www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremwerte bestimmen
Extremwerte bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Extremwerte bestimmen: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Do 10.07.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
Bestimmen Sie Lage (x; y-Koordinaten), Art (Minimum, Maximum) und Größe (Funktionswert) der lokalen Extrema folgender Funktionen und geben Sie an, wo es sich um nur lokale oder um globale Minima bzw. Maxima handelt.

a) [mm] f(x,y)=y-4x-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y} [/mm]

b) f: [mm] \IR^2 \to \IR, f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5 [/mm]


a) [mm] f(x,y)=y-4x-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y} [/mm]

[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=-4+\bruch{1}{x^2}=0 [/mm]


[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=1-\bruch{1}{y^2}=0 [/mm]

Fall 1: [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm]

Fall 1.2: [mm] x=-\bruch{1}{2} [/mm]

Fall 2: y=1

Fall 2.2: y=-1

ich habe für y und x jeweils zwei werte. Was ist nun der kritische Punkt?

[mm] (\bruch{1}{2};1), (\bruch{1}{2};-1), (-\bruch{1}{2};1) [/mm] oder [mm] (\bruch{1}{2};-1)? [/mm]

        
Bezug
Extremwerte bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:37 Do 10.07.2014
Autor: Herby

Hi,

kann es sein, dass du dich hier ein bisschen vertan hast?

> Bestimmen Sie Lage (x; y-Koordinaten), Art (Minimum,
> Maximum) und Größe (Funktionswert) der lokalen Extrema
> folgender Funktionen und geben Sie an, wo es sich um nur
> lokale oder um globale Minima bzw. Maxima handelt.
>  
> a) [mm]f(x,y)=y-4x-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}[/mm]
>  
> b) f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5[/mm]
>  a)
> [mm]f(x,y)=y-4x-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=-4+\bruch{1}{x^2}=0[/mm]
>  
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=1-\bruch{1}{y^2}=0[/mm]
>  
> Fall 1: [mm]x=\wurzel{\bruch{1}{4}}[/mm]

damit ist x=1/2

> Fall 1.2: [mm]x=-\wurzel{\bruch{1}{4}}[/mm]

damit ist x=-1/2
  

> Fall 2: y=i
>  
> Fall 2.2: y=-i

warum i und -i [haee]  [mm] y_{1,2}=\pm1 [/mm]
  

> ich habe für y und x jeweils zwei werte. Was ist nun der
> kritische Punkt?
>
> [mm](\wurzel{\bruch{1}{4}};i), (\wurzel{\bruch{1}{4}};-i), (-\wurzel{\bruch{1}{4}};i)[/mm]
> oder [mm](\wurzel{\bruch{1}{4}};-i)?[/mm]  


LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby

Bezug
                
Bezug
Extremwerte bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:55 Do 10.07.2014
Autor: arbeitsamt

hallo

ich habs korrigiert. die frage ist, muss ich für die 4 kritischen stellen den extremwert bestimmen ?

Bezug
                        
Bezug
Extremwerte bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:33 Fr 11.07.2014
Autor: Herby

Hi,

> hallo
>  
> ich habs korrigiert. die frage ist, muss ich für die 4
> kritischen stellen den extremwert bestimmen ?

ja, sofern vorhanden.

LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby

Bezug
        
Bezug
Extremwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Fr 11.07.2014
Autor: angela.h.b.

>  Was ist nun der
> kritische Punkt?

>

> [mm](\bruch{1}{2};1), (\bruch{1}{2};-1), (-\bruch{1}{2};1)[/mm] oder
> [mm](\bruch{1}{2};-1)?[/mm]

Hallo,

alle vier.

Stell nun die Hessematrix auf, setze jeweils die Punkte ein.
Entscheide dann anhand der Definitheit der Hessematrix, ob es sich um Min, Max oder Sattlepunkt handelt.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Extremwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Fr 11.07.2014
Autor: arbeitsamt

Die Hessematrix:

[mm] H_f=\pmat{ \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} & \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial y} \\ \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y \partial x} & \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}} [/mm]

ich verstehe folgende notation nicht ganz:  [mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial y} [/mm]

heißt das ich soll f(x,y) zuerst nach x und dann nach y ableiten? das würde ja nicht gehen.
wenn ich f(x,y) nach x ableiten, dann gibt es keine y variabel mehr

Bezug
                        
Bezug
Extremwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Fr 11.07.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Die Hessematrix:

>

> [mm]H_f=\pmat{ \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} & \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial y} \\ \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y \partial x} & \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}}[/mm]

>

> ich verstehe folgende notation nicht ganz: [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial y}[/mm]

>

> heißt das ich soll f(x,y) zuerst nach x und dann nach y
> ableiten?

