösungsansatz nicht in Betracht gezogen, da alles 0 ergeben hat...
Übersehe ich jetzt eine Kleinigkeit die mir den Gedankenanstoss hätte geben sollen  ?
Wenn die Funktion in f(x,0) positiv wäre, wäre es ein absolutes Minimum, und wenn sie engativ wäre ein absolutes Maximum, oder?
mit besten Grüßen
Zuggel
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> [mm]f_u(x):=f(x,0)=x*0*(2-x-0)=0.[/mm]
> [mm]f_l(x):=f(0,y)=[/mm] 0*y*(2-0-y) =0.
> [mm]f_s(x):=f(x,-\bruch{3}{2}x+3)= x*(-\bruch{3}{2}x+3)*(2-x-(-\bruch{3}{2}x+3)).[/mm]
>
> Die Funktionen sind ja alle schön und gut, jedoch, wie du
> bereits geschrieben hast, annullieren sie sich alle -
Hallo,
nein, das habe ich nicht geschrieben.
Die ersten beiden sind überall =0, das stimmt, von daher kann man sich hier die Suche des Extremwertes sparen, man weiß ja, was man wissen will. Aber: man weiß es erst, wenn man diese Funktionen aufgestellt hat, und deshalb sind sie nicht überflüssig im Rahmen der Aufgabenstellung.
aber [mm] f_s [/mm] doch nicht, oder?
Das ist doch eine kubische Funktion. Hier gibt's was zu untersuchen.
Und danach mußt Du noch die Funktionswerte an den Ecken anschauen.
Bedenke: das betrachtete Gebiet ist abgeschlossen, und deshalb muß es irgendwo ein absolutes Minimum und ein Maximum geben.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
>nein, das habe ich nicht geschrieben.
>Die ersten beiden sind überall =0, das stimmt, von daher kann man sich hier die
>Suche des Extremwertes sparen, man weiß ja, was man wissen will.
Ich habe mich eben auf [mm] f_{u} [/mm] und [mm] f_{l} [/mm] bezogen, die [mm] f_{s} [/mm] wäre mir gar nicht eingefallen, tut mir leid.
Also das heist jetzt:
Entlang x und entlang y kann ich mir die Suche sparen, entlang der Schrägen Funktion durch die Ebene, können meine relativen Punkte zu absoluten werden.
Also, um einen Extremwert zu suchen und zu finden, leite ich [mm] f_{s} [/mm] nach x ab:
[mm] \bruch{-3*(x-2)*3*x-2)}{4}
[/mm]
Ich untersuche nun die Ränder bzw. die Punkte, O, (A) und B
für O sowie für B habe ich x= 0
also:
[mm] df_{s}(0) [/mm] = -3 heraus
Somit dürften nach meinem Wissen die Punkte mit x = 0 absolute Hochpunkte auf meiner Funktion sein.
(Punkt A = 0 ist als ein Sattelpunkt wie wir bereits herausgefunden haben.)
Du sagtest ich muss den Rand untersuchen, der Rand wird jedoch auch begrenzt durch y welches zwischen 0 und 3 variiert, jedoch habe ich in der Funktion [mm] f_{s} [/mm] keine Möglichkeit y zu untersuchen.
Wäre es Angebracht nun die Funktion:
3x+2y-6 [mm] \le [/mm] 0 nach x aufzulösen und das Selbe nochmal zu machen, oder reicht es aus, dass ich die Funktionen nach x untersucht habe?
Danke
Mit freundlichen Grüßen
zuggel
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> Also das heist jetzt:
>
> Entlang x und entlang y kann ich mir die Suche sparen,
Ja, man sieht ja sofort, was dort los ist.
Jedem unserer Punkte (x,0) und (0,y) wird der Funktionswert 0 zugeordnet.
> entlang der Schrägen Funktion durch die Ebene, können meine
> relativen Punkte zu absoluten werden.
Noch etwas anderes kann passieren: Du könntest hier Hochpunkte finden, die keine relativen Extrema sind, weil vielleicht die Funktion f außerhalb des Bereiches, den wir betrachten, noch weiter ansteigt, aber ein Punkt auf unserem Rand der höchste des betrachteten Gebietes ist.
