Extremwerte bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie Lage (x; y-Koordinaten), Art (Minimum, Maximum) und Größe (Funktionswert) der lokalen Extrema folgender Funktionen und geben Sie an, wo es sich um nur lokale oder um globale Minima bzw. Maxima handelt.
a) [mm] f(x,y)=y-4x-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}
[/mm]
b) f: [mm] \IR^2 \to \IR, f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5 [/mm] |
a) [mm] f(x,y)=y-4x-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=-4+\bruch{1}{x^2}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=1-\bruch{1}{y^2}=0
[/mm]
Fall 1: [mm] x=\bruch{1}{2}
[/mm]
Fall 1.2: [mm] x=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Fall 2: y=1
Fall 2.2: y=-1
ich habe für y und x jeweils zwei werte. Was ist nun der kritische Punkt?
[mm] (\bruch{1}{2};1), (\bruch{1}{2};-1), (-\bruch{1}{2};1) [/mm] oder [mm] (\bruch{1}{2};-1)?
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Do 10.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
kann es sein, dass du dich hier ein bisschen vertan hast?
> Bestimmen Sie Lage (x; y-Koordinaten), Art (Minimum,
> Maximum) und Größe (Funktionswert) der lokalen Extrema
> folgender Funktionen und geben Sie an, wo es sich um nur
> lokale oder um globale Minima bzw. Maxima handelt.
>
> a) [mm]f(x,y)=y-4x-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}[/mm]
>
> b) f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5[/mm]
> a)
> [mm]f(x,y)=y-4x-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=-4+\bruch{1}{x^2}=0[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=1-\bruch{1}{y^2}=0[/mm]
>
> Fall 1: [mm]x=\wurzel{\bruch{1}{4}}[/mm]
damit ist x=1/2
> Fall 1.2: [mm]x=-\wurzel{\bruch{1}{4}}[/mm]
damit ist x=-1/2
> Fall 2: y=i
>
> Fall 2.2: y=-i
warum i und -i ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") [mm] y_{1,2}=\pm1 [/mm]
> ich habe für y und x jeweils zwei werte. Was ist nun der
> kritische Punkt?
>
> [mm](\wurzel{\bruch{1}{4}};i), (\wurzel{\bruch{1}{4}};-i), (-\wurzel{\bruch{1}{4}};i)[/mm]
> oder [mm](\wurzel{\bruch{1}{4}};-i)?[/mm]
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Do 10.07.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
hallo
ich habs korrigiert. die frage ist, muss ich für die 4 kritischen stellen den extremwert bestimmen ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Fr 11.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
> hallo
>
> ich habs korrigiert. die frage ist, muss ich für die 4
> kritischen stellen den extremwert bestimmen ?
ja, sofern vorhanden.
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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> Was ist nun der
> kritische Punkt?
>
> [mm](\bruch{1}{2};1), (\bruch{1}{2};-1), (-\bruch{1}{2};1)[/mm] oder
> [mm](\bruch{1}{2};-1)?[/mm]
Hallo,
alle vier.
Stell nun die Hessematrix auf, setze jeweils die Punkte ein.
Entscheide dann anhand der Definitheit der Hessematrix, ob es sich um Min, Max oder Sattlepunkt handelt.
LG Angela
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Die Hessematrix:
[mm] H_f=\pmat{ \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} & \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial y} \\ \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y \partial x} & \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}}
[/mm]
ich verstehe folgende notation nicht ganz: [mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial y}
[/mm]
heißt das ich soll f(x,y) zuerst nach x und dann nach y ableiten? das würde ja nicht gehen.
wenn ich f(x,y) nach x ableiten, dann gibt es keine y variabel mehr
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Hallo,
> Die Hessematrix:
>
> [mm]H_f=\pmat{ \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} & \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial y} \\ \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y \partial x} & \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}}[/mm]
>
> ich verstehe folgende notation nicht ganz: [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial y}[/mm]
>
> heißt das ich soll f(x,y) zuerst nach x und dann nach y
> ableiten?
Ja
> das würde ja nicht gehen.
Warum nicht?
> wenn ich f(x,y) nach x ableiten, dann gibt es keine y
> variabel mehr
Na und?
Aha, was machst du, wenn du $g(x)=3$ hast und nach x ableitest?
Gruß
schachuzipus
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ach stimmt ich hatte ein denkfehler.
Für den Fall [mm] (\bruch{1}{2};1) [/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] H_f=\pmat{ \bruch{-2}{x^3} & 0 \\ 0 & \bruch{2}{y^3} }
[/mm]
der Hauptminior ist [mm] \bruch{-2}{x^3} [/mm] und die [mm] det(H_f)=\bruch{-4}{x^3y^3}
[/mm]
Die Kritische stelle ist ein maximum.
