Extremwerte (2 Var.) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:30 Di 31.01.2006 | | Autor: | mathe_lerner |
| Aufgabe | Extremwerte, Sattelpkte gesucht:
f(x,y)= [mm] (x+y)^3-12xy [/mm] |
Hallo zusammen,
eigentlich habe ich mit dieser Aufgabe kein Problem, nur eine kleine Unsicherheit:
Ableitungen: [mm] fx=3x^2+6xy-12y+3y^2
[/mm]
[mm] fy=3x^2-12x+6xy+3y^2
[/mm]
fxx=fyy=6x+6y
fxy=fyx=6x-12+6y
Dann habe ich fxx und fyy gleichgesetzt. Dabei kommt x=y heraus.
Das habe ich dann fy eingesetzt wobei 0 und 1 als y-Nullstellen herauskommen.
Und da x=y ist sind die potentiellen Extrem-/Sattelpkte (1,1) und (0,0)
Soweit ist alles richtig, denke ich. Beim Pkt. (1,1) habe ich rel. Minimum gefunden, aber bei (0,0) ist fxx=0 und die Hesse-Matrix <0.
Was ist das denn für ein Punkt? Ein Sattelpunkt oder ist das gar kein Punkt?
Im Funktionsverlauf sieht man nämlich irgendwie nur den Punkt (1,1).
Lange Frage, aber kurze Antwort würde reichen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Di 31.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Mathe-Lerner,
deine errechneten Punkte für die potentiellen Extrema sind absolut richtig!
Nun zu den beiden Hesse-Matrizen:
Die Hesse-Matrix im Punkt [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] ist positiv definit, d.h. es liegt ein lokales Minimum vor.
Die Hesse-Matrix im Punkt [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist indefinit (sie hat sowohl den positiven Eigenwert $+12$, als auch den negativen Eigenwert $-12$). In dem Fall liegt kein lokales Extremum vor.
Inwieweit man dort jetzt von einem Sattelpunkt oder ähnlichem sprechen kann, weiß ich leider nicht - ich werde den Status deiner Frage deshalb wieder auf "offen" setzen.
Sorry, dass ich dir nicht wirklich weiter helfen konnte!
MFG,
Yuma
|
|
|
| |
|
> Zunächst mal: Um die potentiellen Extrema herauszubekommen,
> musst du doch die ersten Ableitungen, also [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial x}[/mm]
> und [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial y}[/mm] untersuchen.
>
> Und da in diesem Fall [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial x}=\bruch{ \partial f}{ \partial y}[/mm]
> gilt, erhältst du aus [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial x}=0[/mm]
> eine ganze Menge potentieller Extrema, oder täusche ich
> mich da?
Hi,
habe ich nicht genau das schon gemacht? Und warum sollten da "eine ganze Menge" Extrema herauskommen?
Ich verstehe nicht genau worauf du hinaus willst.
Ich denke ich habe das alles richtig gemacht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Di 31.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Mathe-Lerner,
tut mir leid, dass ich soviel Verwirrung gestiftet habe.
Alles, was du oben geschrieben hast, ist völlig richtig!
Ich hatte mich vorhin schlicht und einfach verrechnet!
Sorry,
Yuma
|
|
|
| |
|
Du hast recht!
Habe jetzt
(0,0); (1,1); (0,4); (1,-3); (1,3); (1,2); (0,2); (0,-1); (0,1)
Kommt das ungefähr so hin? (Und das wäre 'ne Menge!)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Di 31.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Mathe-Lerner,
nein, du hattest Recht (siehe oben)! Sorry!
MFG,
Yuma
|
|
|
| |
|
>
> nein, du hattest Recht (siehe oben)! Sorry!
>
auch gut, dann vergesse ich lieber wieder alles was ich mir zu meiner zweiten Lösung gedacht hatte.
|
|
|
|
