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| Aufgabe | Loesen Sie folgende Extremwertaufgaben mit den Nebenbedingungen mit dem Lagrange-Multiplikator:
$f: [mm] \IR^3, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] xyz$ mit Nebenbedingung [mm] $x^2+y^2+z^2=4, [/mm] x,y,z [mm] \ge [/mm] 0$ |
Hi,
ich habe zuerst die Funktion $F(x,y,z, [mm] \lambda) [/mm] = xyz+ [mm] \lambda(x^2+y^2+z^2-4)$ [/mm] gebildet. Davon habe ich dann die Ableitungen gebildet:
1. [mm] $\frac{\partial F}{\partial x}=yz+2 \lambda [/mm] x$
2. [mm] $\frac{\partial F}{\partial y}=xz+2 \lambda [/mm] y$
3. [mm] $\frac{\partial F}{\partial z}=xy+2 \lambda [/mm] z$
4. [mm] $\frac{\partial F}{\partial \lambda}=x^2+y^2+z^2-4$
[/mm]
Nun habe ich 1. nach [mm] \lambda [/mm] umgestellt:
[mm] $\lambda [/mm] = - [mm] \frac{yz}{2x}$ [/mm] für $2x [mm] \not= [/mm] 0$ und $yz=0$ für $2x=0$
Das habe ich in 2. eingesetzt und erhalte $x= [mm] \pm [/mm] y$. Laut Voraussetzung sind ja $x,y,z [mm] \ge [/mm] 0$. Nun weis ich aber nicht mehr so recht weiter. Was ist mit dem Fall $yz=0$ für $2x=0$? Da bekomme ich irgendwie nix raus. Und darf ich das $x=y$ jetzt ueberall verwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mo 29.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Loesen Sie folgende Extremwertaufgaben mit den
> Nebenbedingungen mit dem Lagrange-Multiplikator:
>
> [mm]f: \IR^3, (x,y,z) \mapsto xyz[/mm] mit Nebenbedingung
> [mm]x^2+y^2+z^2=4, x,y,z \ge 0[/mm]
> Hi,
>
> ich habe zuerst die Funktion [mm]F(x,y,z, \lambda) = xyz+ \lambda(x^2+y^2+z^2-4)[/mm]
> gebildet. Davon habe ich dann die Ableitungen gebildet:
>
> 1. [mm]\frac{\partial F}{\partial x}=yz+2 \lambda x[/mm]
> 2.
> [mm]\frac{\partial F}{\partial y}=xz+2 \lambda y[/mm]
> 3.
> [mm]\frac{\partial F}{\partial z}=xy+2 \lambda z[/mm]
> 4.
> [mm]\frac{\partial F}{\partial \lambda}=x^2+y^2+z^2-4[/mm]
>
> Nun habe ich 1. nach [mm]\lambda[/mm] umgestellt:
> [mm]\lambda = - \frac{yz}{2z}[/mm] für [mm]2x \not= 0[/mm] und [mm]yz=0[/mm] für
> [mm]2x=0[/mm]
> Das habe ich in 2. eingesetzt und erhalte [mm]x= \pm y[/mm]. Laut
> Voraussetzung sind ja [mm]x,y,z \ge 0[/mm]. Nun weis ich aber nicht
> mehr so recht weiter. Was ist mit dem Fall [mm]yz=0[/mm] für [mm]2x=0[/mm]?
> Da bekomme ich irgendwie nix raus. Und darf ich das [mm]x=y[/mm]
> jetzt ueberall verwenden?
Hallo,
meine Erfahrung sagt mir, dass das Produkt xyz maximal ist, wenn x=y=z gilt.
Da die Faktoren laut Aufgabenstellung nicht negativ sein dürfen, ist das minimal mögliche Produkt auch nichtnegativ, kann aber Null sein.
Gruß Abakus
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Hi,
$x=y$ hab ich ja rausgefunden fuer den Falls $2x [mm] \not= [/mm] 0$. Was mit Probleme macht is ja die naechste Aufloesung der Gleichung und der falls das $2x=0$ ist, das muss ich doch auch machen, oder?
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> Hi,
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> [mm]x=y[/mm] hab ich ja rausgefunden fuer den Falls [mm]2x \not= 0[/mm]. Was
> mit Probleme macht is ja die naechste Aufloesung der
> Gleichung und der falls das [mm]2x=0[/mm] ist, das muss ich doch
> auch machen, oder?
