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hallo zusammen,
bin in der vorbereitung für eine mathe klausur und möchte die folgende aufgabe berechnen in der vorbereitung.
Aufgabe:
Ein gegebenens Dreieck mit den Seiten a,b,c sei die Grundfläche eines Tetraeders mit der festgelegten Höhe h, dessen Spitze M noch nicht fixiert ist. Der Lotfußpunkt M* der Pyramidenspitze M auf der Grundfläche sei gekennzeichnet duch die Zahlen x,y,z , die die Längen des Lotes von M* auf die jeweiligen Dreiecksseiten angeben.
Man ermittle die Lage der Pyramidenspitze, charakterisiert durch x,y,z derart, dass die Mantelfläche des Tetraeders minimal wird.
Hinweise:
1) Hilfreich ist zu verifizieren, dass für den Flächeninhalt A der Grudfläche des Tetraeders gilt ax+by+cz=2A.
2) Hinreichende Optimalitätsbedingung muss nicht geprüft werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich weiß, dass das Forum vorschreibt eigene Ansätze anzubieten. Leider hängt es hier bei mir am Ansatz. Weiß nicht so richtig wie ich vorgehen muss. Würde mich freuen wenn jemand mir zur Lösung verhelfen kann.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo
die (schräg im Raum liegende) Höhen einer schrägen Seitenflächen bildet zusammen mit der Körperhöhe h und der Lotlänge im Grunddreieck (z.B. x) ein rechtwinkliges Dreieck.
Es gilt [mm] h_{Fläche}^2=h^2+x^2 [/mm] (mit y und z analog).
Gruß Abakus
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Hallo, danke für die Antwort. Tut mir leid das ich mich so spät wieder melde, hatte noch andere Klausuren offen. Nun ist Mathematik an der Reihe...
Komm hier leider nicht weiter. Was mache ich mit den drei Gleichungen für die rechtwinkligen Dreiecke? Die Höhe des Tetraeders bleibt konstant, aber x,y,z und die Höhen der Außenflächen ändern sich ja, je nach Anordnung. Spielen die Flächeninhalte der drei rechtwinkligen Dreiecke eine Rolle (Minimum der Addition der Flächen) oder bin ich da auf dem falschen Weg?
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Fr 19.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo, danke für die Antwort. Tut mir leid das ich mich so
> spät wieder melde, hatte noch andere Klausuren offen. Nun
> ist Mathematik an der Reihe...
> Komm hier leider nicht weiter. Was mache ich mit den drei
> Gleichungen für die rechtwinkligen Dreiecke? Die Höhe des
> Tetraeders bleibt konstant, aber x,y,z und die Höhen der
> Außenflächen ändern sich ja, je nach Anordnung. Spielen
> die Flächeninhalte der drei rechtwinkligen Dreiecke eine
> Rolle (Minimum der Addition der Flächen) oder bin ich da
> auf dem falschen Weg?
> Danke im Vorraus
Berechne die Flächeninhalte der Dreiecke ABM, BCM und ACM.
Dazu brauchst du jeweils eine Grundseite (hast du mit a, b, c) und eine Höhe der jeweiligen Fläche.
Letztere berechnest du mit Pythagoras aus h und x, h und y bzw. h und z (h ist hier die Körperhöhe).
Addiere die drei Flächen, und du hast einen Term für die Mantelfläche, der von x, y und z abhängt.
DANACH kannst du schauen, wie du eine (oder sogar zwei) der drei Variablen loswerden kannst.
Bis dahin hast du aber erst mal etwas zu tun.
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:30 Sa 20.02.2010 | | Autor: | shikari66 |
Also müsste für die Mantelfläche [mm] \bruch{1}{2}a(h^{2}+x^{2})+\bruch{1}{2}b(h^{2}+y^{2})+\bruch{1}{2}c(h^{2}+z^{2}) [/mm] gelten. Dies soll minimal werden.
Ist das im Hinweis gegebene meine Nebenbedingung?
[mm] L(x,y,z,\lambda)= \bruch{1}{2}a(h^{2}+x^{2})+\bruch{1}{2}b(h^{2}+y^{2})+\bruch{1}{2}c(h^{2}+z^{2})+\lambda(ax+by+cz-2A) [/mm] ?!?
