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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Fr 06.01.2006 | | Autor: | DonLuca |
| Aufgabe | Beschreiben sie die auswirkungen von gödels werk auf die gegenwart?
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kann mir jemand helfen die auswirkungen zu verstehen
ich weiss schon was es ungefähr bedeutet für die gegenwart aber ich soll darüber 3 seiten schreiben was mir leichter fallen würde wenn mir jemand helfen könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo,
Gödelscher Unvollständigkeitssatz
Gödelscher Unvollständigkeitssatz, eigentlich zwei mathematische Sätze des Mathematikers und Logikers Kurt Gödel (1906-1978).
Der erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass eine beliebige in sich konsistente (widerspruchsfreie) mathematische Theorie Τ mit den natürlichen Zahlen 0, 1, 2,
unvollständig sei: Τ enthält Behauptungen S, so dass weder S noch deren Negation (nicht S) innerhalb von Τ bewiesen werden können.
Der zweite Unvollständigkeitssatz besagt, dass eine solche Theorie Τ keinen Beweis ihrer Konsistenz (Widerspruchsfreiheit) enthalten könne. Diese Konsistenz könne vielleicht innerhalb einer umfassenderen Theorie Τ' nachgewiesen werden, doch bedürfe es für den Beweis der Konsistenz von Τ' wiederum einer erweiterten Theorie Τ'', was zu einer unendlichen Folge von Theorien führen würde.
Zwischen 1900 und 1928 forderte der deutsche Mathematiker David Hilbert, dass jeder mathematischen Theorie Τ, wie z. B. der Geometrie oder der Zahlentheorie, feste logische Grundlagen gegeben werden sollten: Ein Satz von Τ ist eine Aussage, die sich aus einer vereinbarten Menge von Axiomen (Grundannahmen über Τ) durch endlich viele Anwendungen der Regeln der Logik herleiten lassen; diese Herleitung bezeichnet man als Beweis. Dieses Programm, das auch Formalismus genannt wird, zielte darauf ab, die Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit jeder Theorie Τ zu garantieren und algorithmisch zu entscheiden, ob eine gegebene Behauptung ein Satz von Τ ist oder nicht. Dadurch wird die Mathematik zu einem mechanischen Vorgang reduziert. In einigen einfachen Fällen war diese Methode erfolgreich; doch 1930 bewies Kurt Gödel, dass Hilbert bei seinen ersten beiden Zielen (Vollständigkeit, Widerspruchsfreiheit) bei jeder Theorie Τ, die die natürlichen Zahlen enthält, zum Scheitern verurteilt war. Analog zeigten die Unentscheidbarkeitssätze von Church und Turing (1936), dass dies auch für das dritte Ziel gilt.
Mit Hilfe eines Nummerierungssystems übersetzte Gödel Sätze über Τ wie Dieser Satz hat keinen Beweis in Τ'' in numerische Aussagen in Τ. Ist diese besondere Behauptung S beweisbar in Τ, so ist S falsch, weil dies der Konsistenz von Τ widerspricht. Also ist S nicht beweisbar und daher wahr. Deshalb ist auch nicht S unbeweisbar, denn sonst wäre S falsch. Also ist Τ unvollständig. Überdies kann die Widerspruchsfreiheit nicht in Τ bewiesen werden, weil sonst die obige Argumentation (in Τ übersetzt) S beweisen würde, was aber unmöglich ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo,
Gödel, Kurt
Gödel, Kurt (1906-1978), österreichischer Mathematiker und Logiker, geboren in Brünn (Österreich-Ungarn; heute Brno, Tschechische Republik). Er studierte Mathematik und Physik an der Universität von Wien, wo er von 1933 bis 1938 als Privatdozent tätig war. 1940 emigrierte er in die Vereinigten Staaten, 1948 wurde er amerikanischer Staatsangehöriger. Bis zu seiner Ernennung zum Professor für Mathematik an der Princeton University im Jahr 1953 war Gödel Mitglied des Institute for Advanced Studies in Princeton.
