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| Aufgabe | Es sei R ein faktorieller Ring
a)Es seien 0 ungleich ab [mm] \in [/mm] R teilerfremd und c ?in R. Man zeige a | bc genau dann wenn a | c. Gilt a | c und b | c, so folgt ab | c.
b) Man zeige:In R gibt es immer kleinste gemeinsame Vielfache. Wie kann man sie berechnen?
c) Es sei K:=Q(R) der Quotientenkörper von R. Man zeige: Ist c [mm] \in [/mm] K, so gibt es bis auf Assoziertheit eindeutige teilerfremde a,b [mm] \in [/mm] R mit [mm] c=\bruch{a}{b}in [/mm] K. |
Hallo! Irgendwie tue mich mich sehr schwer mit Ringe, Ideale, etc...
So, würde gerne diese Aufgabe erledigen, doch leider weiß ich nicht so recht, wie man das zeigen soll.
Zu a) Also R ist ein faktorieller Ring, dass heißt, jedes Element ungleich 0, das keine Einheit ist, besitzt eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren. Teilerfremd bedeutet hier, dass ggt(a,b)=R*
Wie soll ich nun das zeigen? Kann mir da wer einen Ansatz geben?
Ich würd da so anfangen:
=> a Teiler von bc =>Es gibt ein d [mm] \in [/mm] mit ad | bc und nun weiß ich nicht weiter. b und d müssen weg, damit man die eine Richtung zeigt, doch wie?
Für die 2 Behauptung in a) reicht es nicjht zu sagen, dass a,b [mm] \in [/mm] R teilerfremd sind?
Zu b)Kleinste gemeinsame Vielfache, dazu muss man die Zahlen in Primfaktoren zerlegen. Gilt für jeden faktoriellen Ring, dass es dort immer kleinste gemeinsame Vielfache gibt?
Hier weiß ich auch nicht, wie ich das zeigen soll.
Ich freue mich über jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Di 04.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei R ein faktorieller Ring
> a)Es seien 0 ungleich ab [mm]\in[/mm] R teilerfremd und c ?in R.
> Man zeige a | bc genau dann wenn a | c. Gilt a | c und b |
> c, so folgt ab | c.
> b) Man zeige:In R gibt es immer kleinste gemeinsame
> Vielfache. Wie kann man sie berechnen?
> c) Es sei K:=Q(R) der Quotientenkörper von R. Man zeige:
> Ist c [mm]\in[/mm] K, so gibt es bis auf Assoziertheit eindeutige
> teilerfremde a,b [mm]\in[/mm] R mit [mm]c=\bruch{a}{b}in[/mm] K.
>
> Hallo! Irgendwie tue mich mich sehr schwer mit Ringe,
> Ideale, etc...
Bei faktoriellen Ringen hilft es oft, an [mm] $\IZ$ [/mm] (oder $K[X]$) zu denken. Die Einheiten in [mm] $\IZ$ [/mm] sind $-1$ und $1$, und die irreduziblen Elemente entsprechen grad $-p$, $p$, wobei $p$ die Primzahlen durchlaeuft. Und die (bis auf Assoziiertheit eindeutige) Zerlegung in irreduzible Elemente entspricht der Primfaktorzerlegung.
> So, würde gerne diese Aufgabe erledigen, doch leider
> weiß ich nicht so recht, wie man das zeigen soll.
> Zu a) Also R ist ein faktorieller Ring, dass heißt, jedes
> Element ungleich 0, das keine Einheit ist, besitzt
> eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren. Teilerfremd
> bedeutet hier, dass ggt(a,b)=R*
Teilerfremd bedeutet insbesondere: es gibt kein irreduzibles Element, welches beide Elemente teilt. So wie es in [mm] $\IZ$ [/mm] bedeutet, dass zwei Zahlen genau dann teilerfremd sind, wenn es keine Primzahl gibt welche beide teilt.
> Wie soll ich nun das zeigen? Kann mir da wer einen Ansatz
> geben?
> Ich würd da so anfangen:
> => a Teiler von bc =>Es gibt ein d [mm]\in[/mm] mit ad | bc
Etwa $d = 1$. Du meinst eher $a d = b c$?
> und nun
> weiß ich nicht weiter. b und d müssen weg, damit man die
> eine Richtung zeigt, doch wie?
Was soll $a$ ueberhaupt sein und was hast du vor?
> Für die 2 Behauptung in a) reicht es nicjht zu sagen,
> dass a,b [mm]\in[/mm] R teilerfremd sind?
Ja, das reicht nicht.
Ueberleg dir das ganze erstmal mit natuerlichen Zahlen $a, b, c$; da brauchst du die Primfaktorzerlegung.
Dann versuche das ganze fuer faktorielle Ringe umzubauen.
> Zu b)Kleinste gemeinsame Vielfache, dazu muss man die
> Zahlen in Primfaktoren zerlegen.
Genau.
> Gilt für jeden
> faktoriellen Ring, dass es dort immer kleinste gemeinsame
> Vielfache gibt?
Ja.
> Hier weiß ich auch nicht, wie ich das zeigen soll.
Ueberleg dir erstmal folgendes: wenn du zwei Elemente $a, b [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] hast, dann gibt es paarweise teilerfremde irreduzible Elemente [mm] $p_1, \dots, p_n$, [/mm] Einheiten [mm] $e_1, e_2 \in R^\ast$ [/mm] und natuerliche Zahlen [mm] $e_1, \dots, e_n, f_1, \dots, f_n \in \IN$ [/mm] mit $a = [mm] e_1 \prod_{i=1}^n p_i^{e_i}$ [/mm] und $b = [mm] e_2 \prod_{i=1}^n p_i^{f_i}$.
[/mm]
Das entspricht der Schreibweise fuer ganze Zahlen $z [mm] \in \IZ \setminus \{ 0 \}$ [/mm] als $z = [mm] \pm \prod_{i=1}^n p_i^{e_i}$ [/mm] mit paarweise verschiedenen Primzahlen [mm] $p_1, \dots, p_n$ [/mm] und natuerlichen Zahlen [mm] $e_1, \dots, e_n$.
[/mm]
Wenn du das hast, sollte der Rest ganz einfach sein.
LG Felix
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