Extremwertprobleme < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:30 Mi 14.12.2011 | | Autor: | black_jaguar |
| Aufgabe | (a) Berechnen Sie mittels Lagrangemultiplikatoren die Kantenlängen eines quaderf¨ormigen Kartons
ohne Deckel, welcher das Volumen V fassen soll und die Kartonfläche minimiert.
(b) Gegeben sei ein Ellipsoid E mit den Halbachsen a, b und c, d.h [mm] E=\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3|x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 \le 1\}.
[/mm]
Berechnen Sie das Volumen des größtmöglichen Quaders, welcher ins Innere des Ellipsoids passt. |
Ich verstehe die Aufgabe gar nicht ! Langrange Multiplikator -> Volumen? Bitte um Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo black_jaguar,
> (a) Berechnen Sie mittels Lagrangemultiplikatoren die
> Kantenlängen eines quaderf¨ormigen Kartons
> ohne Deckel, welcher das Volumen V fassen soll und die
> Kartonfläche minimiert.
>
> (b) Gegeben sei ein Ellipsoid E mit den Halbachsen a, b und
> c, d.h [mm]E=\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3|x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 \le 1\}.[/mm]
>
> Berechnen Sie das Volumen des größtmöglichen Quaders,
> welcher ins Innere des Ellipsoids passt.
> Ich verstehe die Aufgabe gar nicht ! Langrange
> Multiplikator -> Volumen? Bitte um Hilfe!
>
Stelle zunächst die Zielfunktion und die Nebenbedingung auf.
Die Multiplikatorenmethode nach Lagrange dient zur
Ermittlung der Extrema der Zielfunktion unter der
Nebenbedingung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Also problem ist momentan das ich keine Funktion richtig kenne , Also ich kenne das Volumen V=x*y*z Oberfläche ist
O=2(z*x+z*y)+x*y
Somit hab ich zwei Gleichungen aber 3 unbekannte Wie komm ich nun auf die letzte Gleichung?
|
|
|
| |
|
Hallo black_jaguar,
> Also problem ist momentan das ich keine Funktion richtig
> kenne , Also ich kenne das Volumen V=x*y*z Oberfläche ist
> O=2(z*x+z*y)+x*y
> Somit hab ich zwei Gleichungen aber 3 unbekannte Wie komm
> ich nun auf die letzte Gleichung?
Die Gleichungen sind schon richtig.
Jetzt ist V=x*y*z die Nebenbedingung
und O=2*(z*x+z*y)+x*y die Funktion, die extremal werden soll.
Dann lautet die Funktion, die zu betrachten ist:
[mm]L\left(x,y,z,\lambda\right)=2*(z*x+z*x)+x*y-\lambda*\left(V-x*y*z\right)[/mm]
Um extremal zu sein, müssen folgende Gleichung gelten:
[mm]\bruch{\partial L\left(x,y,z,\lambda\right)}{\partial x}=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial L\left(x,y,z,\lambda\right)}{\partial y}=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial L\left(x,y,z,\lambda\right)}{\partial z}=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial L\left(x,y,z,\lambda\right)}{\partial \lambda}=0[/mm]
Daraus ergeben sich die Werte für [mm]x,y,z, \lambda[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
dh ich leite meine Funktion nach allen Varialblen ab und hab dann 4 gleichungen die setze ich null und hab dann noch viel spaß bei der umformung so das ich dann die warialen bestimme!
|
|
|
| |
|
Hallo black_jaguar,
> dh ich leite meine Funktion nach allen Varialblen ab und
> hab dann 4 gleichungen die setze ich null und hab dann noch
> viel spaß bei der umformung so das ich dann die warialen
> bestimme!
So isses.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Wie kommt man auf das L bzw wie komm ich auf V-x*y*z
|
|
|
| |
|
Hallo black_jaguar,
> Wie kommt man auf das L bzw wie komm ich auf V-x*y*z
Nach der Multiplikatorenmethode ist L so anzusetzen
Bringe alle Variablen von V=x*y*z auf eine Seite,
dann steht V-x*y*z=0 da.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:01 Mi 14.12.2011 | | Autor: | black_jaguar |
Also nun zu b)
Zum einen Funde ich auf Wikipedia das Volumen des Ellipsoids = [mm] (4/3)*\pi*a*b*c
[/mm]
Wie kommt man da drauf?
Ich hab immer noch nicht vertanden wie man auf das L kommt ?!
quader Volumen =x*y*z
wobei x<a y<b z<c
Wie komm ich nun weiter? irgendwie blick ich in der Aufgabe nicht durch!
|
|
|
| |
|
Hallo black_jaguar,
das ist nicht so schwierig, wie es aussieht.
> Also nun zu b)
>
> Zum einen Funde ich auf Wikipedia das Volumen des
> Ellipsoids = [mm](4/3)*\pi*a*b*c[/mm]
>
> Wie kommt man da drauf?