(Stell Dir vor, wir würden zusammen Urlaub in den Bergen machen, verbunden mit dem Wettbewerb, wer von uns höher klettert. Stell Dir vor, ich triumphiere, weil ich auf dem Gipfel A stehe, und weil ich weiß, daß Du es nicht geschafft hast, zum Gipfel B zu kommen. Da zückst Du Dein GPS, freust Dich und teilst mir per Handy mit, daß Du zwar nicht auf dem Gipfel stehst, aber doch 50 m höher als ich.)
> Also, um einen Extremwert zu suchen und zu finden, leite
> ich [mm]f_{s}[/mm] nach x ab:
Genau. Da Du mich wieder in relativer Eile erwischst, rechne ich Deine Ableitung nicht nach.
Du mußt nun ganz normal wie in der Schule die Extremstellen der Funktion bestimmen mit 1. Ableitung usw.
Hast Du das getan? Hat sie Extremstellen? Das wird mir aus dem, was Du schreibst, nicht ganz klar.
Wenn Du eine Extremstelle (Hoch- oder Tiefpunkt auf der betrachteten Linie) [mm] x_e [/mm] gefunden hast, bekommst Du aus 3*x + 2*y -6 = 0 das passende [mm] y_e,
[/mm]
und durch Einsetzen in f(x,y) den zugehörigen Funktionswert.
Schau jetzt noch die Funktionswerte der Eckpunkte an.
Die Suche gilt dem Punkt mit dem größten und kleinsten Funktionswert.
>
> [mm]\bruch{-3*(x-2)*3*x-2)}{4}[/mm]
>
> Ich untersuche nun die Ränder bzw. die Punkte, O, (A) und
> B
> für O sowie für B habe ich x= 0
>
> also:
Bei allem, was hier folgt, ist mir nicht klar, was Du tust - was nicht heißen muß, daß es falsch ist, ich komme nur nicht recht mit.
Gruß v. Angela
>
> [mm]df_{s}(0)[/mm] = -3 heraus
>
> Somit dürften nach meinem Wissen die Punkte mit x = 0
> absolute Hochpunkte auf meiner Funktion sein.
> (Punkt A = 0 ist als ein Sattelpunkt wie wir bereits
> herausgefunden haben.)
>
> Du sagtest ich muss den Rand untersuchen, der Rand wird
> jedoch auch begrenzt durch y welches zwischen 0 und 3
> variiert, jedoch habe ich in der Funktion [mm]f_{s}[/mm] keine
> Möglichkeit y zu untersuchen.
> Wäre es Angebracht nun die Funktion:
> 3x+2y-6 [mm]\le[/mm] 0 nach x aufzulösen und das Selbe nochmal zu
> machen, oder reicht es aus, dass ich die Funktionen nach x
> untersucht habe?
>
> Danke
> Mit freundlichen Grüßen
> zuggel
>
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:49 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Nur keinen Stress wegen mir :)!
Also der untere Teil ist falsch, ich muss zugeben ich habe anstatt in die 2. Ableitung meine Extremwerte zu einzusetzen und zu untersuchen, dies mit der 2. Abl gemacht - diese nervigen Flüchtigkeits-Fehler...
Gut, also summa summarum:
1.Ableitung nach x:
[mm] \bruch{-3*(x-2)*(3x-2)}{4} [/mm] = 0
Finde die Punkte:
x=2 und x = 2/3
2. Ableitung nach x:
6- [mm] \bruch{9x}{2}
[/mm]
mit x=2
f "(2) = -3
also ist x = 2 ein ABSOLUTES Maximum
mit x= 2/3
f " (2/3) = 3 ein ABSOLUTES Minimum
P ( 2 / 0 ) = A = abs. Max.
P ( 2/3 / 0) = P1 = abs. Min.
Somit kann ich folgende Schlussfolgerung ziehen:
Punkt O (0/0) : undefinierbar
Punkt A (2/0): absolutes Max. auf meinem Bereich oder ein Sattelpunkt ohne Grenzen betrachtet
Punkt B (3/0): undefinierbar
Punkt P1 (2/3 / 2 ): absolutes Min.
Somit wäre die Aufgabe vollständig gelöst, nehme ich an, oder?