Gödel machte sich vor allem durch seine Forschung in Philosophie und Mathematik einen Namen. Bekannt wurde er mit der 1931 veröffentlichten Beweisführung seiner Theorie, die besagt, dass eine wahre Aussage in einem beliebigen formalen symbolischen System innerhalb des gleichen Systems nicht zwingend beweisbar oder widerlegbar ist, und die heute als Gödelscher Unvollständigkeitssatz bekannt ist. Weitere Veröffentlichungen Gödels sind The Consistency of the Continuum Hypothesis (1940), A Remark about the Relationship between Relativity Theory and Idealistic Philosophy (1949, Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie) und Rotating Universes in General Relativity Theory (1950).
Siehe auch Hilbert, David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo,
Spektrum der Wissenschaft: Kurt Gödel und die Grenzen der Logik
Mit einem einzigen Aufsatz erschütterte der österreichische Mathematiker und Logiker Kurt Gödel das Fundament der modernen Mathematik. Sein Genie strapazierte den Verstand bis an die äußersten Grenzen nicht nur den der Mathematiker, sondern auch seinen eigenen. Einen Fachartikel über das Lebenswerk Gödels veröffentlichte der Autor John W. Dawson jr. 1999 in Spektrum der Wissenschaft, der in der Septemberausgabe des Magazins erschien (hier einige ausgewählte Abschnitte).
Spektrum der Wissenschaft: Kurt Gödel und die Grenzen der Logik
Der Mann auf der Photographie macht einen peniblen, reservierten und leicht unterernährten Eindruck. Sein Gesicht ist wie seine Werke nur einigen Philosophen und Logikern vertraut: Kurt Gödel, berühmt für die nach ihm benannten Unvollständigkeitssätze mit ihren weitreichenden Konsequenzen für die Grundlagen der Mathematik. Sein Leben lang rang er in allen Dingen um umfassende Rationalität und mit der Angst, in geistiger Umnachtung zu versinken.
Gödel bewies, daß die seit Euklid üblichen mathematischen Beweismethoden nicht ausreichen, um alle wahren Aussagen über natürliche Zahlen zu finden. Seine Entdeckung untergrub die Fundamente, auf denen die Mathematik bis ins 20. Jahrhundert scheinbar sicher geruht hatte, regte zur Suche nach Alternativen an und initiierte eine lebhafte philosophische Debatte über das Wesen der Wahrheit. Gödels originelle Methoden, die sich ohne weiteres auf Computer-Algorithmen anwenden ließen, bildeten zudem einen Ausgangspunkt für die moderne Informatik. (...)
In seiner Doktorarbeit mit dem Titel Die Vollständigkeit des logischen Funktionenkalküls (erster Ordnung) löste er ein Problem, das David Hilbert und Wilhelm Ackermann 1928 in ihrem Lehrbuch Grundzüge der theoretischen Logik aufgeworfen hatten; dieses Buch faßte die gängigen Regeln zur Manipulation von logischen Ausdrücken zusammen, die aus logischen Verbindungen wie und, oder nebst Quantifikatoren wie Für alle, Es gibt sowie aus Variablen bestehen, die Zahlen oder Mengen sein können. Die Frage war folgende: Lassen sich aus einem Axiomensystem mit Hilfe der im Lehrbuch aufgeführten Regeln tatsächlich alle und nur solche Aussagen herleiten, die für jedes mathematische Theoriegebäude wahr sind, das den Axiomen genügt? Einfacher gesagt: Kann man alle Aussagen beweisen, die unter sämtlichen Interpretationen der Symbole wahr sind?
