Faktorisieren < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:58 Di 06.01.2015 | | Autor: | Navyc225 |
Guten Tag,
ich habe ein Problem mit einer/zwei Mathematikaufgabe(n).
Ich soll Aufgaben (wie die zweite die ich hier genannt habe) selbst lösen, doch komme nie zu dem Ergebnis, welches der Lehrer haben möchte. Die Aufgabe 1 die ich hier genannt habe, ist die Beispielaufgabe, die wir von der Tafel abschreiben sollten, jedoch weiss ich trotz "Lösung" nicht, was ich damit anfangen soll.
Bei Aufgabe 1 ist das "Ergebnis" 2(x-5)(x-2). Den Rechenweg, den wir aufgeschrieben haben, kann ich gerne mit reinposten, denn ich weiss nicht, was ich daraus lernen soll.
Bei Aufgabe 2 (mit welcher ich selbst lernen soll), soll herauskommen:
2(x+2)(x-0,5). Ich habe schon alles versucht, jedoch kann ich im Internet keinen Rechenweg finden, der dem von unserem Lehrer auch nur ähnlich ist.
Könnt Ihr mir dabei helfen?
Mit freundlichen Grüßen
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Di 06.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Als ersten Schritt:
2(x+2)(x-0,5) löse die Klammern auf. Gelingt Dir das?
Dann eine Frage:
Kannst Du die quadratische Gleichung 2x²+3x-2=0 lösen? (pq-Formel)
Dann eine Anmerkung:
Es gibt verschiedene Wege, diese Aufgaben zu lösen. Der schnellste ist "die Lösung zu sehen". Das wird nicht Dein Weg sein. Es wäre aber gut, wenn Du den Weg des Lehrers aufzeigst. Vielleicht gelingt es uns, ihn Dir verständlich zu machen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Di 06.01.2015 | | Autor: | Navyc225 |
Der Lehrer hat die Aufgabe 2x²-14x+20 folgendermaßen gelöst:
2x²-14x+20
= 2(x²-7x+10)
= [mm] 2[x²-7x+(\bruch{7}{2})²-(\bruch{7}{2})²+10]
[/mm]
= [mm] 2[(x+\bruch{7}{2})²+(\bruch{7}{2})²-(\bruch{7}{2})²+10]
[/mm]
= [mm] 2[(x-\bruch{7}{2})²-\bruch{9}{4}] [/mm] *1
= [mm] 2(x-\bruch{7}{2}-\bruch{3}{2})(x-\bruch{7}{2}+\bruch{3}{2})
[/mm]
= [mm] 2(x-\bruch{10}{2})(x-\bruch{4}{2})
[/mm]
= 2(x-5)(x-2)
*1 Hier frage ich mich, wo die [mm] +(\bruch{7}{2})² [/mm] hin sind.
Wir sollen alle Aufgaben nach diesem Konzept lösen.
Mit freundlichen Grüßen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Di 06.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Der Lehrer hat die Aufgabe 2x²-14x+20 folgendermaßen
> gelöst:
>
> 2x²-14x+20
>
> = 2(x²-7x+10)
>
> = [mm]2[x²-7x+(\bruch{7}{2})²-(\bruch{7}{2})²+10][/mm]
>
> =
> [mm]2[(x+\bruch{7}{2})²+(\bruch{7}{2})²-(\bruch{7}{2})²+10][/mm]
>
> = [mm]2[(x-\bruch{7}{2})²-\bruch{9}{4}][/mm] *1
>
> =
> [mm]2(x-\bruch{7}{2}-\bruch{3}{2})(x-\bruch{7}{2}+\bruch{3}{2})[/mm]
>
> = [mm]2(x-\bruch{10}{2})(x-\bruch{4}{2})[/mm]
>
> = 2(x-5)(x-2)
>
>
> *1 Hier frage ich mich, wo die [mm]+(\bruch{7}{2})²[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hin sind.
da wurden doch Brüche addiert etc.!
> Wir sollen alle Aufgaben nach diesem Konzept lösen.
Dann ist das Schema (benutzt wird dabei u.a. die  quadr. Ergänzung):
$ax^2+bx+c=a*\{x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a}\}=a*\{(x+\tfrac{b}{2a})^2\red{\,-\,(\tfrac{b}{2a})^2}+\tfrac{c}{a}\}=a*\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\sqrt{(\tfrac{b}{2a})^2-\tfrac{c}{a}}^{\,2}\right\}$
$=a*(x+\tfrac{b}{2a}+\left[\sqrt{(\tfrac{b}{2a})^2-\tfrac{c}{a}}\right])*(x+\tfrac{b}{2a}-\left[\sqrt{(\tfrac{b}{2a})^2-\tfrac{c}{a}}\right])$
Am Ende wurde hier die dritte bin. Formel angewendet! Dabei muss der Term unter der Wurzel, also
$\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}$
nichtnegativ sein!