Ich möchte mich an dieser Stelle herzlichst Bedanken für diene Mühen und deine Geduld!
lg
Zuggel
PS: Das mit den Grenzen hast du mir mehr als einleuchtend Erklärt, sowas sollte man in Bücher stellen und nicht so komplexe Definitionen ;)
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> Gut, also summa summarum:
>
> 1.Ableitung nach x:
>
> [mm]\bruch{-3*(x-2)*(3x-2)}{4}[/mm] = 0
> Finde die Punkte:
> x=2 und x = 2/3
>
> 2. Ableitung nach x:
>
> 6- [mm]\bruch{9x}{2}[/mm]
>
> mit x=2
> f "(2) = -3
> also ist x = 2 ein ABSOLUTES Maximum
>
> mit x= 2/3
> f " (2/3) = 3 ein ABSOLUTES Minimum
>
> P ( 2 / 0 ) = A = abs. Max.
> P ( 2/3 / 0) = P1 = abs. Min.
>
> Somit kann ich folgende Schlussfolgerung ziehen:
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> Punkt O (0/0) : undefinierbar
> Punkt A (2/0): absolutes Max. auf meinem Bereich oder ein
> Sattelpunkt ohne Grenzen betrachtet
> Punkt B (3/0): undefinierbar
> Punkt P1 (2/3 / 2 ): absolutes Min.
Hallo,
es fehlen mir hier noch die Funktionswerte zu den Punkten.
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> Somit wäre die Aufgabe vollständig gelöst, nehme ich an,
> oder?
Ich verweise auf mein anderes Post.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich hatte Dir ja schon per PN mitgeteilt, daß ich mit dem Verlauf des Threads nicht ganz zufrieden bin, und zwar nicht, weil Du irgendetwas falsch gerechnet hast, sondern weil ich an einer Stelle den Faden verloren hatte und in der Folge Unfug geredet.
Da ich nun erstens ein schlechtes Gewissen habe und zweitens davon ausgehe, daß es für Dich sehr wichtig ist zu wissen, wie man diese Aufgaben bearbeitet, möchte ich es hier jetzt zusammenstellen, daß scheint mir sinnvoller, als in den alten Posts herumzueditieren.
Wir haben hier die globalen Extremwerte einer Funktion f(x,y) in einem bestimmten Bereich zu bestimmen, also unter Nebenbedingungen.
Hierfür ist folgendes zu tun:
1. Man bestimmt zunächst die kritischen Punkte auf [mm] \IR^2 [/mm] (mit Gradient=0), prüft, welche davon im zu betrachtenden Bereich liegen. Mithilfe der Hessematrix versucht man, die Art der kritischen Punkte, die noch im Rennen sind, herauszufinden. Man hat dann die lokalen Extrema im zu betrachtenden Bereich.
(Und genau dieser Part der Aufgabe ist ausgefallen!!!)
2a. Falls der Bereich, den man betrachten soll, offen ist, also ohne Rand, ist man bereits nahezu fertig.
Das ist der Fall, wenn die Nebenbedingung lediglich < oder > einthält, aber nicht [mm] \le [/mm] oder [mm] \ge.
[/mm]
Man muß nur noch gucken, welche der ermittelten Extrema die größten bzw. kleinsten sind, also die globalen Extrema bestimmen, es kann aber auch sein, daß es gar keins gibt.
2b. Wenn der Bereich abgeschlossen ist (Nebenbedingung mit [mm] \le [/mm] oder [mm] \ge.), [/mm] muß man nun den Rand untersuchen, denn es könnte sein, daß es hier globale Extrema gibt, welche keine lokalen sind. (Denk an unseren Ausflug in die Berge.)
Für diese Untersuchung stehen zwei Methoden zur Verfügung: die Lagragemethode und die Methode, bei welcher man das Problem zurückführt auf die Untersuchung einer Funktion, welche nur von einer Variablen abhängt.
Zur Lagrangemethode:
Man ermittelt hier zunächst die kritischen Punkte.
(Die Untersuchung mit der Hessematrix braucht man nicht mehr durchzuführen, denn eventuelle lokale Extrema hat man ja eh schon im ersten Schritt gefunden.)
Nun geht es ja darum herauszufinden, welches ggf. das globale Extremum ist. Berechne die Funktionswerte der kritischen Punkte und vergleiche mit denen der bereits gefundenen lokalen Extremwerte.
Die andere Methode: Extremstellen ermitteln wie aus der Schule gewohnt, durch Einsetzen in die nebenbedingung die zweite Koordinate des kritischen Punktes ermitteln, Funktionswert errechen, vergleichen.
