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Sehr geehrte Damen und Herren,
Ich habe bei folgender Aufgabe das Problem, eine entsprechende Funktionsgleichung aufzustellen bei der man das Maximum eines Qerschnitts einer trapezförmigen Rinne herausbekommt. Zwar habe ich diese Aufgabe gelöst, aber nicht mit einer Funktionsgleichung, was auf dem Wege zu bewältigen sein soll.
Aufgabe:Ins Guiness-Buch der Rekorde ist kürzlich die berühmte 150m lange Rinne aufgenommen worden, welche jedes Jahr den rund 30000 Teilnehmern des New-York-Marathons Erleichterung verschafft.
Sie hat trapezförmigen Qeuerschnitt und ist aus 3 Bretterm zusammen gefügt, die gleich lang sind mit a = 10cm (innen mit Dachpappe ausgekleidet).
Wie muss man die 3 Bretter zusammenfügen, damit der Querschnitt (und damit das Fassungsvermögen) der Rinne maximal ist? Wie groß ist das Volumen?
PS: Oder ist eine Aufstellung einer Funktionsgleichung für diese Aufgabe nicht möglich?
Danke
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:55 So 25.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Superhans!
Beginnen wir mit einer Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Flächeninhalt eines Trapezes beträgt hier:
[mm] $A_{Trapez} [/mm] \ = \ A(x;h) \ = \ [mm] \bruch{(x+a+x) + a}{2}*h [/mm] \ = \ (x+a)*h$
Nun können wir $x_$ und $h_$ jeweils in Abhängigkeit von der gegebenen Brettbreite $a_$ sowie dem Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] darstellen:
[mm] $\sin(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{a}$ $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] a*\sin(\alpha)$
[/mm]
[mm] $\cos(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{h}{a}$ $\gdw$ [/mm] $h \ = \ [mm] a*\sin(\alpha)$
[/mm]
Eingesetzt in die Trapez-Flächenformel wird das dann eine Funktion in Abhängigkeit des Winkels [mm] $\alpha$ [/mm] :
[mm] $A(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \left[a*\sin(\alpha) + a\right] [/mm] * [mm] a*\cos(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] a^2 [/mm] * [mm] \left[\sin(\alpha) + 1\right] *\cos(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] a^2 [/mm] * [mm] \left[\sin(\alpha)*\cos(\alpha) + \cos(\alpha)\right]$
[/mm]
Mit dieser Funktion [mm] $A(\alpha)$ [/mm] kannst Du nun Deine Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung [mm] $A'(\alpha)$ [/mm] etc.) durchführen.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:04 So 25.09.2005 | | Autor: | superhans |
Danke
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