Ja

> das würde ja nicht gehen.

Warum nicht?


> wenn ich f(x,y) nach x ableiten, dann gibt es keine y
> variabel mehr

Na und?

Aha, was machst du, wenn du $g(x)=3$ hast und nach x ableitest?

Gruß
schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Extremwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Fr 11.07.2014
Autor: arbeitsamt

ach stimmt ich hatte ein denkfehler.

Für den Fall [mm] (\bruch{1}{2};1) [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] H_f=\pmat{ \bruch{-2}{x^3} & 0 \\ 0 & \bruch{2}{y^3} } [/mm]

der Hauptminior ist [mm] \bruch{-2}{x^3} [/mm] und die [mm] det(H_f)=\bruch{-4}{x^3y^3} [/mm]

Die Kritische stelle ist ein maximum.

Meine Frage: Die hessematrix ist von den kritischen stellen unabhängig oder? das heißt ich habe für alle 4 kritischen stellen die selbe Hessematrix. das heißt alle kritische stellen sind ein Maximum oder?

ich finde das irgendwie komisch. im eindimensionalen bereich ist es ja so, dass ich die kritische stellen in die zweite ableitung einsetzen muss und am fuznktionwert erkenne ich ob die kritische stelle ein maximum oder ein minimum ist

Bezug
                                        
Bezug
Extremwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Fr 11.07.2014
Autor: MathePower

Hallo arbeitsamt,

> ach stimmt ich hatte ein denkfehler.
>  
> Für den Fall [mm](\bruch{1}{2};1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]H_f=\pmat{ \bruch{-2}{x^3} & 0 \\ 0 & \bruch{2}{y^3} }[/mm]
>  
> der Hauptminior ist [mm]\bruch{-2}{x^3}[/mm] und die
> [mm]det(H_f)=\bruch{-4}{x^3y^3}[/mm]
>  


[ok]


> Die Kritische stelle ist ein maximum.
>


Das ist nur ein Maximum, wenn die
zweite partielle Ableitung nach x <  0
und die Determinante an dieser
kritischen Stelle > 0 ist.


> Meine Frage: Die hessematrix ist von den kritischen stellen
> unabhängig oder? das heißt ich habe für alle 4
> kritischen stellen die selbe Hessematrix. das heißt alle
> kritische stellen sind ein Maximum oder?
>


Dieselbe Hessematrix in Abhängigkeit von x und y.

Ist die Determinante der Hessematrix < 0,
so liegt ein Sattelpunkt vor.

Verschwindet die Determinante der Hessematrix
an der kritischen Stelle, so kann kein Aussage
über diese Stelle getroffen werden.


> ich finde das irgendwie komisch. im eindimensionalen
> bereich ist es ja so, dass ich die kritische stellen in die
> zweite ableitung einsetzen muss und am fuznktionwert
> erkenne ich ob die kritische stelle ein maximum oder ein
> minimum ist


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Extremwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Fr 11.07.2014
Autor: arbeitsamt


> Das ist nur ein Maximum, wenn die
> zweite partielle Ableitung nach x <  0
>  und die Determinante an dieser
> kritischen Stelle > 0 ist.

nur die zweite ableitung nach x? was ist mit y?

[mm] det(H_f(\bruch{1}{2};1))=-32 [/mm]

[mm] \bruch{\partial^2 f(\bruch{1}{2};1)}{\partial x^2}=-8 [/mm]

[mm] \bruch{\partial^2 f(\bruch{1}{2};1)}{\partial y^2}=2 [/mm]

ist das ein sattelpunkt? der funktionswert der zweitenableitung nach x und y ist positiv und negativ

Bezug
                                                        
Bezug
Extremwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Fr 11.07.2014
Autor: MathePower

Hallo arbeitsamt,

> > Das ist nur ein Maximum, wenn die
> > zweite partielle Ableitung nach x <  0
>  >  und die Determinante an dieser
> > kritischen Stelle > 0 ist.
>  
> nur die zweite ableitung nach x? was ist mit y?
>  


Die spielt keine Rolle.


