Faktorgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Mi 22.07.2009 | | Autor: | suzan_7 |
Hallo,
also ich verstehe leider noch nicht so recht was eine Faktorgruppe ist.
also die Definition ist doch
G/N={a*N/a€G}
demnach muss ich doch um eine Faktorgruppe zu bilden:
1) die Untergruppen der Gruppe suchen
2) überprüfen welche Normalteiler sind
3) alle Gruppenelemente mit den jeweiligen Normalteiler multiplizieren
Ich hab das am Beispiel der Quaterionengruppe probiert.
ich habe alle Untergruppen und Normaltteiler.
aber nun weiß ich nicht wie es weitergeht.
Folgende Ergebnisse hab ich mir überlegt, wobei Q8 die Quaterionengruppe ist und e das neutrale Element (also die Einheitsmatirx)
Q8/e = Q8
bei Q8/Q8 würde ich allerdings wieder Q8 erhalten und das finde ich sehr rätselhaft.... 
wie funktioniert das richtig?
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> Hallo,
> also ich verstehe leider noch nicht so recht was eine
> Faktorgruppe ist.
> also die Definition ist doch
> G/N={a*N/a€G}
Hallo,
Du hast eine Gruppe (G, [mm] \*) [/mm] und einen Normalteiler N dieser Gruppe.
Dann ist G/N das, was Du schreibst.
> demnach muss ich doch um eine Faktorgruppe zu bilden:
> 1) die Untergruppen der Gruppe suchen
> 2) überprüfen welche Normalteiler sind
Nein, um G/N zu bilden, brauchst Du einen Normalteiler N,
> 3) alle Gruppenelemente mit den jeweiligen Normalteiler
> multiplizieren
Ja, das ergibt dann die Menge der Nebenklassen von G bzgl. N,
also eine Menge von Mengen (!).
Wenn Du einen anderen Normalteiler M nimmst, dann ist die Faktorgruppe bzgl diese Normalteilers M eine andere als die bzgl. N.
>
> Ich hab das am Beispiel der Quaterionengruppe probiert.
> ich habe alle Untergruppen und Normaltteiler.
Nun mußt Du Dich erstmal entscheiden, bzgl welchen Normalteilers Du die Faktorgruppe bilden willst.
> Q8/e = Q8
[mm] Q_8/\{e\} [/mm] mußt Du schreiben.
Das ergibt auch nicht [mm] Q_8, [/mm] denn in der Faktorgruppe sind Mengen (Nebenklassen) enthalten, also hier lauter einelementige Mengen.
> [mm] Q_8/Q_8
[/mm]
Diese Menge enthält alle Nebenklassen der Machart [mm] q\*Q_8 [/mm] mit [mm] q\in Q_8.
[/mm]
Du kannst Dir überlegen, daß für jedes q gilt [mm] q\*Q_8=\Q_8.
[/mm]
Somit enthält [mm] Q_8/Q_8 [/mm] nur ein Element, nämlich [mm] Q_8, [/mm] dh. [mm] Q_8/Q_8=\{Q_8}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mi 22.07.2009 | | Autor: | suzan_7 |
> > Hallo,
> > also ich verstehe leider noch nicht so recht was eine
> > Faktorgruppe ist.
> > also die Definition ist doch
> > G/N={a*N/a€G}
>
> Hallo,
>
> Du hast eine Gruppe (G, [mm]\*)[/mm] und einen Normalteiler N dieser
> Gruppe.
>
> Dann ist G/N das, was Du schreibst.
>
>
> > demnach muss ich doch um eine Faktorgruppe zu bilden:
> > 1) die Untergruppen der Gruppe suchen
> > 2) überprüfen welche Normalteiler sind
>
> Nein, um G/N zu bilden, brauchst Du einen Normalteiler N,
aber wie komme ich denn sonst auf die normalteiler. ein normalteiler ist doch eine untergruppe mit bestimmten eigenschaften... also muss ich doch erstmal die untergruppen bestimmten und dann anschauen, welche normalteiler sind. sonst weiß ich doch nicht wie mein N ausschaut. oder wo mach ich hier einen fehler??
