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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mo 11.01.2010 | | Autor: | coucou |
| Aufgabe | Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis.
Wie sind Breite und Höhe des Rechtsecks zu wählen, damit dei Querschnittsfläche 8m² groß ist und zur Ausmauerung des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird? |
Hallo!
Ich hab mir erstmal überlegt, dass die Formal für den Querschnitt
A= a * b + 1/2 Pi r² = 8 sein muss.
Dann habe ich mir nur den Halbkreis in ein Koordinatensystem gemalt und somit f(0) = r, f( -1/2a) = 0 und f(1/2 a) = 0
Die Formal für die Funktion müsste cx² + d sein, somit also c* -1/2 a + d oder das Ganze mit 1/2 a.
Stellt man die Gleichung für den kompletten Querschnitt (siehe Anfang) nach r um, erhält man für r [mm] \wurzel{(16-2ab): (Pi)}
[/mm]
Also erhält man f(x)= 1/2a - [mm] \wurzel{(16-2ab): (Pi)} [/mm] * (1/2 a)² - [mm] \wurzel{(16-2ab): (Pi)}
[/mm]
Diesen Term müsste ich nun auf ein Maximum untersuchen und das wäre mein Punkt r oder? Und wie rechne ich dann weiter?
Vielen Danke,
lg
coucou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mo 11.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals
> ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis.
> Wie sind Breite und Höhe des Rechtsecks zu wählen, damit
> dei Querschnittsfläche 8m² groß ist und zur Ausmauerung
> des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird?
> Hallo!
>
> Ich hab mir erstmal überlegt, dass die Formal für den
> Querschnitt
> A= a * b + 1/2 Pi r² = 8 sein muss.
Hallo,
möglichst wenig Material bedeutet einen möglichst kleinen Umfang.
Du hast im Ansatz gleich 3 Variablen, das ist eindeutig zu viel.
Der Radius r ist nichts anderes als a/2 (falls a die Breite ist)
Der Umfang (deine Zielfunktion) berechnet sich aus a, zweimal b und dem Halbkreis mit dem Radius a/2.
Damit hängt u von a und b ab.
Die Nebenbedingung [mm] 8=ab+0,5\pi*(a/2)^2 [/mm] kannst du nach b umstellen und somit b in der Zielfunktion durch diesen umgestellten Term ersetzen.
Gruß Abakus
>
> Dann habe ich mir nur den Halbkreis in ein
> Koordinatensystem gemalt und somit f(0) = r, f( -1/2a) = 0
> und f(1/2 a) = 0
> Die Formal für die Funktion müsste cx² + d sein, somit
> also c* -1/2 a + d oder das Ganze mit 1/2 a.
> Stellt man die Gleichung für den kompletten Querschnitt
> (siehe Anfang) nach r um, erhält man für r
> [mm]\wurzel{(16-2ab): (Pi)}[/mm]
> Also erhält man f(x)= 1/2a -
> [mm]\wurzel{(16-2ab): (Pi)}[/mm] * (1/2 a)² - [mm]\wurzel{(16-2ab): (Pi)}[/mm]
>
> Diesen Term müsste ich nun auf ein Maximum untersuchen und
> das wäre mein Punkt r oder? Und wie rechne ich dann
> weiter?
>
> Vielen Danke,
> lg
> coucou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 11.01.2010 | | Autor: | coucou |
Dann habe ich aber als Zielfunktion
f(x)= 2 * [mm] \bruch{8-1/8 Pi * a^2}{a} [/mm] + a + 1/8 Pi * a²
Kann man den noch irgendwie umstellen oder so? Sodass man eine Ableitungen bilden kann, um den Extrempunkt zu finden?
LG,
coucou
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Hallo coucou,
> Dann habe ich aber als Zielfunktion
> f(x)= 2 * [mm]\bruch{8-1/8 Pi * a^2}{a}[/mm] + a + 1/8 Pi * a²
1. die Variable heißt doch "a" und nicht x !! ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
2. Schreibe die Hochzahlen nie mit dem Tastaturkürzel sondern stets als a^2 und mache keine Leerzeichen in die Formeln, dann werden sie "schöner" übersetzt..
3. [mm] f(a)=2*\bruch{8-\bruch{1}{8} \pi * a^2}{a}+a+\bruch{1}{8}*\pi*a^2 [/mm] [<-- klick]
jetzt fasse mal zusammen bzw. löse den Bruch so auf, dass du einzelne Summanden bekommst.
Schließlich: wie bist du denn auf diese Formel gekommen?
>
> Kann man den noch irgendwie umstellen oder so? Sodass man
> eine Ableitungen bilden kann, um den Extrempunkt zu
> finden?
>
> LG,
> coucou
Gruß informix
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