3: Wenn man dies getan hat, muß man schauen, ob das zu untersuchende Gebiet irgendwelche Ecken/Knicke hat. Diese Punkte sind gesondert zu untersuchen: Funktionswert ermitteln, mit den anderen Kandidaten vergleichen.
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Wenn Du nur einen Rand zu untersuchen hast, was Du in der Nebenbedingung durch = erkennst, so mußt Du nur Punkt 2 und 3. durchführen, in der Regel also Lagrange und noch gucken, ob es Knicke gibt.
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So, ich hoffe, daß ich das jetzt verständlich und brauchbar für eine Vielzahl von Aufgaben zusammengestellt habe.
Eine sehr anschauliche Erklärung des Tuns habe ich mal hier geschrieben,
vom Studium des Gesamtthreads rate ich aber ab, weil er sehr unübersichtlich und mit diversen Edits ist.
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Der Fehler, den ich gemacht habe im hiesigen Thread: ich hatte vergessen, daß Du bereits mit Lagrange eine Untersuchung des "schrägen" Randes vorgenommen hattest, und ich habe Dich anschließend angeleitet, dieselbe Fragestellung nochmal mit der anderen Methode zu bearbeiten, was natürlich extrem dumm ist. daß Du stutztest, war völlig berechtigt.
Vergessen haben wir die Bestimmung der lokalen Extremwerte im Gesamtgebiet - ob es welche gibt, weiß ich jetzt nicht, müßte man noch nachrechnen. (Möglicherweise hast Du die zufällig bei Deinem Lagrangeansatz mitentdeckt, und es gibt gar keine weiteren, ich kann's ohne eigene Rechnung nicht sagen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Hallo!
Also vorweg: In der Tat sind die Aufgaben welche ich hier versuche zu lösen sehr wichtig für mich, da ich in einer Woche eine Prüfung habe, die Prüfungen NICHT vorgelöst sind und in den Vorlesungs-Stunden relativ simple und überhaupt nicht auf Prüfungs-Beispiele beziehbare Übungen gemacht wurden.
Der Professor ist hier wenig einsichtig und meint, der Stoff reiche aus.
Also ich muss zugeben, jetzt verwirrst du mich - du sagtest, das Studium mit Lagrange haben wir nicht gemacht, zum bestimmen der relativen Extremwerte.
Ist das dann nicht Lagrange:
Aus 1. Posting:
Mit Lagrange:
x*y*(2-x-y) [mm] \lambda [/mm] * (3x+2y-6)
Partielle Ableitungen:
[mm] \partial [/mm] x -2*x*y - y² +2*y +3* [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \partial [/mm] y -2*y*x - x² +2*x +2* [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \partial \lambda [/mm] 3*x + 2*y -6 = 0
Also:
(--> bedeutet: Auflösen der Formel nach ...
=> bedeutet: Einsetzen in Formel ... )
[mm] \partial [/mm] x --> [mm] \lambda [/mm]
[mm] \partial \lambda [/mm] --> y
=> [mm] \partial [/mm] y --> x
Ergebnis (mit Derive kontrolliert) :
x= 2 / 3 und x = 2
somit:
P1 ( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] / 2)
P ( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] / -2) <= nicht gültig da y größer gleich 0 sein muss
gleiches Spiel nochmal:
[mm] \partial [/mm] y --> [mm] \lambda [/mm]
[mm] \partial \lambda [/mm] --> x
=> [mm] \partial [/mm] x --> y
Ergebnis (mit Derive kontrolliert) :
y = 0 und y = 2
wobei y= 0 gleich dem Punkt "A" ist, somit:
P2 = A = (0 / 2)
Somit wurden die Punkte bestimmt,
A und P1
Also laut deinem kompletten Posting dürfte der Ablauf mehr doer weniger passen, jedenfalls sind die 4 Punkte hier bei der Lösung nach Lagrange und beim Betrachten der schiefen Funktion herausgekommen.
