FG abschätzen,Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mo 10.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Richtig oder Falsch? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Sei 0<q<1 und [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: 0 |
Hallo,
Meine Vermutung ist das die Behauptung stimmt, bin also auf der Suche nach einen beweis.
Zuzeigen:
[mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] |a_n [/mm] -0| < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] |a_n-0| =|a_n|=a_n \le [/mm] q [mm] a_{n-1} \le [/mm] q(q [mm] a_{n-2}) \le [/mm] ... [mm] \le q^n a_1 [/mm]
Ist die Abschätzung zielführend?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Mo 10.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Abschätzung wäre richtig, wenn da stünde FÜR ALLE [mm] n\in\IN, [/mm] aber da steht ab einem n also muss das nicht ab [mm] a_1 [/mm] gelten! mach dasselbe für [mm] a_{n+m} n>N_0 [/mm] dann lass m gegen unendlich gehen.
Denk dran auf die ersten paar Millionen [mm] a_n [/mm] der folge kommt es nie an, nur auf die unendlich vielen am Ende!
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mo 10.11.2014 | | Autor: | sissile |
> Hallo
> die Abschätzung wäre richtig, wenn da stünde FÜR ALLE
> [mm]n\in\IN,[/mm] aber da steht ab einem n also muss das nicht ab
> [mm]a_1[/mm] gelten! mach dasselbe für [mm]a_{n+m} n>N_0[/mm] dann lass m
> gegen unendlich gehen.
> Denk dran auf die ersten paar Millionen [mm]a_n[/mm] der folge
> kommt es nie an, nur auf die unendlich vielen am Ende!
> Gruß leduart
>
Hallo leduart.
Wieso? In der Angabe steht doch
> $ [mm] \forall [/mm] $ n $ [mm] \in \IN: 0
Also gilt die Abschätzung auch für n=1. Was verstehe ich nun falsch?
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Hallo sissile,
wenn Du Deine Abschätzung am Ende noch erweiterst, kannst Du doch die nötige Aussage treffen.
Also [mm] a_n\le\quad\cdots\quad\le q^na_1\;\blue{<\varepsilon}
[/mm]
Somit [mm] q^n<\br{\varepsilon}{a_1}
[/mm]
Das sieht ja lösbar aus, allerdings liegt die Falle an anderer Stelle. Ist eigentlich ausgesagt, ob [mm] a_1 [/mm] größer oder kleiner Null ist/sein muss? 
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mo 10.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, ich entschuldige mich ich hatte "es eyistiert" statt alle gelesen.
sorry
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 11.11.2014 | | Autor: | sissile |
> Hallo
> Du hast recht, ich entschuldige mich ich hatte "es
> eyistiert" statt alle gelesen.
> sorry
> Gruß leduart
Macht ja nichts, hat nur Verwunderung meinerseits ausgelöst ;)
> wenn Du Deine Abschätzung am Ende noch erweiterst, kannst Du doch die nötige Aussage treffen.
> Also $ [mm] a_n\le\quad\cdots\quad\le q^na_1\;\blue{<\varepsilon} [/mm] $
> Somit $ [mm] q^n<\br{\varepsilon}{a_1} [/mm] $
> Das sieht ja lösbar aus, allerdings liegt die Falle an anderer Stelle. Ist eigentlich ausgesagt, ob $ [mm] a_1 [/mm] $ größer oder kleiner Null ist/sein muss?
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig und es gilt 0 < [mm] q^n a_1 [/mm] < [mm] a_1 \Rightarrow 0
Wähle N sodass [mm] q^N [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{a_1}, [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N gilt das natürlich auch, denn so größer ich die Potenz von q wähle umso kleiner wir [mm] q^N
[/mm]
(Da Proposition: Wenn 0<b<1 dann [mm] \forall \epsilon_1>0 \exists [/mm] n [mm] \in \IN: b^n [/mm] < [mm] \epsilon_1)
[/mm]
So haben wir dann [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
[mm] |a_{n}-0|=a_n \le q^n a_1 <\frac{\epsilon}{a_1} *a_1 [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
Wo ist da die Schwierigkeit mit [mm] a_1? [/mm] Folgt doch aus der Ungleichung, dass [mm] a_1 [/mm] >0 ist oder nicht?
LG,
sissile
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> > Hallo
> > Du hast recht, ich entschuldige mich ich hatte "es
> > eyistiert" statt alle gelesen.