Zur Kontrolle: Oben ist $a=2, b=-14\,$ und $c=20,$ also sollte Dein Lehrer am
Ende
$2*(x+\underbrace{\tfrac{-14}{2*2}}_{=b/(2a)=-14/4}+\left[\sqrt{(-14/4)^2-\tfrac{20}{2}}}\right])*(x+\tfrac{-14}{2*2}-\left[\sqrt{(-14/4)^2-\tfrac{20}{2}}}\right])$
$=2*(x+(-7/2)+[3/2]))*(x+(-7/2)-[3/2])=2*(x-4/2)*(x-10/2)=2*(x-2)*(x-5)$
stehen haben. Das hat er auch, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, die
aber (wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation) irrelevant ist!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Di 06.01.2015 | | Autor: | Navyc225 |
Hallo Marcel,
vielen dank, dies ist genau das was ich geuscht habe :)
Ich bedanke mich wirklich vielmals für deine Hilfe, und natürlich auch für die Hilfe der anderen User :)
Wie kann ich die Diskussion nun abschließen?
Mit freundlichen Grüßen
Fabian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Di 06.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Der Lehrer hat die Aufgabe 2x²-14x+20 folgendermaßen
> gelöst:
>
> 2x²-14x+20
>
> = 2(x²-7x+10)
Das Ziel ist hier, ein "nacktes" [mm] $x^2$ [/mm] in der Klammer zu haben.
>
> = [mm]2[x^2-7x+(\bruch{7}{2})^2-(\bruch{7}{2})^2+10][/mm]
(ich habe mal die Quadrate sichtbar gemacht)
Das [mm] $x^2 [/mm] - 7x$ soll zur zweiten binomischen Formel ergänzt werden. Darum heißt die Methode "quadratische Ergänzung". [mm] $a^2 [/mm] - 2ab + [mm] b^2$ [/mm] soll da stehen. Das a ist hier x, das [mm] $b^2$ [/mm] fehlt noch und dazu muss das b bestimmt werden. Das kommt aus dem 2ab das hier 7x heißt. Das x ist in Ordnung, aber die 2 fehlt noch. Die muss beschafft werden: $7x = [mm] 2\br{7}{2}x$. [/mm] Damit ist das [mm] $b=\br{7}{2}$ [/mm] und
[mm] $b^2=\left(\br{7}{2}\right)^2$. [/mm] Da das einmal dazu addiert wurde, muss es auch wieder abgezogen werden, damit weiterhin das Gleiche da steht.
>
> =
> [mm]2[(x+\bruch{7}{2})^2+(\bruch{7}{2})^2-(\bruch{7}{2})^2+10][/mm]
Zweite binomische Formel, nun angewendet.
>
> = [mm]2[(x-\bruch{7}{2})^2-\bruch{9}{4}][/mm] *1
Hier wird nur aufgeräumt.
[mm] $-\left(\bruch{7}{2}\right)^2+10 =-\bruch{49}{4}+10= -\bruch{49}{4}+\br{40}{4} [/mm] = [mm] -\bruch{9}{4} [/mm] = - [mm] \left(\bruch{2}{3}\right)^2 [/mm] $
Die letzte Umformung habe ich noh ergänzt, damit es für den nächsten Schritt passt.
>
> =
> [mm]2(x-\bruch{7}{2}-\bruch{3}{2})(x-\bruch{7}{2}+\bruch{3}{2})[/mm]
dritte binomische Formel.
>
> = [mm]2(x-\bruch{10}{2})(x-\bruch{4}{2})[/mm]
aufräumen
>
> = 2(x-5)(x-2)
fertig.
>
>
> *1 Hier frage ich mich, wo die [mm]+(\bruch{7}{2})²[/mm] hin sind.
>
> Wir sollen alle Aufgaben nach diesem Konzept lösen.
Darum habe ich das so kommentiert. Du musst am Anfang schauen, ob Du die erste oder die zweite binomische Formel benutzen musst. Ansonsten kannst Du das nach Schema abarbeiten. Jedoch klappt es nicht immer. Wenn am Ende das Minuszeichen für die dritte binomische Formel nicht da steht, schaust Du natürlich zuerst nach, ob Du Dich nicht verrechnet hast. Wenn nicht, dann ist es nicht möglich zu faktorisieren.
>
> Mit freundlichen Grüßen
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Vieta