Fairer Tetraeder Wurf < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Sa 07.11.2009 | | Autor: | tobbel |
| Aufgabe | Aufgabe 15
Sie werfen einen fairen Tetraeder solange, bis zum ersten Mal eine Drei erscheint.
(i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfeln Sie genau viermal? Geben Sie auch eine
Formel für die Wahrscheinlichkeit an, dass Sie genau n Würfe benötigen.
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Hallo Leute.
Ich habe bei der Aufgabe das Problem ein W-Maß anzugeben. Intuitiv kommt man ja sofort auf die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{4}^{n} [/mm] um beim [mm] n^{ten} [/mm] Wurf eine 3 zu würfeln.
[mm] \Omega [/mm] := [mm] \mathbb{N} [/mm] , da bei jedem n theoretisch die 3 fallen kann.
Nun hab ich leider das Problem, dass dann [mm] \mathbb{P}(\Omega)=\bruch{1}{3}\neq [/mm] 1 , was ja aus der geometrischen Reihe folgt.
Meine Frage ist nun wie ich für dieses Modell ein passendes Maß angebe.
Danke für eure Hilfe, tobbel.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe 15
> Sie werfen einen fairen Tetraeder solange, bis zum ersten
> Mal eine Drei erscheint.
> (i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfeln Sie genau
> viermal? Geben Sie auch eine
> Formel für die Wahrscheinlichkeit an, dass Sie
> genau n Würfe benötigen.
>
> Hallo Leute.
>
> Ich habe bei der Aufgabe das Problem ein W-Maß anzugeben.
> Intuitiv kommt man ja sofort auf die Wahrscheinlichkeit
> [mm]\red{\left(}\bruch{1}{4}\red{\right)}^n[/mm] um beim [mm]n^{ten}[/mm] Wurf eine 3 zu würfeln.
Dann stimmt aber mit der Intuition etwas nicht
so ganz ... [mm] $\textbf{ : - (}$
[/mm]
[mm] \left(\bruch{1}{4}\right)^n [/mm] wäre nämlich die Wahrscheinlichkeit, n mal
nacheinander eine Drei zu würfeln ! Du musst
stattdessen aber den Fall betrachten, dass du
(n-1) mal nacheinander keine Drei und dann
im n-ten Wurf eine Drei wirfst.
> [mm]\Omega[/mm] := [mm]\mathbb{N}[/mm] , da bei jedem n theoretisch die 3
> fallen kann.
Du meinst die erste Drei .
> Nun hab ich leider das Problem, dass dann
> [mm]\mathbb{P}(\Omega)=\bruch{1}{3}\neq[/mm] 1 , was ja aus der
> geometrischen Reihe folgt.
> Meine Frage ist nun wie ich für dieses Modell ein
> passendes Maß angebe.
> Danke für eure Hilfe, tobbel.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Sa 07.11.2009 | | Autor: | tobbel |
Ach ich Idiot : ) . Okay, nachdem du mich nun auf diesen offensichtlichen Fehler hingewiesen hast, ist es klar. Denn dann gilt für alle [mm] \omega \in \Omega [/mm] mit [mm] \omega [/mm] = n, dass
[mm] \mathbb{P}(\omega)=({3/4})^{n-1}\cdot\bruch{1}{4} [/mm] und dass erfüllt dann die Bedingung [mm] \mathbb{P}(\Omega)=1 [/mm] denn :
[mm] \sum_{i=1}^{\infty}({3/4})^{n-1}\cdot \bruch{1}{4}=\bruch{1}{\bruch{1}{4}}\cdot\bruch{1}{4}=\bruch{1}{4}\cdot [/mm] 4 = 1
Danke Al-Chwarizmi !
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> Ach ich Idiot : ) . Okay, nachdem du mich nun auf diesen
> offensichtlichen Fehler hingewiesen hast, ist es klar. Denn
> dann gilt für alle [mm]\omega \in \Omega[/mm] mit [mm]\omega[/mm] = n,
> dass
> [mm]\mathbb{P}(\omega)=\bruch{3}{4}^{n-1}\cdot\bruch{1}{4}[/mm] und
> dass erfüllt dann die Bedingung [mm]\mathbb{P}(\Omega)=1[/mm] denn
> :
> [mm]\sum_{i=1}^{\infty}\bruch{3}{4}^{n-1}\cdot \bruch{1}{4}=\bruch{1}{\bruch{1}{4}}\cdot\bruch{1}{4}=\bruch{1}{4}\cdot[/mm]
> 4 = 1
>
> Danke Al-Chwarizmi !
Gern gemacht.
Nun solltest du nur noch darauf achten,
dass du um Brüche, die potenziert werden
sollen, Klammern setzt: [mm] $\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$
[/mm]
LG Al-Ch.
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