Extremwerte bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Di 06.07.2010 | | Autor: | dynaDE |
| Aufgabe | | Alle extremwerte der Funktion z = f(x,y) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 2xy - [mm] 3x^2 [/mm] -137 bestimmen. |
Hallo, ich habe einige Probleme in der Vorgehensweise.
Als erstes würde ich partiell ableiten.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm] + 2y - 6x
und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = 2y + 2x
Für Extremwerte gelten ja folgende Bedingungen.
[mm] f_x(x_0,y_0) [/mm] = 0
[mm] f_y(x_0,y_0) [/mm] = 0
Sowie die hinreichende Bedingung:
[mm] \nabla [/mm] = [mm] f_x_x(x_0,y_0) [/mm] * [mm] f_y_y(x_0,y_0) [/mm] - [mm] f^2_x_y(x_0,y_0) [/mm] > 0
Was muss ich nun machen?
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo dynaDE,
> Alle extremwerte der Funktion z = f(x,y) = [mm]x^3[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2xy
> - [mm]3x^2[/mm] -137 bestimmen.
> Hallo, ich habe einige Probleme in der Vorgehensweise.
>
> Als erstes würde ich partiell ableiten.
Ja!
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> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = [mm]3x^2[/mm] + 2y - 6x ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und
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> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] = 2y + 2x
>
> Für Extremwerte gelten ja folgende Bedingungen.
>
> [mm]f_x(x_0,y_0)[/mm] = 0
> [mm]f_y(x_0,y_0)[/mm] = 0
>
> Sowie die hinreichende Bedingung:
> [mm]\nabla[/mm] = [mm]f_x_x(x_0,y_0)[/mm] * [mm]f_y_y(x_0,y_0)[/mm] -
> [mm]f^2_x_y(x_0,y_0)[/mm] > 0
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> Was muss ich nun machen?
Löse erstmal das Gleichungssystem mit den partiellen Ableitungen, das liefert dir die sog. stationären Punkte, an denen Extrema vorliegen können.
Dazu schreibe die zweite Gleichung mal als $2(x+y)=0$, also $x=-y$
Damit in die andere und du bekommst zwei stationäre Punkte
[mm] $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$
[/mm]
Dann stelle die Hessematrix auf und werte diese an den stat. Punkten aus.
Das gibt dir Aufschluss, ob ein Extremum vorliegt und wenn ja, welcher Art es ist.
Dazu musst du die Hessematrix auf Definitheit untersuchen.
Gruß
schachuzipus
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> Vielen Dank schonmal!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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