Fahrrad, Kurve, Kreiselkräfte < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Sa 29.12.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Das Vorderrad eines Fahrrads habe eine Masse von 500 g und einen Durchmesser von 60 cm. Die Masse des Rades sitzt näherungsweise vollständig an der Peripherie. Welchen Drehimpuls hat das Rad bei 25 km/h und in welche Richtung zeigt es? Der Fahrradfahrer fahre freihändig auf einer ebenen Strecke. Er lenkt das Fahrrad durch seitliches Kippen. In welche Richtung muss er das Fahrrad kippen, um eine Rechtskurve zu fahren? Warum? Das Fahrrad fahre zunächst geradeaus. Welcher Kippwinkel α (siehe Abbildung) führt zu einer Drehung des Vorderrades (bezüglich der Lenkerachse) von 5° pro Sekunde? Die Gesamtmasse von Fahrrad und Fahrer betrage 100 kg. Der Schwerpunkt im nicht-gekippten Fall liege 1 m über dem Boden. Betrachten Sie den Fall, dass das Vorderrad nur um einen kleinen Winkel bezüglich der Lenkerachse (gegenüber dem Fall des Geradeausfahrens) gedreht wird.
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Die Skizze ist ein vereinfachter "Nachbau" der Originalskizze.) |
Hallo zusammen, ich teile erstmal die Aufgabenstellung auf:
Das Vorderrad eines Fahrrads habe eine Masse von 500 g und einen Durchmesser von 60 cm. Die Masse des Rades sitzt näherungsweise vollständig an der Peripherie.
1.) Welchen Drehimpuls hat das Rad bei 25 km/h und in welche Richtung zeigt es?
2.) Der Fahrradfahrer fahre freihändig auf einer ebenen Strecke. Er lenkt das Fahrrad durch seitliches Kippen. In welche Richtung muss er das Fahrrad kippen, um eine Rechtskurve zu fahren? Warum?
3.) Das Fahrrad fahre zunächst geradeaus. Welcher Kippwinkel α (siehe Abbildung) führt zu einer Drehung des Vorderrades (bezüglich der Lenkerachse) von 5° pro Sekunde? Die Gesamtmasse von Fahrrad und Fahrer betrage 100 kg. Der Schwerpunkt im nicht-gekippten Fall liege 1 m über dem Boden. Betrachten Sie den Fall, dass das Vorderrad nur um einen kleinen Winkel bezüglich der Lenkerachse (gegenüber dem Fall des Geradeausfahrens) gedreht wird.
Ich habe mit dieser Aufgabe ein paar Probleme, da ich die Vorlesung verpasst habe, in der Kreisel(kräfte) behandelt wurden. Bis jetzt habe ich nur den 1. Teil der Aufgabe:
1.) Erstmal das Trägheitsmoment des Rades bezüglich des Auflagepunktes:
[mm] $I=I_\text{SP}+m\cdot r^2=2\cdot m\cdot r^2$, [/mm] wobei ich das Rad als Hohlzylinder angenommen habe mit dem Radius r, Masse m.
Es gilt ja [mm] $L=I\cdot \omega=2\cdot m\cdot r^2\cdot \omega$. [/mm] Für die Winkelgeschwindigkeit gilt die Rollbedingung [mm] $v_\text{SP}=r\cdot \omega \Rightarrow \omega\approx [/mm] 23.15 [mm] \mathrm{s}^{-1}$ [/mm]
Dann folgt [mm] $L=2(0.5\cdot(0.3)^2\cdot 23.15)\mathrm{kg \cdot m^2\cdot Hz}\approx [/mm] 2.115 [mm] \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s}}$. [/mm] Außerdem gilt ja [mm] $\vec{L}=I\cdot \vec{\omega}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}$, [/mm] also zeigt [mm] $\vec{L}$ [/mm] nach links, wenn man vorwärts fährt.
Ist das so richtig?
2.) Hier wird es dann etwas schwierig: Wenn man nach rechts fahren will, dann lehnt man sich ja nach rechts. Anschaulich gesehen würde ich einfach sagen, dass man so die Trägheit des Fahrrads (Fliehkraft) ausgleicht und die Schwerkraft dabei für sich arbeiten lässt, aber ich kann hier leider nicht mit besseren "Rotationsargumenten" argumentieren, da mir irgendwie ein bisschen die Anschauung abhanden kommt. Könntet ihr mir hier weiterhelfen? Es wird ja irgendwas damit zu tun haben, dass man durch das Neigen ein Drehmoment anlegt und dadurch irgendwie den Drehimpuls ändert, sodass das Fahrrad bei ausreichender Geschwindigkeit in eine Drehbewegung gezwungen wird, aber so richtig kann ich mir das gerade nicht erklären. Ich stehe irgendwie ein bisschen auf Kriegsfuß mit Rotationen...
3. Hier weiß ich noch gar nicht, wie ich das angehen soll. Ich denke mal da geht es um Präzession, aber da hier die Rotationsachse so komisch liegt (ich denke mal es ist die Achse des Rades), komme ich da nicht weiter. Bei einem einfachen (echten) Kreisel, kann ich mir das alles noch einigermaßen erklären, aber hier komme ich nicht so recht weiter.
