Extremwertprobleme < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 So 10.01.2010 | | Autor: | Woll |
| Aufgabe | Der Graph von [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] , x>0, und die Geraden y=2 sowie x=4 schließen ein Gebiet ein, in das ein acsenparalleles Rechteck gelegt werden soll.
a) Welche Maße hat das Rechteck, wenn sein Flächeninhalt maximal sein sol?
b) Welche Maße hat das Rechteck, wenn sein Umpfang maximal sein soll? |
Hallo,
das ist meine Lösung mit Lösungsweg für Aufgabe a und b. Ich bedanke mich jetz schon einmal für die Korrektur und für die (falls nötig) helfenden Ratschläge^^
a)
A=a*b a=4-x b=2-y
A=(4-x)*(2-y)
[mm] A=(4-x)*(2-\bruch{1}{x})
[/mm]
[mm] =8-\bruch{4}{x}-2x+1
[/mm]
[mm] =9-\bruch{4}{x}-2x
[/mm]
[mm] A=-4x^{-1}-2x+9
[/mm]
[mm] A'(x)=4x^{-2}-2 [/mm] = [mm] \bruch{4}{x^{2}}-2
[/mm]
[mm] A''(x)=-8x^{-3} [/mm] = [mm] \bruch{-8}{x^{3}}
[/mm]
A'(x)=0
[mm] 0=\bruch{4}{x^{2}}-2 /*x^{2}
[/mm]
[mm] 0=4-2x^{2} [/mm] /-4 /:(-2)
[mm] x^{2}=2
[/mm]
[mm] x_{1}=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_{2}=-\wurzel{2}
[/mm]
[mm] A''(\wurzel{2})=-2\wurzel{2}<0 [/mm] = Max.
[mm] A''(-\wurzel{2})=2\wurzel{2}>0 [/mm] = Min. [mm] \Rightarrow [/mm] entfällt
[mm] a=4-\wurzel{2}\approx2.59
[/mm]
[mm] b=2-\bruch{1}{\wurzel{2}}\approx1.29
[/mm]
b)
u=2a+2b
u=2+(4-x)+2*(2-y)
[mm] u=-\bruch{2}{x}-2x+12
[/mm]
[mm] u'(x)=2x^{-2}-2
[/mm]
[mm] u''(x)=-4x^{-3}
[/mm]
u'(x)=0
[mm] 0=\bruch{2}{x^{2}}-2 /*x^{2}
[/mm]
[mm] 0=2-2x^{2} [/mm] /-2 /:(-2)
[mm] x_{1}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=-1
[/mm]
u''(1)=-4 <0 =Max.
u''(-1)=4 >0 =Min. [mm] \Rightarrow [/mm] entfällt
a=3
b=1
Mfg
wolle
danke nochmals^^
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 So 10.01.2010 | | Autor: | Woll |
[mm] A_{max}=a*b=3.34 [/mm] LE
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 So 10.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Woll!
Das muss natütlich $\redF}.E.$ heißen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 So 10.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Woll!
Auch hier stimmt alles. ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Es fehlt lediglich der Wert für [mm] $u_{\max}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 So 10.01.2010 | | Autor: | Woll |
[mm] u_{max}=2a+3b=8 [/mm] LE
danke für die schnelle Korrektur
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
