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Forum "Mathe Klassen 8-10" - "Factoring Quadratics"
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"Factoring Quadratics": "FactoringQuadratics"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 So 11.09.2005
Autor: Nelly12345

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,

Wie kann ich folgenden Term Factorisieren?

2x² + 5x - 3

Ich kenn die Lösung zwar, aber ich bin am Rechenweg interessiert. Also mehr oder weniger die Technik/Regel/Vorgehensweise wie ich an die Lösung rankomme.

MfG

PS: Das Thema ist auf English weil ich grad in Kanada bin und nicht wirklich ne passende Übersetztung gefunden habe.
        
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"Factoring Quadratics": Hilfe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 So 11.09.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Nelly,

natürlich könntest Du mit Vieta an die Sache rangehen; aber der funktioniert eigentlich nur dann gut, wenn "schöne" Zahlen rauskommen.

Meine Empfehlung hingegen geht immer (es sei denn, der Term ist gar nicht zerlegbar!):

(1) Term =0 setzen: Lösungen [mm] x_{1/2} [/mm]

(2) [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c = a*(x - [mm] x_{1})*(x [/mm] - [mm] x_{2}) [/mm]

In Deinem Beispiel:
(1) [mm] 2x^{2} [/mm] - 5x + 3 =0

[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{5 \pm \wurzel{25 - 24}}{4} [/mm] = [mm] \bruch{5 \pm 1}{4} [/mm]

[mm] x_{1} [/mm] = 1,5;  [mm] x_{2} [/mm] = 1

(2) Also:  [mm] 2x^{2} [/mm] - 5x + 3 = 2*(x - 1,5)(x - 1)
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"Factoring Quadratics": anderer Term
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:38 So 11.09.2005
Autor: Marc

Hallo Zwerglein,

wollte nur darauf hinweisen, dass du mit einem anderen Term gerechnet hast ;-)

Viele Grüße,
Marc
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"Factoring Quadratics": Hast Recht!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:56 So 11.09.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Marc,

hast Recht!

Aber ich wollte nur mal schauen, ob Du auch aufpasst! [grins]

mfG!
Zwerglein
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"Factoring Quadratics": Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:57 So 11.09.2005
Autor: Nelly12345

Danke für die Hilfe. Ich wusste halt nur nicht mehr ob man das einfach so mit 0 gleichsetzten darf. Aber wenn ich mir das so ansehe ist das doch einfacher als gedacht. Eigentlich hab ich damit keine Probleme aber das is schon so lange her und ne Freundin hat mich danach gefragt und ich hab ziemlich erschüttert festgestellt, dass ich da überhaupt keinen ansatz finde.. ;)

Vielen Danke, Ich hoffe dass ich hier auch hin und wieder dem ein oder anderem mal ne Frage benantworten kann.

MfG
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"Factoring Quadratics": quadrat. Erg.+3. bin. Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 So 11.09.2005
Autor: Marc

Hallo Nelly12345,

[willkommenmr]

> Wie kann ich folgenden Term Factorisieren?
>  
> 2x² + 5x - 3
>  
> Ich kenn die Lösung zwar, aber ich bin am Rechenweg
> interessiert. Also mehr oder weniger die
> Technik/Regel/Vorgehensweise wie ich an die Lösung
> rankomme.

Ich würde so vorgehen:

[mm] $2x^2+5x-3$ [/mm]

2 ausklammern:

[mm] $=2\left(x^2+\bruch{5}{2}x-\bruch{3}{2}\right)$ [/mm]

quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer durchführen:

[mm] $=2\left(x^2+\bruch{5}{2}x\blue{+\left(\bruch{5}{4}\right)^2-\left(\bruch{5}{4}\right)^2}-\bruch{3}{2}\right)$ [/mm]

Auf die ersten drei Summanden innerhalb der Klammer die 1. binomische Formel anwenden:

[mm] $=2\left(\left(x+\bruch{5}{4}\right)^2-\left(\bruch{5}{4}\right)^2-\bruch{3}{2}\right)$ [/mm]

Die letzten beiden Summanden zusammenfassen:

[mm] $=2\left(\left(x+\bruch{5}{4}\right)^2-\bruch{49}{16}\right)$ [/mm]

Da der Subtrahend (also [mm] $\bruch{49}{16}$ [/mm] ;-)) positiv ist, kann er als Quadrat aufgefasst werden (falls er negativ ist, ist der Term auch nicht faktorisierbar):

[mm] $=2\left(\left(\blue{x+\bruch{5}{4}}\right)^2-\left(\green{\bruch{7}{4}}\right)^2\right)$ [/mm]

So, nun haben wir innerhalb der Klammern eine Differenz von Quadraten -- das kann man mit der 3. binomischen Formel [mm] $\blue{a}^2-\green{b}^2=(\blue{a}+\green{b})(\blue{a}-\green{b})$ [/mm] umformen:

[mm] $=2\left(\left(\blue{x+\bruch{5}{4}}+\green{\bruch{7}{4}}\right)*\left(\blue{x+\bruch{5}{4}}-\green{\bruch{7}{4}}\right)\right)$ [/mm]

[mm] $=2\left(x+\bruch{12}{4}\right)*\left(x-\bruch{2}{4}\right)$ [/mm]

[mm] $=2\left(x+3\right)*\left(x-\bruch{1}{2}\right)$ [/mm]

Viele Grüße,
Marc
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"Factoring Quadratics": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:59 So 11.09.2005
Autor: Nelly12345

Danke für deine Antwort. Werd mir wohl nochmal alles zum Thema quadratische Ergänzung durchlesen. Ich soll des aber jemandem erklären und ich finde, die andere Lösung noch ne Nummer einfacher ist, grade weil das nur am Rande vorkommt.

Troztdem sehr vielen Dank.
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