Bin ich schon mit meiner Kreiselgeschichte komplett auf dem Holzweg, oder ist zumindest der Ansatz brauchbar?
Ich wäre wie immer dankbar für eure Tipps und Erklärungen!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 So 30.12.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
zu 1. du hast den Drehimpuls relativ zum momentanen Drehpunkt berechnet, ich glaube kaum, dass das gemeint ist nimm den zur Achse.
zu 2. welches Drehmoment uebt man denn aus, ein Drehimpuls in welcher Richtung entsteht da durch? addiere das zu dem vorherigen drehimpuls, was ist die neue Richtung?
das genauer ueberlegt loest dann 3.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Lustique |
> hallo
> zu 1. du hast den Drehimpuls relativ zum momentanen
> Drehpunkt berechnet, ich glaube kaum, dass das gemeint ist
> nimm den zur Achse.
> zu 2. welches Drehmoment uebt man denn aus, ein Drehimpuls
> in welcher Richtung entsteht da durch? addiere das zu dem
> vorherigen drehimpuls, was ist die neue Richtung?
> das genauer ueberlegt loest dann 3.
> Gruss leduart
Hallo leduart, danke erstmal!
Zu 1)
[mm] $I=m\cdot r^2$ [/mm] (Hohlzylinder, durch Schwerpunkt)
Also [mm] $L=1.04175\,\frac{\mathrm{kg\cdot m^2}}{\mathrm{s}}$, [/mm] also einfach die Hälfte von vorher.
Zu 2) und 3)
Ich habe mir das Fahrrad jetzt einfach mal in ein Koordinatensystem gelegt (x-Achse nach rechts, y-Achse aus der Papierebene hinaus, z-Achse nach oben; das Fahrrad fährt nach rechts).
Dann habe ich für meinen Drehimpuls [mm] $\vec{L}=(0, [/mm] -23.15, [mm] 0)^t\,\frac{\mathrm{kg\cdot m^2}}{\mathrm{s}}$, [/mm] er zeigt also nach links.
Jetzt habe ich mir das Drehmoment folgendermaßen gedacht: Die Kraft, also die Gewichtskraft des Fahrrads, setzt am Schwerpunkt an, Drehpunkt ist die Unterseite der Reifen, also sozusagen der Boden.
Damit habe ich für meine Kraft [mm] $\vec{F_G}=(0, [/mm] 0, [mm] -9.81\cdot 100)^t\,\mathrm{N}$. [/mm] Der Hebelarm, wenn das Fahrrad senkrecht steht, ist ja [mm] $\vec{r_0}=(0, [/mm] 0, [mm] 1)^t\,\mathrm{m}$, [/mm] zeigt also vom Boden zum Schwerpunkt (ist also der Ortsvektor des Schwerpunkts, wenn ich den Schwerpunkt 1 m über dem Ursprung platziere). Wenn man jetzt das Fahrrad in positive y-Richtung neigt (also nach rechts), dann bewegt sich ja der Schwerpunkt nach [mm] $\vec{r'}=(0, \sin\alpha, \cos\alpha)^t\,\mathrm{m}$. [/mm]
Ich habe dann also für mein Drehmoment bei einer Neigung von [mm] $\alpha$ [/mm] nach rechts: [mm] $\vec{M}=\vec{r'}\times\vec{F_G}=(-981\cdot\sin\alpha, [/mm] 0, [mm] 0)^t\,\frac{\mathrm{kg\cdot m^2}}{\mathrm{s^2}}=\dot{\vec{L}}$, [/mm] aber das kann ja irgendwie nicht sein, weil so hätte man doch eine Kurve nach links, da der Drehimpulsvektor so "nach hinten", und damit das Rad nach links gedreht wird, oder?
Ist das alles grundsätzlich falsch, oder habe ich mich (nur) verrechnet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Di 01.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
M hat das falsche Vorzeichen, nimm die rechte Handregel, dann siehst du es.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 01.01.2013 | | Autor: | Lustique |
> Hallo
> M hat das falsche Vorzeichen, nimm die rechte Handregel,
> dann siehst du es.
> gruss leduart
Hallo leduart, danke nochmal für deine Klarstellung. Ich habe mir das Ganze auch ursprünglich anhand der rechten Handregel versucht klar zu machen, aber ich habe nochmal meine Rechnung nachgerechnet, und komme wieder auf dieses falsche M.
Kann ich mein Koordinatensystem nicht so wählen, wie ich das getan habe (Kein Rechtssystem, oder so? Gab es da beim Vektorprodukt Probleme?), oder ist einer der beiden Vektoren falsch?