Meine Frage: Die hessematrix ist von den kritischen stellen unabhängig oder? das heißt ich habe für alle 4 kritischen stellen die selbe Hessematrix. das heißt alle kritische stellen sind ein Maximum oder?
ich finde das irgendwie komisch. im eindimensionalen bereich ist es ja so, dass ich die kritische stellen in die zweite ableitung einsetzen muss und am fuznktionwert erkenne ich ob die kritische stelle ein maximum oder ein minimum ist
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Hallo arbeitsamt,
> ach stimmt ich hatte ein denkfehler.
>
> Für den Fall [mm](\bruch{1}{2};1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]H_f=\pmat{ \bruch{-2}{x^3} & 0 \\ 0 & \bruch{2}{y^3} }[/mm]
>
> der Hauptminior ist [mm]\bruch{-2}{x^3}[/mm] und die
> [mm]det(H_f)=\bruch{-4}{x^3y^3}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Kritische stelle ist ein maximum.
>
Das ist nur ein Maximum, wenn die
zweite partielle Ableitung nach x < 0
und die Determinante an dieser
kritischen Stelle > 0 ist.
> Meine Frage: Die hessematrix ist von den kritischen stellen
> unabhängig oder? das heißt ich habe für alle 4
> kritischen stellen die selbe Hessematrix. das heißt alle
> kritische stellen sind ein Maximum oder?
>
Dieselbe Hessematrix in Abhängigkeit von x und y.
Ist die Determinante der Hessematrix < 0,
so liegt ein Sattelpunkt vor.
Verschwindet die Determinante der Hessematrix
an der kritischen Stelle, so kann kein Aussage
über diese Stelle getroffen werden.
> ich finde das irgendwie komisch. im eindimensionalen
> bereich ist es ja so, dass ich die kritische stellen in die
> zweite ableitung einsetzen muss und am fuznktionwert
> erkenne ich ob die kritische stelle ein maximum oder ein
> minimum ist
Gruss
MathePower
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> Das ist nur ein Maximum, wenn die
> zweite partielle Ableitung nach x < 0
> und die Determinante an dieser
> kritischen Stelle > 0 ist.
nur die zweite ableitung nach x? was ist mit y?
[mm] det(H_f(\bruch{1}{2};1))=-32
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f(\bruch{1}{2};1)}{\partial x^2}=-8
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f(\bruch{1}{2};1)}{\partial y^2}=2
[/mm]
ist das ein sattelpunkt? der funktionswert der zweitenableitung nach x und y ist positiv und negativ
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Hallo arbeitsamt,
> > Das ist nur ein Maximum, wenn die
> > zweite partielle Ableitung nach x < 0
> > und die Determinante an dieser
> > kritischen Stelle > 0 ist.
>
> nur die zweite ableitung nach x? was ist mit y?
>
Die spielt keine Rolle.
> [mm]det(H_f(\bruch{1}{2};1))=-32[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f(\bruch{1}{2};1)}{\partial x^2}=-8[/mm]
>
Hier muss als Ergebnis -16 stehen.
> [mm]\bruch{\partial^2 f(\bruch{1}{2};1)}{\partial y^2}=2[/mm]
>
> ist das ein sattelpunkt? der funktionswert der
> zweitenableitung nach x und y ist positiv und negativ
Die Determinante ist < 0, somit ist das ein Sattelpunkt.
Gruss
MathePower
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hallo,
Fall1 [mm] (\bruch{1}{2};1)
[/mm]
[mm] det(H_f(\bruch{1}{2};1))=-32
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Sattelpunkt
[mm] f(\bruch{1}{2};1)=-2
[/mm]
ich verstehe den letzten teil der aufgabe nicht ganz: "..und geben Sie an, wo es sich um nur lokale oder um globale Minima bzw. Maxima handelt."
da ich im Fall1 einen sattelpunkt habe, muss ich diesen teil der aufgabe nicht lösen oder?
wie löse ich den letzten teil der aufgabe?
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Hallo arbeitsamt,
> hallo,
>
> Fall1 [mm](\bruch{1}{2};1)[/mm]
>
> [mm]det(H_f(\bruch{1}{2};1))=-32[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Sattelpunkt
>
> [mm]f(\bruch{1}{2};1)=-2[/mm]
>
> ich verstehe den letzten teil der aufgabe nicht ganz:
> "..und geben Sie an, wo es sich um nur lokale oder um
> globale Minima bzw. Maxima handelt."
>
>
> da ich im Fall1 einen sattelpunkt habe, muss ich diesen
> teil der aufgabe nicht lösen oder?
>
Ja, dann mußt Du diesen Teil nicht lösen.
> wie löse ich den letzten teil der aufgabe?
>
Bestimme die Art eines jeden kritischen Punktes.
Entscheide dann im Fall eines Maximums/Minimums,
ob es lokal und oder global ist.