> > sorry
> > Gruß leduart
>
> Macht ja nichts, hat nur Verwunderung meinerseits
> ausgelöst ;)
>
> > wenn Du Deine Abschätzung am Ende noch erweiterst, kannst
> Du doch die nötige Aussage treffen.
>
> > Also [mm]a_n\le\quad\cdots\quad\le q^na_1\;\blue{<\varepsilon}[/mm]
>
> > Somit [mm]q^n<\br{\varepsilon}{a_1}[/mm]
>
> > Das sieht ja lösbar aus, allerdings liegt die Falle an
> anderer Stelle. Ist eigentlich ausgesagt, ob [mm]a_1[/mm] größer
> oder kleiner Null ist/sein muss?
>
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig und es gilt 0 < [mm]q^n a_1[/mm] < [mm]a_1 \Rightarrow 0
>
> Wähle N sodass [mm]q^N[/mm] < [mm]\frac{\epsilon}{a_1},[/mm] für n [mm]\ge[/mm] N
> gilt das natürlich auch, denn so größer ich die Potenz
> von q wähle umso kleiner wir [mm]q^N[/mm]
> (Da Proposition: Wenn 0<b<1 dann [mm]\forall \epsilon_1>0 \exists[/mm]
> n [mm]\in \IN: b^n[/mm] < [mm]\epsilon_1)[/mm]
>
> So haben wir dann [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
> [mm]|a_{n}-0|=a_n \le q^n a_1 <\frac{\epsilon}{a_1} *a_1[/mm] =
> [mm]\epsilon[/mm]
>
> Wo ist da die Schwierigkeit mit [mm]a_1?[/mm] Folgt doch aus der
> Ungleichung, dass [mm]a_1[/mm] >0 ist oder nicht?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es ist halt versteckt: Aus
$ [mm] \forall [/mm] $ n $ [mm] \in \IN: 0
folgt insbesondere
$0 < [mm] a_2 \le q*a_1\,.$
[/mm]
Das geht wegen $q > [mm] 0\,$ [/mm] nur für [mm] $a_1 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Reverend hat das überlesen oder
nicht bedacht (es ist aber auch *blöd versteckt worden*).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Di 11.11.2014 | | Autor: | sissile |
Danke an alle!
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Richtig oder Falsch? (Beweis oder Gegenbeispiel)
> Sei 0<q<1 und [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: 0
> ist [mm](a_n)[/mm] eine Nullfolge.
> Hallo,
> Meine Vermutung ist das die Behauptung stimmt, bin also
> auf der Suche nach einen beweis.
>
> Zuzeigen:
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N :
> [mm]|a_n[/mm] -0| < [mm]\epsilon[/mm]
>
> [mm]|a_n-0| =|a_n|=a_n \le[/mm] q [mm]a_{n-1} \le[/mm] q(q [mm]a_{n-2}) \le[/mm] ...
> [mm]\le q^n a_1[/mm]
> Ist die Abschätzung zielführend?
ich würde daraus auch direkt die Behauptung folgern. Dass für $0 < q < 1$ die Folge
[mm] $(q^n)_n$ [/mm] Nullfolge ist, ist bekannt (man kann es übrigens beweisen, indem
man benutzt, dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty q^n$ [/mm] konvergent ist. Aber man muss
da ein wenign aufpassen, dass man sich nicht im Kreise dreht. Möglich ist
aber folgendes:
Die Reihe (als Folge ihrer Teilsummen)
[mm] $\sum_{n=1}^\infty q^n$
[/mm]
ist durch [mm] $1/(1-q)\,$ [/mm] nach oben beschränkt (Beweis?) und (offensichtlich) (streng [wegen
$q > 0$]) monoton wachsend. Daher nach dem Hauptsatz über monotone
Folgen konvergent! Das Trivialkriterium impliziert nun, dass die Folge der
Summanden eine Nullfolge sein muss...)
Aus
$0 < [mm] a_{n+1} \le a_1*q^n$
[/mm]
folgt dann
$0 [mm] \le \lim_{n \to \infty}a_{n+1} \le a_1*\lim_{n \to \infty}q^n=a_1*0\,.$
[/mm]
Okay: "Strenggenommen" sieht das erstmal so aus, als wenn wir so *nur*
sehen, dass [mm] $(a_{n+1})_n$ [/mm] Nullfolge ist...
Gruß,
Marcel
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