Extremwerte und Wendepunkte < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
| Aufgabe | [mm] f(x)=x^2*(lnx)^2
[/mm]
Bestimme Extrema und Wendepunkte |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi ihr,
an dieser Funktion knabber ich jetzt schon seit fast einer Woche. Mit meinem Ergebnis bin ich auch ganz zufreieden würde aber doch gerne mal, dass mal einer drüberguckt, ob da irgendwas falsch ist.
Ableitungen:
Ich hab mir gedacht es wäre um einiges leichter, wenn ich die Funktion so umwandel:
[mm] f(x)=(x*lnx)^2
[/mm]
f(x) ist als Produkt auf [mm] \IR^+ [/mm] differenzierbarer Funktionen differenzierbar auf [mm] \IR^+ [/mm]
f´(x)=2(x*lnx)*(1+lnx)
f''(x)= [mm] 2(lnx+1)*(lnx+1)+2(x*lnx)*\bruch{1}{x}=2(lnx)^2+2lnx
[/mm]
[mm] f'''(x)=4(lnx+1)*\bruch{1}{x}+\bruch{2}{x}
[/mm]
Extrema:
notwendig für das vorliegen eines Extremums bei (x0) ist f´(x)=o:
0=2(x*lnx)*(1+lnx)
[mm] \gdw [/mm] 0=x [mm] \vee [/mm] 0=lnx [mm] \vee [/mm] lnx=-1
[da x [mm] \not= [/mm] 0]
[mm] \gdw [/mm] x=1 [mm] \vee [/mm] x= [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
hinreichend für das vorliegen eines Extremuns in (x0) ist:
f'(x0)=0 [mm] \wedge f''(x0)\not= [/mm] 0
f''(1)=2
da 2>0 liegt bei x=1 ein Minimum vor
[mm] f''(\bruch{1}{e})=-2
[/mm]
da -2<0 ist, liegt bei [mm] x=\bruch{1}{e} [/mm] ein Maximum vor.
Funktionswerte:
f(1)=0
[mm] f(\bruch{1}{e})=\bruch{1}{e^2}
[/mm]
Wendepunkte:
notwendig für das Vorliegen eines Wendepunktes in (x0) ist: f´´(x0)=0
[mm] 0=2(lnx+1)^2+2lnx
[/mm]
[mm] \gdw 0=2(lnx)^2 [/mm] + 6lnx+2
[mm] \gdw [/mm] lnx= - [mm] \bruch{3}{2} \pm \wurzel{\bruch{7}{4}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] lnx= [mm] \bruch{-3+ \wurzel{5}}{2} \vee [/mm] lnx= [mm] \bruch{-3- \wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x= e [mm] ^\bruch{-3+ \wurzel{5}}{2} \vee [/mm] x= e [mm] ^\bruch{-3- \wurzel{5}}{2}
[/mm]
hinreichend für das vorliegen eines Wendepunktes bei x0 ist: f´´(x0)=0 [mm] \wedge [/mm] f´´´(x0) [mm] \not=0
[/mm]
da unser Mathelehrer unsere Aufgaben eigentlich immer so stellt, dass alles problemlos ohne Taschenrechner geht,kommt mir das schon komisch vor. Wenn das jetzt bisher alles so stimmt nehm ich mir halt meinen Taschenrechner und überprüfe das. Aber mit den Werten berechne ich keine genauen Ergebnisse im Kopf...
Danke schonmal im Voraus und liebe Grüße
Michi
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Hallo Michi,
deine Ergebnisse scheinen richtig zu sein. Ich habe das selbe, und mein Taschenrechner auch  .
Allerdings ist nur die erste Wendestelle richtig. Wenn du die zweite einfach mal mit dem Taschenrechner ausrechnest, siehst du das der Wendepunkt negativ ist. Die Funktion ist aber nur im positiven definiert.
Auf deine schreibweise musst ein bisschen aufpassen. Du schreibst immermal "x0", was eigentlich die Bezeichnung für eine Nullstellen ist, wo es aber gar nicht um Nullstellen geht.
Viele Grüße,
Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
vielen lieben Dank. Gut zu wissen, dass sich die Mühe gelohnt hat.
Liebe Grüße
Michi
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