Gruss
MathePower
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f: [mm] \IR^2 \to \IR, f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5
[/mm]
[mm] f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5=\vektor{2x_1^2 \\ 2x_2^2}+\vektor{3x_1*y_1 \\ 3x_2*y_2}+\vektor{2y_1^2 \\ 2y_2^2}-\vektor{5x_1 \\5x_2}-\vektor{2y_1 \\ 2y_2}+5
[/mm]
ich frage mich gerade, ob ich die funktion f ganz normal wie bei aufg. a) partiell ableiten kann, oder muss ich es komponnentenweise partiell ableiten? so wie ich das hier gemacht habe
https://matheraum.de/read?t=1027861
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
> f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5=\vektor{2x_1^2 \\ 2x_2^2}+\vektor{3x_1*y_1 \\ 3x_2*y_2}+\vektor{2y_1^2 \\ 2y_2^2}-\vektor{5x_1 \\5x_2}-\vektor{2y_1 \\ 2y_2}+5[/mm]
>
> ich frage mich gerade, ob ich die funktion f ganz normal
> wie bei aufg. a) partiell ableiten kann
ja, denn auch a ist eine Funktion z=f(x,y): [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] in zwei Veränderlichen (steht halt nur nicht dabei).
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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Hi,
> ja, denn auch a ist eine Funktion z=f(x,y): [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> in zwei Veränderlichen (steht halt nur nicht dabei).
asoo, dann ist [mm] f(x,y)=\vektor{2x_1^2 \\ 2x_2^2}+\vektor{3x_1*y_1 \\ 3x_2*y_2}+\vektor{2y_1^2 \\ 2y_2^2}-\vektor{5x_1 \\5x_2}-\vektor{2y_1 \\ 2y_2}+5 [/mm] totaler Quatsch
[mm] f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=4x+3y-5=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=4y+3x-2=0
[/mm]
x=2
y=-1
kritische stelle (2;-1)
[mm] H_f=\pmat{ 4 & 3 \\ 3 & 4 }
[/mm]
[mm] det(H_f)>0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial^2 x}>0
[/mm]
ein handelt sich um ein minimum
f(2,-1)=1
der letzte teil der aufgabe: "und geben Sie an, wo es sich um nur lokale oder um globale Minima bzw. Maxima handelt. "
es handelt sich um ein lokales und globales minima, weil es das einzige ist richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 12.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hi,
>
> > ja, denn auch a ist eine Funktion z=f(x,y): [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> > in zwei Veränderlichen (steht halt nur nicht dabei).
>
> asoo, dann ist [mm]f(x,y)=\vektor{2x_1^2 \\ 2x_2^2}+\vektor{3x_1*y_1 \\ 3x_2*y_2}+\vektor{2y_1^2 \\ 2y_2^2}-\vektor{5x_1 \\5x_2}-\vektor{2y_1 \\ 2y_2}+5[/mm]
> totaler Quatsch
Yep, das hat Fred ja auch schon geschrieben.
>
>
> [mm]f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=4x+3y-5=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=4y+3x-2=0[/mm]
>
> x=2
> y=-1
>
> kritische stelle (2;-1)
Ja
>
> [mm]H_f=\pmat{ 4 & 3 \\ 3 & 4 }[/mm]
>
>
> [mm]det(H_f)>0[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial^2 x}>0[/mm]
>
> ein handelt sich um ein minimum
>
> f(2,-1)=1
Ja
>
> der letzte teil der aufgabe: "und geben Sie an, wo es sich
> um nur lokale oder um globale Minima bzw. Maxima handelt.
> "
>
> es handelt sich um ein lokales und globales minima, weil es
> das einzige ist richtig?
Nein, hier musst du noch die Randextrema, also das Verhalten am Definitiosnrand, hier wahrlscheinlich im unendlichen betrachten, um Aussagen über das globale Maximun/Minimum zu ermittelnt
Beispiel:
Die Funktion h(x)=x³-3x² hat den lokalen Hochpunkt O(0|0) und den lokalen Tiefpunkt T(2|-4)
Aber, da
[mm] \lim\limits_{x\to\infty}(x^{3}-3x^{2})=\infty
[/mm]
und
[mm] \lim\limits_{x\to-\infty}(x^{3}-3x^{2})=-\infty
[/mm]
ist der Wertebereich komplett [mm] \IR, [/mm] also sind es lokale Extrema
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Sa 12.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5=\vektor{2x_1^2 \\ 2x_2^2}+\vektor{3x_1*y_1 \\ 3x_2*y_2}+\vektor{2y_1^2 \\ 2y_2^2}-\vektor{5x_1 \\5x_2}-\vektor{2y_1 \\ 2y_2}+5[/mm]
?????? Du bist auf einem völlig falschen Dampfer ?? Es sind $x,y [mm] \in \IR [/mm] $ !!!!
FRED
>
> ich frage mich gerade, ob ich die funktion f ganz normal
> wie bei aufg. a) partiell ableiten kann, oder muss ich es
> komponnentenweise partiell ableiten? so wie ich das hier
> gemacht habe
>
> https://matheraum.de/read?t=1027861
>
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