> [mm]det(H_f(\bruch{1}{2};1))=-32[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partial^2 f(\bruch{1}{2};1)}{\partial x^2}=-8[/mm]
>  


Hier muss als Ergebnis -16 stehen.


> [mm]\bruch{\partial^2 f(\bruch{1}{2};1)}{\partial y^2}=2[/mm]
>  
> ist das ein sattelpunkt? der funktionswert der
> zweitenableitung nach x und y ist positiv und negativ


Die Determinante ist < 0, somit ist das ein Sattelpunkt.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Extremwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Fr 11.07.2014
Autor: arbeitsamt

hallo,

Fall1 [mm] (\bruch{1}{2};1) [/mm]

[mm] det(H_f(\bruch{1}{2};1))=-32 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] Sattelpunkt

[mm] f(\bruch{1}{2};1)=-2 [/mm]

ich verstehe den letzten teil der aufgabe nicht ganz: "..und geben Sie an, wo es sich um nur lokale oder um globale Minima bzw. Maxima handelt."


da ich im Fall1 einen sattelpunkt habe, muss ich diesen teil der aufgabe nicht lösen oder?

wie löse ich den letzten teil der aufgabe?


Bezug
                                                                        
Bezug
Extremwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Fr 11.07.2014
Autor: MathePower

Hallo arbeitsamt,

> hallo,
>  
> Fall1 [mm](\bruch{1}{2};1)[/mm]
>  
> [mm]det(H_f(\bruch{1}{2};1))=-32[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] Sattelpunkt
>  
> [mm]f(\bruch{1}{2};1)=-2[/mm]
>  
> ich verstehe den letzten teil der aufgabe nicht ganz:
> "..und geben Sie an, wo es sich um nur lokale oder um
> globale Minima bzw. Maxima handelt."
>  
>
> da ich im Fall1 einen sattelpunkt habe, muss ich diesen
> teil der aufgabe nicht lösen oder?
>  


Ja, dann mußt Du diesen Teil nicht lösen.


> wie löse ich den letzten teil der aufgabe?

>


Bestimme die Art eines jeden kritischen Punktes.
Entscheide dann im Fall eines Maximums/Minimums,
ob es lokal und oder global ist.  


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Extremwerte bestimmen: Aufg. b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Sa 12.07.2014
Autor: arbeitsamt

f: [mm] \IR^2 \to \IR, f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5 [/mm]

[mm] f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5=\vektor{2x_1^2 \\ 2x_2^2}+\vektor{3x_1*y_1 \\ 3x_2*y_2}+\vektor{2y_1^2 \\ 2y_2^2}-\vektor{5x_1 \\5x_2}-\vektor{2y_1 \\ 2y_2}+5 [/mm]

ich frage mich gerade, ob ich die funktion f ganz normal wie bei aufg. a) partiell ableiten kann, oder muss ich es komponnentenweise partiell ableiten? so wie ich das hier gemacht habe

https://matheraum.de/read?t=1027861



Bezug
                
Bezug
Extremwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Sa 12.07.2014
Autor: Herby

Hi,

>  f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5[/mm]
>  
> [mm]f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5=\vektor{2x_1^2 \\ 2x_2^2}+\vektor{3x_1*y_1 \\ 3x_2*y_2}+\vektor{2y_1^2 \\ 2y_2^2}-\vektor{5x_1 \\5x_2}-\vektor{2y_1 \\ 2y_2}+5[/mm]
>  
> ich frage mich gerade, ob ich die funktion f ganz normal
> wie bei aufg. a) partiell ableiten kann

ja, denn auch a ist eine Funktion z=f(x,y): [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] in zwei Veränderlichen (steht halt nur nicht dabei).


LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby

Bezug
                        
Bezug
Extremwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Sa 12.07.2014
Autor: arbeitsamt

Hi,

> ja, denn auch a ist eine Funktion z=f(x,y): [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> in zwei Veränderlichen (steht halt nur nicht dabei).

asoo, dann ist [mm] f(x,y)=\vektor{2x_1^2 \\ 2x_2^2}+\vektor{3x_1*y_1 \\ 3x_2*y_2}+\vektor{2y_1^2 \\ 2y_2^2}-\vektor{5x_1 \\5x_2}-\vektor{2y_1 \\ 2y_2}+5 [/mm] totaler Quatsch


[mm] f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5 [/mm]

[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=4x+3y-5=0 [/mm]

[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=4y+3x-2=0 [/mm]

x=2
y=-1

kritische stelle (2;-1)

[mm] H_f=\pmat{ 4 & 3 \\ 3 & 4 } [/mm]


[mm] det(H_f)>0 [/mm]


[mm] \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial^2 x}>0 [/mm]

ein handelt sich um ein minimum

f(2,-1)=1

der letzte teil der aufgabe: "und geben Sie an, wo es sich um nur lokale oder um globale Minima bzw. Maxima handelt. "

es handelt sich um ein lokales und globales minima, weil es das einzige ist richtig?



Bezug
                                
Bezug
Extremwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Sa 12.07.2014
Autor: M.Rex

Hallo

> Hi,

>

> > ja, denn auch a ist eine Funktion z=f(x,y): [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> > in zwei Veränderlichen (steht halt nur nicht dabei).

>

> asoo, dann ist [mm]f(x,y)=\vektor{2x_1^2 \\ 2x_2^2}+\vektor{3x_1*y_1 \\ 3x_2*y_2}+\vektor{2y_1^2 \\ 2y_2^2}-\vektor{5x_1 \\5x_2}-\vektor{2y_1 \\ 2y_2}+5[/mm]
> totaler Quatsch


Yep, das hat Fred ja auch schon geschrieben.


>
>

> [mm]f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5[/mm]

>

> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=4x+3y-5=0[/mm]

>

> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=4y+3x-2=0[/mm]

>

> x=2
> y=-1

>

> kritische stelle (2;-1)

Ja

>

> [mm]H_f=\pmat{ 4 & 3 \\ 3 & 4 }[/mm]

>
>

> [mm]det(H_f)>0[/mm]

>
>

> [mm]\bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial^2 x}>0[/mm]

>

> ein handelt sich um ein minimum

>

> f(2,-1)=1

Ja

>

> der letzte teil der aufgabe: "und geben Sie an, wo es sich
> um nur lokale oder um globale Minima bzw. Maxima handelt.
> "

>

> es handelt sich um ein lokales und globales minima, weil es
> das einzige ist richtig?


Nein, hier musst du noch die Randextrema, also das Verhalten am Definitiosnrand, hier wahrlscheinlich im unendlichen betrachten, um Aussagen über das globale Maximun/Minimum zu ermittelnt

Beispiel:

Die Funktion h(x)=x³-3x² hat den lokalen Hochpunkt O(0|0) und den lokalen Tiefpunkt T(2|-4)

Aber, da
[mm] \lim\limits_{x\to\infty}(x^{3}-3x^{2})=\infty [/mm]
und
[mm] \lim\limits_{x\to-\infty}(x^{3}-3x^{2})=-\infty [/mm]
ist der Wertebereich komplett [mm] \IR, [/mm] also sind es lokale Extrema

Marius

Bezug
                
Bezug
Extremwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Sa 12.07.2014
Autor: fred97


>  f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5[/mm]
>  
> [mm]f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-5x-2y+5=\vektor{2x_1^2 \\ 2x_2^2}+\vektor{3x_1*y_1 \\ 3x_2*y_2}+\vektor{2y_1^2 \\ 2y_2^2}-\vektor{5x_1 \\5x_2}-\vektor{2y_1 \\ 2y_2}+5[/mm]

??????   Du bist auf einem völlig falschen Dampfer ?? Es sind $x,y [mm] \in \IR [/mm] $ !!!!


FRED

>  
> ich frage mich gerade, ob ich die funktion f ganz normal
> wie bei aufg. a) partiell ableiten kann, oder muss ich es
> komponnentenweise partiell ableiten? so wie ich das hier
> gemacht habe
>
> https://matheraum.de/read?t=1027861
>  
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]