Hallo,
ja.
Es ist bei diesen Aufgaben wichtig, sich die nötigen Fallunterscheidungen irgendwo übersichtlich zu notieren, denn wenn es mehrere sind, verliert man leicht den Überblick.
Ich mache mir, wenn Chaos droht, auf einem Schmierzettel einen "Fallunterscheidungsbaum". Wenn ich mit einem Zweig bis unten durch bin, setze ich ein Häkchen. So sehe ich gut, wo ich noch weitemachen muß.
Du hattest aus der 1. Gleichung erhalten
A. [mm] x\not=0 [/mm] und $ [mm] \lambda [/mm] = - [mm] \frac{yz}{2x} [/mm] $ für $ 2x [mm] \not= [/mm] 0 $
oder
B. x=0 und yz=0.
Diesen Fall mußt Du später weiterverfolgen.
Mit A. weiterarbeitend findet man aus der zweiten Gleichung ein bißchen mehr als das, was Du schreibst:
A.a [mm] z\not=0 [/mm] und (x=y oder x=-y)
oder
A.b. z=0.
Auch hier sind beide Fälle zu verfolgen.
Schauen wir uns A.a. an:
Da [mm] x\not=0, [/mm] fällt x=-y fort, denn sonst wäre eins von beiden negativ.
Weiter geht's hier also mit [mm] z\not=0 [/mm] und x=y.
Damit kannst Du nun in die dritte Gleichung gehen.
---
Zum Fall B. x=0 und yz=0.
==> x=0 und (y=0 oder z=0)
Für die weitere Untersuchung ist es vielleicht gut, sich erstmal Gleichung 4. anzuschauen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Di 30.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Loesen Sie folgende Extremwertaufgaben mit den
> Nebenbedingungen mit dem Lagrange-Multiplikator:
>
> [mm]f: \IR^3, (x,y,z) \mapsto xyz[/mm] mit Nebenbedingung
> [mm]x^2+y^2+z^2=4, x,y,z \ge 0[/mm]
> Hi,
>
> ich habe zuerst die Funktion [mm]F(x,y,z, \lambda) = xyz+ \lambda(x^2+y^2+z^2-4)[/mm]
> gebildet. Davon habe ich dann die Ableitungen gebildet:
>
> 1. [mm]\frac{\partial F}{\partial x}=yz+2 \lambda x[/mm]
> 2.
> [mm]\frac{\partial F}{\partial y}=xz+2 \lambda y[/mm]
> 3.
> [mm]\frac{\partial F}{\partial z}=xy+2 \lambda z[/mm]
> 4.
> [mm]\frac{\partial F}{\partial \lambda}=x^2+y^2+z^2-4[/mm]
>
> Nun habe ich 1. nach [mm]\lambda[/mm] umgestellt:
> [mm]\lambda = - \frac{yz}{2x}[/mm] für [mm]2x \not= 0[/mm] und [mm]yz=0[/mm] für
> [mm]2x=0[/mm]
> Das habe ich in 2. eingesetzt und erhalte [mm]x= \pm y[/mm]. Laut
> Voraussetzung sind ja [mm]x,y,z \ge 0[/mm]. Nun weis ich aber nicht
> mehr so recht weiter. Was ist mit dem Fall [mm]yz=0[/mm] für [mm]2x=0[/mm]?
> Da bekomme ich irgendwie nix raus. Und darf ich das [mm]x=y[/mm]
> jetzt ueberall verwenden?
Tipp:
1. [mm]\frac{\partial F}{\partial x}=yz+2 \lambda x=0[/mm]
2. [mm]\frac{\partial F}{\partial y}=xz+2 \lambda y=0[/mm]
3. [mm]\frac{\partial F}{\partial z}=xy+2 \lambda z= 0[/mm]
Multipliziere die erst Gleichung mit x, die zweite mit y und die dritte mit z.
Dann erhälst Du:
[mm] \lambda x^2=\lambda y^2=\lambda z^2
[/mm]
Benutze nun Deine obige Gleichung 4. Dann brauchst Du nur eine Fallunterscheidung:
[mm] \lambda [/mm] =0 , [mm] \lambda \not=0
[/mm]
FRED
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