FT einer Delta Distribution < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Do 29.01.2009 | | Autor: | tobbeu |
| Aufgabe | Fourier Transformation einer Delta Distribution:
[mm] FT(k)=\bruch{1}{2\pi}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x)*e^{-ikx}dx} [/mm] |
Hallo,
ich komm nicht drauf, warum die Fouriertransformierte der Delta Distr. = 1, bzw mit Forfaktor [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] sein kann.
Anschaulich ist es klar. In einem Deltapeak versammeln sich unendlich viele Frequenzen.
Aber mathematisch? Wenn ich nur die e-Fkt. des Transformationsintegrals integriere, bekomme ich eine Delta Distribution. Was aber mache ich mit [mm] \delta(x)? [/mm] Würde man sich eine Faltung definieren mit [mm] \delta(x-x_o), [/mm] liest diese Distribution den Funktionswert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] aus, also stünde da nur noch das Integral über [mm] e^{-ikx_0}, [/mm] was unabhängig von x ist, also nicht integriert werden muss. Das gibt aber niemals =1 !?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß,
Tobi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Do 29.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tobi!
> Fourier Transformation einer Delta Distribution:
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> [mm]FT(k)=\bruch{1}{2\pi}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x)*e^{-ikx}dx}[/mm]
> Hallo,
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> ich komm nicht drauf, warum die Fouriertransformierte der
> Delta Distr. = 1, bzw mit Forfaktor [mm]\bruch{1}{2\pi}[/mm] sein
> kann.
> Anschaulich ist es klar. In einem Deltapeak versammeln
> sich unendlich viele Frequenzen.
> Aber mathematisch? Wenn ich nur die e-Fkt. des
> Transformationsintegrals integriere, bekomme ich eine Delta
> Distribution. Was aber mache ich mit [mm]\delta(x)?[/mm]
Per Definition der Delta-Distribution ist das Ergebnis der Funktionswert an der Stelle 0, also [mm] $e^0=1$:
[/mm]
[mm] \integral \delta(x) f(x) dx = f(0) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 29.01.2009 | | Autor: | tobbeu |
Na klar, stimmt! Vielen Dank!
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