Gödel wies nach, daß dies tatsächlich der Fall ist. In seiner Dissertation zeigte er, daß die Prinzipien der Logik seiner Zeit ihren Zweck erfüllten: Mit ihnen ließen sich alle Aussagen beweisen, die auf der Grundlage eines gegebenen Axiomensystems wahr waren. Damit war aber noch nicht gezeigt, daß auch jede wahre Aussage über natürliche Zahlen auf der Basis der allgemein akzeptierten Axiome der Zahlentheorie beweisbar ist. Diese Axiome, die der italienische Mathematiker Giuseppe Peano 1889 formuliert hatte, enthalten nämlich das Prinzip der vollständigen Induktion. Es besagt folgendes: Angenommen, eine bestimmte Eigenschaft kommt der Zahl Null zu, und angenommen, diese Eigenschaft gilt, wenn sie der natürlichen Zahl n zukommt, auch für n + 1, dann müssen alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen. So plausibel dieses Axiom wirkt, stieß es unter Mathematikern auf Bedenken, denn es bezieht sich nicht bloß auf Zahlen selbst, sondern auch auf Eigenschaften von Zahlen. Eine solche Aussage zweiter Ordnung galt als allzu vage und schlecht definiert, um die Grundlage einer Theorie der natürlichen Zahlen zu bilden.
Darum wurde das Induktionsprinzip zu einem unendlichen System gleichartiger Axiome umformuliert, die sich auf bestimmte Formeln beziehen statt auf allgemeine Eigenschaften von Zahlen. Doch leider erfüllen nicht nur die natürlichen Zahlen dieses neue Axiomensystem, sondern auch andere Strukturen; dies bewies der norwegische Mathematiker Thoralf Skolem wenige Jahre vor Gödels Arbeit.
Gödels Vollständigkeitssatz besagt nun zwar, daß man alle Sätze, die aus den Axiomen folgen, auch beweisen kann. Doch die Sache hat einen Haken: Ist eine Aussage wahr für die natürlichen Zahlen, aber nicht wahr für ein anderes System von Dingen, das dieselben Axiome erfüllt, so läßt die Aussage sich nicht beweisen. Die Mathematiker nahmen dieses Problem freilich zunächst auf die leichte Schulter: Sie hofften, es gebe keine Wesenheiten, die sich einerseits genau wie Zahlen benehmen und andrerseits von ihnen gänzlich verschieden sind. Gödels nächstes Theorem sein legendärer Unvollständigkeitssatz bedeutete darum eine böse Überraschung.
Gödel zeigte in seiner Arbeit von 1931, daß es wahre Aussagen über natürliche Zahlen gibt, die unbeweisbar sind. Mit anderen Worten: Es gibt tatsächlich Objekte, welche zwar die Peano-Axiome erfüllen, sich aber nicht unter allen Umständen wie natürliche Zahlen verhalten. Man könnte diesen Unvollständigkeitssatz nun zu überlisten suchen, indem man alle wahren Aussagen zu Axiomen erklärt; doch dann stünde man vor dem Problem, von vornherein entscheiden zu müssen, ob gewisse Aussagen wahr oder falsch sind. Wie Gödel 1931 zeigte, macht es für formale Theorien das heißt Systeme aus Axiomen und Ableitungsregeln keinen Unterschied, welche Aussagen als Axiome gelten: Wie viele wahre Aussagen über natürliche Zahlen man dem Axiomensystem auch immer hinzufügt es wird immer noch weitere wahre Aussagen geben, die unbeweisbar sind.
Insbesondere gilt, daß ein Axiomensystem mitsamt allen Umformungsregeln für sich genommen nicht ausreicht, um formal seine eigene Widerspruchsfreiheit entscheiden zu können. Jeder Vollständigkeitsbeweis muß sich daher stärkerer Mittel bedienen als derjenigen, die das System selbst bietet.
Über dieses Resultat war David Hilbert bestürzt. Ihm hatte ein Programm zur Grundlegung der Mathematik vorgeschwebt, das die Vollständigkeit komplexer Theorien aus der Vollständigkeit einfacherer, besser überschaubarer Theorien herleiten sollte. Gödel hingegen sah in seinen Unvollständigkeitssätzen keineswegs einen Beweis für die Unzulänglichkeit der axiomatischen Methode, sondern lediglich ein Indiz dafür, daß die Ableitung von mathematischen Sätzen nicht völlig automatisiert werden kann. Er fand, seine Resultate rechtfertigten die Rolle, welche die Intuition in der mathematischen Forschung zu spielen habe.