Nochmal kurz: [mm] $\vec{r}=(0, \sin \alpha, \cos \alpha)^t\,\mathrm{m}$, [/mm] der Vektor vom Drehpunkt zur neuen Position des Schwerpunkts nach Neigung des Fahrrads, und [mm] $\vec{F_G}=(0, [/mm] 0, [mm] -981)^t\,\mathrm{N}$, [/mm] die Gewichtskraft (Wahrscheinlich eine doofe Frage: Oder muss die an dem Schwerpunkt ansetzen? Ich habe gerade gemerkt, dass da dasselbe bei rauskommt...). Dann ist doch [mm] $\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F_G}$, [/mm] und da kommt dann [mm] $\vec{M}=(-\sin \alpha, [/mm] 0, [mm] 0)^t\,\mathrm{Nm}$ [/mm] raus. Ich habe das Vektorprodukt auch mal mit WolframAlpha nachrechnen lassen, weil ich mir da nicht traue, aber da kommt dasselbe raus.
Wie müsste ich denn dann überhaupt weiterrechnen, wenn ich denn dann irgendwann mal das Drehmoment richtig habe?
Müsste ich dann den Winkel zwischen altem Drehimpuls [mm] $\vec{L}$ [/mm] und [mm] $\vec{L}+\dot{\vec{L}}(1\,\mathrm{s})=\vec{L}+\vec{M}\cdot 1\,\mathrm{s}$ [/mm] (also neuem Drehimpuls) berechnen und habe den Einschlag für den Lenker?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Do 03.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.deinSystem ist kein Rechtssystem, wenn x rechts y aus dem Papier, z nach oben.
2.wenn rad in x richtg nach rechts faehr ist L nicht nach links,sondern ins Papier rein.
F in negative z Richtung gibt M in pos x-Richtung die addition zum L in neg. y richtung gibt eine L' das einer Drehung des Rades nach rechts entspricht. der neue Drehimpuls ist L'(dt)=L+M*dt
bei konstantem M aoso L'(t)=L(0)+M*t
Groessen L,M Vektoren
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 03.01.2013 | | Autor: | Lustique |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo
> 1.deinSystem ist kein Rechtssystem, wenn x rechts y aus
> dem Papier, z nach oben.
> 2.wenn rad in x richtg nach rechts faehr ist L nicht nach
> links,sondern ins Papier rein.
> F in negative z Richtung gibt M in pos x-Richtung die
> addition zum L in neg. y richtung gibt eine L' das einer
> Drehung des Rades nach rechts entspricht. der neue
> Drehimpuls ist L'(dt)=L+M*dt
> bei konstantem M aoso L'(t)=L(0)+M*t
> Groessen L,M Vektoren
> Gruss leduart
Hallo leduart, danke wiedermal. Ich habe jetzt mein Koordinatensystem angepasst: x-Achse aus Blatt heraus, y-Achse nach rechts, z-Achse nach oben.
Dann habe ich $\vec{L}=\begin{pmatrix}-1\frac{1}{24} \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\,\mathrm{\frac{kg\cdot m^2}{s}}$, also zeigt der Drehimpuls in die Blattebene hinein, also "im echten Leben" nach links, wenn das Fahrrad nach vorne fährt (in meinem Koordinatensystem in positive y-Richtung, also nach rechts).
Nun zum Drehmoment: $ \vec{F_G}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -981\cdot\sin\alpha\end{pmatrix}\,\mathrm{N} $, $ \vec{r}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\,\mathrm{m} $, $ \vec{r'}=\begin{pmatrix}\sin\alpha \\ 0 \\ \cos\alpha\end{pmatrix}\,\mathrm{m} $.
Damit folgt $ \vec{M}=\vec{r'}\times\vec{F_G}=\begin{pmatrix}0 \\ 981\cdot\sin\alpha \\ 0\end{pmatrix}\,\frac{\mathrm{kg\cdot m^2}}{\mathrm{s^2}}=\dot{\vec{L}} $.
Für den neuen Drehimpuls nach Kippen nach rechts (also in meinem Koordinatensystem in Richtung der positiven x-Achse) folgt:
$\vec{L}'=\vec{L}+\vec{M}\cdot 1\,\mathrm{s}=\begin{pmatrix}-1\frac{1}{24} \\ 981\cdot\sin\alpha \\ 0\end{pmatrix}\,\mathrm{\frac{kg\cdot m^2}{s}}$
Muss ich jetzt also für die Drehung des Rades, also den gesuchten Winkel Folgendes nach $\alpha$ auflösen?
$\sphericalangle(\vec{L}, \vec{L}')=5^\circ\,\mathrm{s^{-1}}=\frac{\pi}{36}\,\mathrm{s^{-1}}=\arccos\left(\frac{\vec{L}\cdot\vec{L}'}{|\vec{L}|\cdot|\vec{L}'|\right)$
Kann ich die 5° überhaupt so direkt nehmen? Ich rechne hier ja, als wären die 5° ein Winkel zwischen Vektoren im Raum, aber es kommt mir so vor, als wäre ein Winkel in der Ebene gemeint, also der Winkel, um den das Rad eingeschlagen wäre, wenn das Fahrrad nicht geneigt wäre, oder ist das Quatsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Do 03.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
L,L' liegen ja in einer Ebene, der winkel um den sich L dreht ist auch der winkel, um den sich das Rad dreht, also ist dein ansatz jetzt richtig.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Di 22.01.2013 | | Autor: | Lustique |
Danke nochmal für deine Hilfe!
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