>
> > 3) alle Gruppenelemente mit den jeweiligen Normalteiler
> > multiplizieren
>
> Ja, das ergibt dann die Menge der Nebenklassen von G bzgl.
> N,
> also eine Menge von Mengen (!).
>
> Wenn Du einen anderen Normalteiler M nimmst, dann ist die
> Faktorgruppe bzgl diese Normalteilers M eine andere als die
> bzgl. N.
>
> >
> > Ich hab das am Beispiel der Quaterionengruppe probiert.
> > ich habe alle Untergruppen und Normaltteiler.
>
> Nun mußt Du Dich erstmal entscheiden, bzgl welchen
> Normalteilers Du die Faktorgruppe bilden willst.
>
Das habe ich ja beschrieben, ich wähle die trivialen Normalteiler, erst {e} und dann die ganze Gruppe G = Q8
> > Q8/e = Q8
>
> [mm]Q_8/\{e\}[/mm] mußt Du schreiben.
>
> Das ergibt auch nicht [mm]Q_8,[/mm] denn in der Faktorgruppe sind
> Mengen (Nebenklassen) enthalten, also hier lauter
> einelementige Mengen.
>
Wäre das dann die Menge {{e} {-e} {j} {-j}...} ? das wäre ja dann im prinzip wieder Q8.
> > [mm]Q_8/Q_8[/mm]
>
> Diese Menge enthält alle Nebenklassen der Machart [mm]q'\Q_8[/mm]
> mit [mm]q\in Q_8.[/mm]
>
> Du kannst Dir überlegen, daß für jedes q gilt
> [mm]q\*Q_8=\Q_8.[/mm]
>
> Somit enthält [mm]Q_8/Q_8[/mm] nur ein Element, nämlich [mm]Q_8,[/mm] dh.
> [mm]Q_8/Q_8=\{Q_8}.[/mm]
Das ist mir leider auch noch nicht klar. liegt aber vllt auch an der schreibweise. denn ich weiß nicht was die kleinen q darstellen sollen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
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> > > Hallo,
> > > also ich verstehe leider noch nicht so recht was eine
> > > Faktorgruppe ist.
> > > also die Definition ist doch
> > > G/N={a*N/a€G}
> >
> > Hallo,
> >
> > Du hast eine Gruppe (G, [mm]\*)[/mm] und einen Normalteiler N dieser
> > Gruppe.
> >
> > Dann ist G/N das, was Du schreibst.
> >
> >
> > > demnach muss ich doch um eine Faktorgruppe zu bilden:
> > > 1) die Untergruppen der Gruppe suchen
> > > 2) überprüfen welche Normalteiler sind
> >
> > Nein, um G/N zu bilden, brauchst Du einen Normalteiler N,
>
> aber wie komme ich denn sonst auf die normalteiler.
Hallo,
naja, in der Regel wird Dir ja ein Normalteiler N gegeben sein, bzgl. welchem Du die Faktorgruppe bilden sollst.
Wenn Du natürlich sämtliche möglichen Faktorgruppen der Gruppe G sagen sollst, mußt Du erstmal sämtliche Normalteiler finden, aber davon war ja zunächst nicht die Rede.
(Bei der Quaternionengruppe allerdings sind sämtliche Untergruppen Normalteiler.)
> Das habe ich ja beschrieben, ich wähle die trivialen
> Normalteiler, erst {e} und dann die ganze Gruppe G = Q8
>
> > > Q8/e = Q8
> >
> > [mm]Q_8/\{e\}[/mm] mußt Du schreiben.
> >
> > Das ergibt auch nicht [mm]Q_8,[/mm] denn in der Faktorgruppe sind
> > Mengen (Nebenklassen) enthalten, also hier lauter
> > einelementige Mengen.
> >
> Wäre das dann die Menge {{e} {-e} {j} {-j}...} ? das wäre
> ja dann im prinzip wieder Q8.