Die Begriffe und Verfahren, die Gödel in seiner berühmten Arbeit entwickelte, bilden eine Grundlage der sogenannten Rekursionstheorie und somit ein Fundament der modernen Informatik. Erweiterungen seiner Ideen führten zu wichtigen Resultaten über die prinzipiellen Grenzen von Computerberechnungen. Ein solches Ergebnis ist die Unlösbarkeit des sogenannten Halteproblems der Frage, ob ein beliebiger Computer mit beliebigem Input jemals anhalten und einen Output liefern oder in einer unendlichen Schleife stecken bleiben wird. Ein weiteres ist der Nachweis, daß ein Programm, welches nicht selbst das Betriebssystem eines Computers aktiv verändert, niemals alle Programme zu erkennen vermag, die dies tun das heißt sämtliche Viren. (...)
Gödels neuerliche Leistung bestand in der Aufklärung einiger umstrittener Aspekte der Mengenlehre. Ende des 19. Jahrhunderts hatte der deutsche Mathematiker Georg Cantor einen Größenbegriff für unendliche Mengen eingeführt. Demnach ist die Menge A kleiner als die Menge B, wenn bei jeder paarweisen Zuordnung von Elementen aus A und aus B immer noch Elemente von B übrigbleiben. Auf diese Weise vermochte Cantor unter anderem zu beweisen, daß die Menge der natürlichen Zahlen kleiner ist als die Menge der reellen. Außerdem vermutete er, daß keine Menge existiert, deren Größe zwischen diesen beiden liegt; an dieser Kontinuumshypothese bissen sich seither die Mathematiker die Zähne aus.
Im Jahre 1908 formulierte Cantors Landsmann Ernst Zermelo ein Axiomensystem für die Mengenlehre. Es enthielt das sogenannte Auswahlaxiom, das (in einer Version) besagt: Zu jeder unendlichen Ansammlung von Mengen, die einander nicht überschneiden und wenigstens je ein Element enthalten, gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jeder dieser Mengen enthält. Obwohl das Auswahlaxiom auf den ersten Blick einleuchtet warum sollte man nicht ein Element aus jeder Menge auswählen können? , hat es viele höchst paradox anmutende Konsequenzen. Zum Beispiel folgt daraus, daß man eine Kugelfläche in endlich viele Teilstücke zerlegen und aus ihnen, ohne die Stücke zu deformieren, eine neue Kugel mit doppeltem Volumen zusammensetzen kann.
Darum galt das Auswahlaxiom als äußerst suspekt. Die Mathematiker vermuteten wie sich herausstellte, zurecht , daß weder das Auswahlaxiom noch die Kontinuumshypothese von den anderen Axiomen der Mengenlehre ableitbar sind. Man mußte befürchten, daß der Gebrauch dieser Sätze in Beweisen zu Widersprüchen führt. Doch Gödel wies nach, daß beide Prinzipien mit den anderen Axiomen vereinbar sind. (...)
Gödel publizierte zu Lebzeiten auffallend wenig von allen großen Mathematikern hat nur Bernhard Riemann noch weniger veröffentlicht , aber seine Wirkung auf die moderne Logik war enorm. In den vergangenen zehn Jahren sind weitere Aufsätze in längst nicht mehr gebräuchlicher deutscher Kurzschrift notiert entziffert, übersetzt und postum im dritten Band der Gesammelten Werke herausgegeben worden. Dieser Nachlaß, der unter anderem Gödels Formalisierung des sogenannten ontologischen Gottesbeweises enthält, findet ebenfalls Beachtung. Endlich lernt man nun auch außerhalb der mathematischen Fachwelt die Vielfalt von Gödels Lebenswerk kennen.
Copyright: Spektrum der Wissenschaft, 1999, H. 9, S. 74f.
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