Wenn ich damit weiterrechne komme ich auf [mm] x=y=z=\bruch{2A}{(a+b+c)} [/mm] ?!?
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um die fälligkeitszeit zu erhöhen, nochmal ...
Also müsste für die Mantelfläche [mm] \bruch{1}{2}a(h^{2}+x^{2})+\bruch{1}{2}b(h^{2}+y^{2})+\bruch{1}{2}c(h^{2}+z^{2}) [/mm] gelten. Dies soll minimal werden.
Ist das im Hinweis gegebene meine Nebenbedingung?
[mm] L(x,y,z,\lambda)= \bruch{1}{2}a(h^{2}+x^{2})+\bruch{1}{2}b(h^{2}+y^{2})+\bruch{1}{2}c(h^{2}+z^{2})+\lambda(ax+by+cz-2A) [/mm] ?!?
Wenn ich damit weiterrechne komme ich auf [mm] x=y=z=\bruch{2A}{(a+b+c)} [/mm] ?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 So 21.02.2010 | | Autor: | abakus |
> um die fälligkeitszeit zu erhöhen, nochmal ...
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> Also müsste für die Mantelfläche
> [mm]\bruch{1}{2}a(h^{2}+x^{2})+\bruch{1}{2}b(h^{2}+y^{2})+\bruch{1}{2}c(h^{2}+z^{2})[/mm]
> gelten. Dies soll minimal werden.
> Ist das im Hinweis gegebene meine Nebenbedingung?
Die NB erlaubt dir, ax+by+cz=2A z.B. nach z umzustellen und in der bisherigen Gleichung
für die Mantelfläche (in der du die drei Wurzelzeichen vergessen hast) z durch (2A+ax-by)/c zu ersetzen.
Gruß Abakus
> [mm]L(x,y,z,\lambda)= \bruch{1}{2}a(h^{2}+x^{2})+\bruch{1}{2}b(h^{2}+y^{2})+\bruch{1}{2}c(h^{2}+z^{2})+\lambda(ax+by+cz-2A)[/mm]
> ?!?
> Wenn ich damit weiterrechne komme ich auf
> [mm]x=y=z=\bruch{2A}{(a+b+c)}[/mm] ?!?
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Hallo, das hatte ich auch schon probiert gehabt, aber nix sinnvolles rausbekommen...
Hier nochmal die Funktion mit eingesetztem z:
[mm] M(x,y)=\bruch{1}{2}a\wurzel{h^{2}+x^{2}}+\bruch{1}{2}b\wurzel{h^{2}+y^{2}}+\bruch{1}{2}c\wurzel{h^{2}+(\bruch{2A-ax-by}{c})^{2}}
[/mm]
Nun hab ich ne Gleichung der Mantelfläche die nur von x und y abhängt...
Jetzt hab ich versucht nach x und y abzuleiten...
[mm] M_{x}=\bruch{x}{\wurzel{h^{2}+x^{2}}}-\bruch{2A-ax-by}{c\wurzel{h^{2}+\bruch{(2A-ax-by)^{2}}{c^{2}}}}
[/mm]
[mm] M_{y}=\bruch{x}{\wurzel{h^{2}+y^{2}}}-\bruch{2A-ax-by}{c\wurzel{h^{2}+\bruch{(2A-ax-by)^{2}}{c^{2}}}}
[/mm]
stimmt aber sicher nicht, weil hier auch nur wieder x=y entsteht.
ich probiers weiter, aber vllt kannst du mir noch einen schubs in die richtige richtung geben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 21.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo, das hatte ich auch schon probiert gehabt, aber nix
> sinnvolles rausbekommen...
>
> Hier nochmal die Funktion mit eingesetztem z:
>
> [mm]M(x,y)=\bruch{1}{2}a\wurzel{h^{2}+x^{2}}+\bruch{1}{2}b\wurzel{h^{2}+y^{2}}+\bruch{1}{2}c\wurzel{h^{2}+(\bruch{2A-ax-by}{c})^{2}}[/mm]
> Nun hab ich ne Gleichung der Mantelfläche die nur von x
> und y abhängt...
> Jetzt hab ich versucht nach x und y abzuleiten...