O / A / B / P1 wurden anschließend in der Hesse Matrix geprüft;
For O kam -4 heraus, also ein Sattelpunkt
Für B (0 / 3) hatte ich entweder [mm] f_{x}= [/mm] -(2*x+y-2)*y [mm] \not= [/mm] 0, somit nicht definierbar
Für A kam ebenfalls -4 heraus, also auch ein Sattelpunkt
Für P1 war [mm] f_{x} \not= [/mm] 0
Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet und wohl Fehler festgestellt, ich hoffe das mit der Hesse Matrix und das mit 1. Abl gleich = oder [mm] \not= [/mm] 0 jetzt stimmt.
Weiter zu den Funktionswerten:
Punkt O (0/0) :
f= 0
Punkt A (2/0):
f= 0
Punkt B (3/0): undefinierbar
f=0
Punkt P1 (2/3 / 2 ):
f=-8/9
Ich glaube das stimmt jetzt, sicher bin ich mir mit der Hesse Matrix nicht, aber:
Ich habe jetzt 2 Sattelpunkte mit Funktions-Wert 0. Was ist jetzt was? Sind beide absolute Minima?
lg
Zuggel
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> Also ich muss zugeben, jetzt verwirrst du mich - du
> sagtest, das Studium mit Lagrange haben wir nicht gemacht,
> zum bestimmen der relativen Extremwerte.
Hallo,
ich hoffe, daß wir entwirren können.
Lagrange ist immer zuständig für die Untersuchung der Begrenzung (Nebenbedingung), aber nicht für's Innere.
Unser Garten ist überhaupt nicht eben. Er ist hangig, es gibt Hügelchen, Mulden, terrassierte Stellen. Und er ist umzäunt.
Mit Lagrange untersuche ich den Verlauf des Zaunes, bzw. die Linie, auf welcher der Zaun steht.
Das hast Du am Anfang getan. Du hast untersucht, wo der Zaun Hoch- und Tiefpunkte hat.
(Allerdings hast Du es nicht komplett getan, sondern nur die eine Seite unseres dreieckigen Gartens untersucht. )
Danach hast Du mit der Hessematrix untersucht, ob es sich bei den ermittelten Punkten und Hügel oder Mulden des Geländes handelt. Du hast also nachgeschaut, ob die so ermittelten Punkte lokale Extremwerte der Funktion f sind.
Dieses Vorgehen ist kein falsches - nur es ist unvollständig.
Wir haben bei unserem Tun die Untersuchung des Gartens vergessen! Wir haben gar nicht geguckt, ob es im Garten noch Hügel und Mulden gibt. Die Löcher, die unsere Kaninchen im Garten graben, wären uns bei der Untersuchung durch die Lappen gegangen!!!
Nochmal in Kürze die richtige Vorgehensweise:
Ich soll den kompletten Garten untersuchen, inkl. Zaun (Nebenbedingung mit [mm] \le, \ge)
[/mm]
Hier untersuche ich erst das komplette Gelände, also inkl. Nachbargrundstücke), mit dem Gradienten=0 auf kritische Punkte. Dann gucke ich, welche dieser Punkte auf meinem Grundstück liegen und prüfe mit der Hessematrix, ob es lokale Extremwerte sind. Ich notiere mir die Funktionswerte zu diesen Punkten.
Also nächstes untersuche ich die komplette Zaunlinie mit Lagrange auf Extremwerte. Ich notiere deren Funktionswerte.
Ich schaue, ob die Umgrenzung Knicke hat. Diese Eckpunkte sehe ich gesondert an. Ich notiere die Funktionswerte.
Zum Schluß picke ich durch Vergleich die absoluten Hoch und Tiefpunkte meines Grundstückes heraus.
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Wenn ich das so durchführe wie oben beschrieben, bekomme ich aus der Untersuchung des kompletten Geländes die Punkte (0/0), (2/0), (0/2) und [mm] (\bruch{2}{3}/\bruch{2}{3}),welche [/mm] allesamt innerhalb des zu betrachtenden Gebietes liegen.
Bei der Durchführung der Untersuchung mit Lagrange erhieltest Du bei der schrägen Zaunlinie zusätzlich den Punkt [mm] (\bruch{2}{3}/ [/mm] 2).
Untersuchung der beiden anderen Linien ,(x,0) und (0,y), ergibt: hier ist die Funktion konstant=0
An Eckpunkten ist noch zu untersuchen (0/3) - allerdings haben wir den auch schon oben dabei.
Nun schauen wir die Funktionswerte an:
Für sämtliche Punkte, bei denen eine Koordinate =0 ist, ist der Funktionswert=0.