Nein, die Menge ist zwar isomorph zu [mm] Q_8, [/mm] aber die beiden sind nicht gleich.
>
> > > [mm]Q_8/Q_8[/mm]
> >
> > Diese Menge enthält alle Nebenklassen der Machart [mm]\red{q'\Q_8}[/mm]
> > mit [mm]q\in Q_8.[/mm]
> >
> > Du kannst Dir überlegen, daß für jedes q gilt
> > [mm]q\*Q_8=\Q_8.[/mm]
> >
> > Somit enthält [mm]Q_8/Q_8[/mm] nur ein Element, nämlich [mm]Q_8,[/mm] dh.
> > [mm]Q_8/Q_8=\{Q_8}.[/mm]
>
> Das ist mir leider auch noch nicht klar. liegt aber vllt
> auch an der schreibweise. denn ich weiß nicht was die
> kleinen q darstellen sollen.
Das hab' ich doch geschrieben: Elemente aus [mm] Q_8.
[/mm]
Allerdings muß es an der rotmarkierten Stelle richtig [mm] q\*Q_8 [/mm] heißen, da hatte ich daneben gegriffen.
Lassen wir mal die Quaternionen Quaternionen sein.
Falls Du das erste Semester lineare Algebra bereits hinter Dich gebracht hast, hast Du dort auch Faktorgruppen kennengelernt, nämlich die Elemente des Quotientenraumes zusammen mit der dort erklärten Addition.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 22.07.2009 | | Autor: | suzan_7 |
ok danke schonmal für deine antwort.
also Quotientenraum ist mir noch ziemlich unbekannt, mein prof hat das thema zwar mal angeschnitten, aber wir haben das nicht behandelt. aber vielleicht sollte ich da mal nachlesen. lineare algebra fand ich noch sehr anschaulich.
aber jetzt nochmal kurz zum thema quaternionen.
du schreibst:
>> Somit enthält $ [mm] Q_8/Q_8 [/mm] $ nur ein Element, nämlich $ [mm] Q_8, [/mm] $ dh.
> > $ [mm] Q_8/Q_8=\{Q_8}. [/mm] $
aber was ist das eine Element [mm] $Q_8$ [/mm] ? Ist das wieder die Menge $ [mm] Q_8$ [/mm] selbst?
Erhält man dann sozusagen als Ergebnis, von [mm] $Q_8/Q_8 [/mm] eine einelementige Menge, die eine 8-elementige Menge enthält?
Ich habe in meinen Lösungen nämlich stehen, dass ich einfach nur das neutrale Element in der Menge habe....
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> aber jetzt nochmal kurz zum thema quaternionen.
> du schreibst:
> >> Somit enthält [mm]Q_8/Q_8[/mm] nur ein Element, nämlich [mm]Q_8,[/mm]
> dh.
> > > [mm]Q_8/Q_8=\{Q_8\}.[/mm]
>
> aber was ist das eine Element [mm]Q_8[/mm] ? Ist das wieder die
> Menge [mm]Q_8[/mm] selbst?
> Erhält man dann sozusagen als Ergebnis, von [mm]$Q_8/Q_8[/mm] eine
> einelementige Menge, die eine 8-elementige Menge enthält?
Hallo,
ja, genau.
Die Faktorgruppe ist eine Menge, deren Elemente Mengen sind (mit den dazugehörigen Verknüpfungen).
Das eine Element in [mm] Q_8/Q_8 [/mm] ist die 8-elementige Menge [mm] Q_8.
[/mm]
> Ich habe in meinen Lösungen nämlich stehen, dass ich
> einfach nur das neutrale Element in der Menge habe....
Das kann ja nicht anders sein: da in jeder noch so kleinen Gruppe so sein muß, daß das neutrale Element drin ist, kann eine einelementige Gruppe nichts anderes als das neutrale Element enthalten. Nun paß gut auf:
das neutrale Element der Faktorgruppe G/N ist N.
(Auch dies könntest Du wieder von den Quotientenräumen V/U kennen, wo U das neutrale Element ist.)
Gruß v. Angela
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