>
> [mm]M_{x}=\bruch{x}{\wurzel{h^{2}+x^{2}}}-\bruch{2A-ax-by}{c\wurzel{h^{2}+\bruch{(2A-ax-by)^{2}}{c^{2}}}}[/mm]
>
> [mm]M_{y}=\bruch{x}{\wurzel{h^{2}+y^{2}}}-\bruch{2A-ax-by}{c\wurzel{h^{2}+\bruch{(2A-ax-by)^{2}}{c^{2}}}}[/mm]
>
> stimmt aber sicher nicht, weil hier auch nur wieder x=y
> entsteht.
Hallo,
vielleicht IST das ja das richtige Ergebnis? Es gibt ja einen Punkt der Grundfläche, der von allen 3 Seiten gleich weit entfernt ist (Inkreismittelpunkt).
Gruß Abakus
> ich probiers weiter, aber vllt kannst du mir noch einen
> schubs in die richtige richtung geben.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:36 So 21.02.2010 | | Autor: | shikari66 |
Wenn das der Fall wäre müssten ja x,y,z Radius des Innenkreises sein und damit [mm] \bruch{2A}{a+b+c} [/mm] gelten. Das kann ich jetzt aber noch nicht sehen. z kann doch noch von x und y verschieden sein.
Also muss ich doch erstmal die Werte für x, y und damit für z finden, oder?
Setze ich also zum Bsp. in [mm] M_{x} [/mm] für y=x ein, dann bekomm ich die Länge der zwei Strecken x,y? Und die setze ich wiederum in die Nebenbedingung ein, um z zu bekommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 21.02.2010 | | Autor: | shikari66 |
hab das mal durchgerechnet und ich komme wirklich auf x=y=z=2A/(a+b+c)! d.h die Mantelfläche des Tetraeders wird minimal wenn der Lotfußpunkt der Mittelpunkt und x,y,z=r der Radius des Inkreises ist! Stimmt das so?
Kleine Frage:Wenn da in der Aufgabenstellung steht : "Es ist hilfreich zu verifizieren, ...", sollte man da die Gleichung nochmal auf Gültigkeit prüfen oder einfach als Gegeben verwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 So 21.02.2010 | | Autor: | abakus |
> hab das mal durchgerechnet und ich komme wirklich auf
> x=y=z=2A/(a+b+c)! d.h die Mantelfläche des Tetraeders
> wird minimal wenn der Lotfußpunkt der Mittelpunkt und
> x,y,z=r der Radius des Inkreises ist! Stimmt das so?
>
> Kleine Frage:Wenn da in der Aufgabenstellung steht : "Es
> ist hilfreich zu verifizieren, ...", sollte man da die
> Gleichung nochmal auf Gültigkeit prüfen oder einfach als
> Gegeben verwenden?
Das müsstest du schon nachweisen, ist aber simpel.
Von dem bewussten inneren Punkt des Dreiecks, in dem die Strecken der Längen x, y und z zusammenstoßen, kannst du die Verbindungen zu den 3 Eckpunken A, B und C einzeichnen.
Die so entsteenden Teildreiecke haben den Inhalt 0,5ax bzw 0,5by bzw. 0,5cz (und ergeben in ihrer Summe den Gesamtflächeninhalt A).
Gruß Abakus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 So 21.02.2010 | | Autor: | shikari66 |
ok, das ist echt einfach.
Vielen Dank für deine Hilfe!!
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hm was ist dann der richtige ansatz? könnt ihr mir nochmal helfen, würde das echt gerne rausbekommen...
vllt über den umkreis der grundfläche bzw. der umkugel des tetraeders???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mo 22.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es tut mir sehr leid. Ich hab wohl gestern zu lang am Computer gesessen. Abakus hatte in Wirklichkeit recht, und all deine Rechungen sind in Ordnung. Ich werd meine dumme Korrektur verbessern.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Mo 22.02.2010 | | Autor: | shikari66 |
kein problem,
finds gut das ihr eure Zeit opfert um Anderen zu helfen.
Sowas passiert dann halt mal.
Macht weiter so.
LG
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:10 Mo 22.02.2010 | | Autor: | leduart |
Edit: meine Bemerkung war falsch und dumm, die Lote treffen sich wie abakus gesagt hat.
Hallo
Die Lotfusspunkte auf der Grundseite sind i.A. nicht die Lotfusspunkte der Höhen der Seitenflächen. Deshalb geht das nicht mit dem Pythagoras.
Gruss leduart
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