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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich bräuchte mal den Rat von Experten:
Ich schreibe bald Klausur, Extremwertprobleme werden definitiv einen zentralen Punkt spielen.
Mein Problem ist, dass ich die Nebenbedingungen kaum aufstellen kann - die Hauptbedingungen kriege ich manchmal hin, aber auch nicht immer.
Ich bin mir durchaus bewusst, dass mein "Problem" sehr sehr weit gefächert ist und das aus mir - durch eure Antworten - keine Expertin wird.
Dennoch gibt es ja vielleicht ein "methodisches Vorgehen", dass das Aufstellen von Bedingungen erleichtert?!
Und gibt es Handwerkszeug, dass für diese Aufgaben sinnvoll ist, wie der Satz von Pythagoras, oder die Strahlensätze?
Und wenn jemand noch "schöne" Aufgaben (bin im 12er GK) zu diesem Thema hat, dann immer her damit 
Liebe Grüße,
Sarah 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Sarah
Im Prinzip ist es immer dasselbe mit den Extremwertaufgaben.
Nehmen wir das Beispiel eines Körpers, dessen Oberfläche minimal werden soll.
(Bsp: Coladose)
Also brauchen wir als "Startfunktion" (noch mit mehreren Variablen) die Oberflächenformel des Körpers
(hier [mm] O(r,h)=2\pi*r²+2\pi*r*h)
[/mm]
Jetzt konnt die Nebenbedingung ins Spiel
(Hier: Volumen soll [mm] 0,33l\hat=0,33dm³=330cm³ [/mm] sein)
Diese Info musst du jetzt noch verarbeiten.
(Also hier: [mm] V=\pi*r²*h [/mm] mit den Werten: [mm] 330=\pi*r²*h)
[/mm]
Das musst du jetzt nach einer Variable lösen:
Tipp: Nimm die, die in der Startfunktion nicht oft vorkommt, oder die, nch der die Nebenbed. leich umzustellen ist
(hier: [mm] h=\bruch{330}{\pi*r²})
[/mm]
Das setzt du in die Startfunktion ein und vereinfachst ersmal weitestgehend
(hier: [mm] O(r)=2\pi*r²+2\pi*r*\bruch{330}{\pi*r²}=2\pi*r²+\bruch{660}{r})
[/mm]
Dann hast du die Zielfunktion gegeben, von der du die Extremwerte suchst.
Also machst du Quasi eine "abgespeckte" Funktionsuntersuchung.
Hier:
[mm] O(r)=2\pi*r²+\bruch{660}{r})=2\pi*r²+660r^{-1}
[/mm]
[mm] O'(r)=4\pi*r-660r^{-2}=4\pi*r-\bruch{660}{r²}
[/mm]
[mm] O''(r)=4\pi+1320r^{-3}=4\pi+\bruch{1320}{r³}
[/mm]
Notw. Bed für Extrema: O'(r)=0
[mm] 4\pi*r-\bruch{660}{r²}=0
[/mm]
[mm] \gdw 4\pi*r³=660
[/mm]
[mm] \gdw r³=\bruch{165}{\pi}
[/mm]
[mm] \gdw r=\wurzel[3]{\bruch{165}{\pi}}
[/mm]
Hinreichende Bed.:
[mm] O''(r)\ne0
[/mm]
[mm] O''(\wurzel[3]{\bruch{165}{\pi}})=4\pi+\bruch{1320}{\bruch{165}{\pi}}>0, [/mm] also ist es ein Minimum, wie gewünscht.
Als "Rüstzeug" für diese Aufgaben ist es sinnvoll, den Satz von Pythagoras, die Oberflächen und Volumenformeln einfacher Körper (Einfach: V=G*h; Spitz zulaufend: [mm] V=\bruch{1}{3}G*h) [/mm] und die Umfangsformeln und Flächeninhaltsformeln einfacher Figuren (Rechteck, Kreis, Dreieck) zu kennen.
Ach ja: Eine beliebte Aufgabe zu dem Thema ist das Spielfeld in der 400m-Laufbahn im Stadion
Ich hoffe, das hilft erstmal weiter. Marius
Marius
Ach ja: Viel Erfolg bei der Klausur
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Di 16.10.2007 | | Autor: | espritgirl |
Hallo Marius,
Erstmal vielen Dank für die Antwort - die Aufgaben werden morgen näher unter die Lupe genommen!
Die Stadiumaufgabe, ist die explizit für den LK, oder kann die auch als typische Transferaufgabe für den GK durch gehen?
LG
Sarah
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Sarah
> Hallo Marius,
>
> Erstmal vielen Dank für die Antwort - die Aufgaben werden
> morgen näher unter die Lupe genommen!
>
> Die Stadiumaufgabe, ist die explizit für den LK, oder kann
> die auch als typische Transferaufgabe für den GK durch
> gehen?
>
Die war bei uns in 3 von vier Grundkursen in der Klausur gestellt, soweit ich weiss.
>
> LG
>
> Sarah
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Di 16.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
Gerade im Zusammenhang mit den Extrewmwertaufgaben wurde ich schon des öfteren erstaunt angesehen, wenn ich mitgeteil habe, dass für die Aufstellung der Haut- und/oder Nebenbedingung "alte Themen" ad hoc vorhanden sein sollten.
Dazu gehören z.B. diverse Formeln für Flächen diverser geometrischer Figuren oder Oberflächen- und Manteflächen von Körpern sowie zugehöriger Volumenformeln.
Dann sollte auch auf jeden Fall der Begriff "Strahlensatz" nicht nur offene Münder hervorrufen.
Gruß
Loddar
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[mm] \text{\green{mach\ dir\ eine\ ordentliche\ Skizze!}}
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