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Hallo!
Ich hab eine Frage zu einer Aufgabe bei der ichnet weiterkomme. Es geht darum, dass in einen Kegel mit der Höhe H und dem Radius R ein anderer Kegel eingeschrieben werden soll, sodass dem seine Spitze genau im MIttelpunkt des Grundkreises von ersten liegt. Das V soll möglichst groß sein.
ICh weiß, dass ich nen Strahlensatz benutzten muss, aber ich kann mir einfachnicht vorstellen wie!
Vielleicht kann mir das jemand erklären!
Danke, ANgel
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Wow danke! Jetzt hab ich das mit dem Strahlensatz auch verstanden, wieso man den überhaupt anwenden kann.
Jetzt kann ich also V in ABhängigkeit von r angeben:
V [mm] \left( \bruch{H-Hr}{R} \right)
[/mm]
Aber dann hab ich dochimmer noch R und r drin?! Was mach ich denn damit? Müsste nicht nur eine Variable vorkommen?
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Hm, eigentlich meinte ich
[mm] V(r)=pi/3*r^2*((H-H*r)/R)
[/mm]
Wo nimmst du denn zweimal R her? Leider ist mein Problem ja, das leider eigentlich überhaupt nichts gegeben ist :( Deswegen krieg ich ja auch nichts auf die Reihe
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Jo, stimmt, da hab ich mich verrechtnet gehabt, hab einfach nur *H genommen :o)
Naja, also müsste ich jetzt die ableitungsfunktion machen. Das ist ja kein Problem, aber ich kann die Gleichung nicht umformen.
Müsste sie dann
[mm] (Pi/3*r^2*H*R)/R [/mm] - [mm] (pi/3*r^3*H)/R
[/mm]
sein?
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Also, soweit hatte ich das ja verstanden. Deswegen habich mal Probiert, die Notwendige Bedingung zu benutzten und bin dann auf die Lösung gekommen, dass an der Stelle 2/3R ein Extremum vorliegenkann. Stimmt das?
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Wenigstens etwas richtig ;) Naja, aber muss ich nicht erst noch die Hinreichende Bedingung nutzen um zu sehen ob wirklich ein Extremum vorliegt? Ich hab das mal probiert, ohne zu erkennen, dass man auch nur mit Rr²-r³ weiterrechnen kann. V''(r) Wäre also bei mir 2(Pi*H/3R)R-6(Pi*H/3R)r
Muss in diese GLeichung jetzt einfach r eingesetzt werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Angel of Heaven
> Wenigstens etwas richtig ;) Naja, aber muss ich nicht erst
> noch die Hinreichende Bedingung nutzen um zu sehen ob
> wirklich ein Extremum vorliegt? Ich hab das mal probiert,
> ohne zu erkennen, dass man auch nur mit Rr²-r³
> weiterrechnen kann. V''(r) Wäre also bei mir
> 2(Pi*H/3R)R-6(Pi*H/3R)r
> Muss in diese GLeichung jetzt einfach r eingesetzt
> werden?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, auch das siehst du richtig. Ich würde aber auch hier die konstanten Werte ausklammern und gar weglassen, denn auch hier gilt: wenn die 2. Ableitung von f(x) > 0 ist, dann auch bei der Funktion [mm]c*f(x)[/mm], sofern c[mm] [/mm] positiv ist.
In unserm Falle ist [mm]c = \bruch{\pi*H}{3R}[/mm], also sicher positiv.
Von der geometrischen Anschauung her ist diese Betrachtung nicht nötig, denn du kannst ja mit r = 0 beginnen (dann ist h = H) und in Gedanken das h kleiner werden lassen (r nimmt dann zu) . Das Volumen nimmt dann offensichtlich von 0 beginnend, zu. Wenn dann h den Wert 0 angenommen hat (und somit r = R), dann ist das Volumen wieder 0. Dazwischen muss dann offensichtlich ein Maximum gelegen haben, und nicht ein Minimum.
Aber du hast schon recht: wenn man auf die Anschauung verzichtet und die Lösung vollständig mathematisch begründen will, dann muss man auch noch untersuchen, ob beim fraglichen Punkt tatsächlich die 2. Ableitung negativ ist! 
Mit lieben Grüssen
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