F°G und G°F gleiche Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Do 15.04.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und F, G Endomorphismen auf V.
Zeige: $F [mm] \circ [/mm] G$ und $G [mm] \circ [/mm] F$ haben die gleichen Eigenwerte. |
Hi!
Die Frage beschäftigt mich schon eine Weile. Es reicht ja im Prinzip eine Richtung zu zeigen, da man bei der Rückrichtung die Bezeichnungen einfach vertauschen kann.
Also bis jetzt konnte ich zeigen, dass das gilt, wenn $G(v) [mm] \not= [/mm] 0$ gilt.
Sei $v [mm] \in [/mm] V$ ein Eigenwert von $F [mm] \circ [/mm] G$ zum Eigenwert [mm] \lambda \in [/mm] K, dann gilt also $(F [mm] \circ G)(v)=\lambda [/mm] v$. Anwenden von G liefert
$(G [mm] \circ [/mm] (F [mm] \circ G)(v)=G(\lambda [/mm] v)$
[mm] \gdw [/mm] $((G [mm] \circ [/mm] F) [mm] \circ G)(v)=G(\lambda [/mm] v)$
[mm] \gdw [/mm] $((G [mm] \circ F)(G(v))=\lambda*G(v)$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] G(v) ist Eigenwert von $G [mm] \circ [/mm] F$ zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] (da eben $G(v) [mm] \not= [/mm] 0$ gilt).
Problem: Was tun, wenn $G(v)=0$ ist?
Wenn v also ein Eigenvektor von $F [mm] \circ [/mm] G$ ist und G(v)=0, dann ist $(F [mm] \circ [/mm] G)(v)=F(G(v))=F(0)=0=0*v$, also ein Eigenwert von $F [mm] \circ [/mm] G$ zum Eigenwert 0. Das heißt, dass ich damit zeigen müsste, dass $G [mm] \circ [/mm] F$ eben auch den Eigenwert 0 hat.
Dazu muss ich nur den Fall betrachten, dass v weder im Kern noch im Bild von F liegt. Denn wenn $v [mm] \in [/mm] ker(F)$, so ist $(G [mm] \circ [/mm] F)(v)=G(F(v))=G(0)=0=0*v$ und wenn $v [mm] \in [/mm] im(F)$ (mit v' [mm] \in [/mm] V als Urbild), so ist $(G [mm] \circ [/mm] F)(v')=G(F(v'))=G(v)=0=0*v$. Es würde also alles klappen.
Aber mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich den Fall abarbeiten kann, wenn v also weder im Bild noch im Kern von F liegt.
Ein anderer Ansatz von mir war zu zeigen, dass die darstellenden Matrizen von $F [mm] \circ [/mm] G$ und $G [mm] \circ [/mm] F$ ähnlich sind, da ja dann auch die Eigenwerte übereinstimmen würden. Aber dazu müsste ich voraussetzen, dass die darstellende Matrix von G invertierbar wäre, was ich auch nicht als gegeben ansehen kann.
Dann wäre nämlich [mm] (M^B_B(.):=M(.)) [/mm] $M(F [mm] \circ G)=M(F)*M(G)=M(G)^{-1}*M(G)*M(F)*M(G)=M(G)^{-1}*M(G \circ [/mm] F)*M(G)$, aber na ja, wer weiß, ob M(G) wirklich invertierbar ist.
Weiß ja jemand einen Rat?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und F, G
> Endomorphismen auf V.
> Zeige: [mm]F \circ G[/mm] und [mm]G \circ F[/mm] haben die gleichen
> Eigenwerte.
> Hi!
>
> Die Frage beschäftigt mich schon eine Weile. Es reicht ja
> im Prinzip eine Richtung zu zeigen, da man bei der
> Rückrichtung die Bezeichnungen einfach vertauschen kann.
>
> Also bis jetzt konnte ich zeigen, dass das gilt, wenn [mm]G(v) \not= 0[/mm]
> gilt.
>
> Sei [mm]v \in V[/mm] ein Eigenwert von [mm]F \circ G[/mm] zum Eigenwert
> [mm]\lambda \in[/mm] K, dann gilt also [mm](F \circ G)(v)=\lambda v[/mm].
> Anwenden von G liefert
> [mm](G \circ (F \circ G)(v)=G(\lambda v)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]((G \circ F) \circ G)(v)=G(\lambda v)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]((G \circ F)(G(v))=\lambda*G(v)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] G(v) ist Eigenwert von [mm]G \circ F[/mm] zum Eigenwert
> [mm]\lambda[/mm] (da eben [mm]G(v) \not= 0[/mm] gilt).
>
> Problem: Was tun, wenn [mm]G(v)=0[/mm] ist?
>
> Wenn v also ein Eigenvektor von [mm]F \circ G[/mm] ist und G(v)=0,
> dann ist [mm](F \circ G)(v)=F(G(v))=F(0)=0=0*v[/mm], also ein
> Eigenwert von [mm]F \circ G[/mm] zum Eigenwert 0. Das heißt, dass
> ich damit zeigen müsste, dass [mm]G \circ F[/mm] eben auch den
> Eigenwert 0 hat.
Halllo,
ja.
Wenn G(v)=0 für [mm] v\not=0, [/mm] denn ist doch Rang(G)< n.
Und es gilt: [mm] Rang(G\circ F)\le min\{Rang (G), Rang(F)\}.
[/mm]
Falls das also bereits dran war (bestimmt!) bist Du doch fertig.
Gruß v. Angela
>
> Dazu muss ich nur den Fall betrachten, dass v weder im Kern
> noch im Bild von F liegt. Denn wenn [mm]v \in ker(F)[/mm], so ist [mm](G \circ F)(v)=G(F(v))=G(0)=0=0*v[/mm]
> und wenn [mm]v \in im(F)[/mm] (mit v' [mm]\in[/mm] V als Urbild), so ist [mm](G \circ F)(v')=G(F(v'))=G(v)=0=0*v[/mm].
> Es würde also alles klappen.
>
> Aber mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich den
> Fall abarbeiten kann, wenn v also weder im Bild noch im
> Kern von F liegt.
>
>
>
> Ein anderer Ansatz von mir war zu zeigen, dass die
> darstellenden Matrizen von [mm]F \circ G[/mm] und [mm]G \circ F[/mm] ähnlich
> sind, da ja dann auch die Eigenwerte übereinstimmen
> würden. Aber dazu müsste ich voraussetzen, dass die
> darstellende Matrix von G invertierbar wäre, was ich auch
> nicht als gegeben ansehen kann.
> Dann wäre nämlich [mm](M^B_B(.):=M(.))[/mm] [mm]M(F \circ G)=M(F)*M(G)=M(G)^{-1}*M(G)*M(F)*M(G)=M(G)^{-1}*M(G \circ F)*M(G)[/mm],
> aber na ja, wer weiß, ob M(G) wirklich invertierbar ist.
>
> Weiß ja jemand einen Rat?
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Do 15.04.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort!
Ja, so eine ähnliche Beziehung steht im Skript, allerdings haben wir die bis jetzt nicht mehr gebraucht, sodass ich sie schon verdrängt habe. Aber du hast recht, damit ist die Begründung wirklich sehr einfach.
Danke!
Teufel
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