Bei [mm] (\bruch{2}{3}/ [/mm] 2) ist der Funktionswert [mm] =-\bruch{8}{9}. [/mm]
Bei [mm] (\bruch{2}{3}/\bruch{2}{3}) [/mm] ist der Funktionswert [mm] =\bruch{8}{27}.
[/mm]
Damit haben wir die absoluten Extrema gefunden:
An der Stelle [mm] (\bruch{2}{3}/ [/mm] 2) das absolute Minimum,
an der Stelle [mm] (\bruch{2}{3}/\bruch{2}{3}) [/mm] das absolute Maximum.
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Nochmal: Dein Lagrange war nicht falsch, aber es fehlte die Untersuchung des Inneren, mit der Folge, daß uns fast der Hochpunkt durch die Lappen gegangen wäre.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:51 Do 17.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ich danke dir! Alles perfekt Verstanden bis ins letzte Detail!
Ich wollte noch eines Fragen, was jetzt nicht mehr konkret mit diesem Beispiel etwas zu tun hat, sondern eher allgemein.
Angenommen ich habe eine Funktion welche durch ein Rechteck begrenzt wird (also ein schöner Garten) die Werte sind für x und y jeweils [mm] \le [/mm] gewisser Grenzwert, und ich habe eine Funktion f(x,y) deren Gradient ich Nullsetze.
Kann ich dann auch mit dem Ausschluss-Verfahren nach Gauss (Multiplikation der Ableitung nach z.B. "x" mit z.B. -1 und Addition der Ableitung nach "y") die Extremwerte bestimmen?
Das ganze ist eine Funktion mit vielen sin / cos in den Ableitungen, somit ist eine direkte Auflösung nach den Variablen schwer möglich, aber mit Gauss komme ich schön auf ein Ergebnis was besagt, dass: x = y ist.
Ist dann zwangsläufig jeder Punkt den ich finde immer mit den gleichen Koordinaten versehen, oder?
Ich hoffe ich habe das Problem klar geschildert - ich bin mir eig. nur unsicher über meine Vorgehensweise, da ich bis jetzt Beispiele immer so gelöst habe, in denen der Gradient = 0 war und ich dann nach x / y / [mm] \lambda [/mm] so lange aufgelöst habe, bis es nichts mehr zu finden gab.
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> Alles perfekt Verstanden bis ins letzte
> Detail!
Mir fällt ein Stein vom Herzen!
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> Ich wollte noch eines Fragen, was jetzt nicht mehr konkret
> mit diesem Beispiel etwas zu tun hat, sondern eher
> allgemein.
Ich kann Dir hierzu leider nichts sagen, weil ich weder die Funktion kenne noch mir sicher bin, ob ich weiß, was mit Gauß-Ausschlußverfahren gemeint ist.
Generell muß man beim Auflösen von nichtlinearen Gleichungen immer höllisch aufpassen, daß man unterwegs keine Lösungen verliert.
Gruß v. Angela
>
> Angenommen ich habe eine Funktion welche durch ein Rechteck
> begrenzt wird (also ein schöner Garten) die Werte sind für
> x und y jeweils [mm]\le[/mm] gewisser Grenzwert, und ich habe eine
> Funktion f(x,y) deren Gradient ich Nullsetze.
>
> Kann ich dann auch mit dem Ausschluss-Verfahren nach Gauss
> (Multiplikation der Ableitung nach z.B. "x" mit z.B. -1
> und Addition der Ableitung nach "y") die Extremwerte
> bestimmen?
> Das ganze ist eine Funktion mit vielen sin / cos in den
> Ableitungen, somit ist eine direkte Auflösung nach den
> Variablen schwer möglich, aber mit Gauss komme ich schön
> auf ein Ergebnis was besagt, dass: x = y ist.
> Ist dann zwangsläufig jeder Punkt den ich finde immer mit
> den gleichen Koordinaten versehen, oder?
>
> Ich hoffe ich habe das Problem klar geschildert - ich bin
> mir eig. nur unsicher über meine Vorgehensweise, da ich bis
> jetzt Beispiele immer so gelöst habe, in denen der Gradient
> = 0 war und ich dann nach x / y / [mm]\lambda[/mm] so lange
> aufgelöst habe, bis es nichts mehr zu finden gab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 19.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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