Nimm Dir eine Kugel mit Radius r. Die stauchst/streckst Du nun in x-Richtung, so dass ein Ellipsoid daraus wird mit der Halbachse a. Das Volumen ist dann [mm] (4/3)\pi*a*r^2. [/mm] Dann machst Du das gleiche in y-Richtung, so dass ... Halbachse b. Volumen [mm] (4/3)\pi*a*b*r. [/mm] Und schließlich in z-Richtung [...] Volumen [mm] (4/3)\pi*a*b*c.
[/mm]
Am einfachsten zu sehen ist das mit einem Dreifachintegral, bei dem man die Stauchung/Streckung durch eine lineare Substitution durchführt.
> Ich hab immer noch nicht vertanden wie man auf das L kommt
> ?!
Was für ein L???
> quader Volumen =x*y*z
>
> wobei x<a y<b="" z<c<br=""><a, y<b, z<c
Das ist aber noch eine sehr weitherzige Einschränkung. 
> Wie komm ich nun weiter? irgendwie blick ich in der Aufgabe
> nicht durch!
Bei der Kugel ist der größte einbeschriebene Quader ein Würfel mit der Raumdiagonale 2r und daher der Kantenlänge [mm] s=\bruch{2}{3}\wurzel{3}r.
[/mm]
Da steht ja zu vermuten, dass dieser Würfel genauso mit gestreckt oder gestaucht wird wie die Kugel (s.o.) und der Quader daher die Kantenlängen x=t*a, y=t*b und z=t*c hat mit [mm] t=\bruch{2}{3}\wurzel{3}.
[/mm]
Sein Volumen wäre dann [mm] V=\bruch{8}{9}\wurzel{3}*abc.
[/mm]
Das zu zeigen, ist m.E. allerdings nicht so einfach, es sei denn, man beschränkt sich auf Quader, deren Kanten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Dann sind die Maße des Quaders ja relativ leicht zu bestimmen, wenn man eine einzige Ecke auf der Oberfläche des Ellipsoids festlegt und diese an den Koordinatenebenen (also x=0, y=0, z=0) spiegelt.
Herzliche Grüße
reverend
</a>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:05 Do 15.12.2011 | | Autor: | black_jaguar |
Das L hat irgendwas mit Lagrange zu tun, verstehe das auch noch nicht so richtig oben in der Antwort steht L=....
Ich vermutte mit Langrange kann man das auch irgendwie zeigen das genau dieses Volumen dem größten quader entpricht!?
|
|
|
| |
|
Also wie man L bestimmt hab ich jetzt irgend wie enigermassen durch einen anderen Skript verstanden:
Jedes Maximierungsproblem der Form:
max (x(1),x(2)) unter der Nebenbedingung h(x(1), x(2)) = c
kann gelöst werden durch die Maximierung der Lagrange-Funktion:
max L(x(1),x(2),λ ) = f (x(1),x(2)) − λ[h(x(1), x(2)) − c]
Dies ist die Lagrange Funktion.
Meine Nebenbedingung währe diesmal dann das Volumen des Ellipsoids $ [mm] V(E)=(4/3)\cdot{}\pi\cdot{}a\cdot{}b\cdot{}c [/mm] $und f wäre dann Volumen des quaders $ V(Q)=a*b*c$
stimmt dies?
|
|
|
| |
|
Hallo black_jaguar,
> Also wie man L bestimmt hab ich jetzt irgend wie
> enigermassen durch einen anderen Skript verstanden:
>
> Jedes Maximierungsproblem der Form:
> max (x(1),x(2)) unter der Nebenbedingung h(x(1), x(2)) = c
> kann gelöst werden durch die Maximierung der
> Lagrange-Funktion:
> max L(x(1),x(2),λ ) = f (x(1),x(2)) − λ[h(x(1), x(2))
> − c]
> Dies ist die Lagrange Funktion.
>
> Meine Nebenbedingung währe diesmal dann das Volumen des
> Ellipsoids [mm]V(E)=(4/3)\cdot{}\pi\cdot{}a\cdot{}b\cdot{}c [/mm]und
> f wäre dann Volumen des quaders [mm]V(Q)=a*b*c[/mm]
>
> stimmt dies?
Die Zielfunktion, das Volumen des Quaders, stimmt.
Die Nebenbedingung ist doch, dass die Punkte auf
dem Ellipsoid liegen müssen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Dh meine Bedingung währe dann: $ [mm] x^2/a^2 [/mm] + [mm] y^2/b^2 [/mm] + [mm] z^2/c^2 [/mm] = 1\ $
Die kanten des Quaders sind $ a,b,c $
|
|
|
| |
|
Hallo black_jaguar,
> Dh meine Bedingung währe dann: [mm]x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1\[/mm]
>
Ja
> Die kanten des Quaders sind [mm]a,b,c[/mm]
Da die Kanten auf dem Ellipsoid liegen, sind diese Kanten umzubennnen.
Demnach ergibt sich das Volumen des Quaders zu V=x*y*z.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
