Faktorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $V$ ein Vektorraum und $ U [mm] \subseteq [/mm] V$ und $W [mm] \subseteq [/mm] V$ lineare Teilräume von $V$. Sei $ U + W := [mm] \{u+w|u\in U, w\in W\}$.
[/mm]
i) Zeige, dass $U$ ein linearer Teilraum von $U + W$ ist.
ii) Wir definieren eine Abbildung $f : U [mm] \to [/mm] (U+W)/W$ mit $f(u) = u+W$. Zeige, dass $f$ linear und surjektiv ist.
iii) Berechne $Ker(f)$. |
Hallo,
Teilaufgabe i)
Ich dachte mir, ich muss erst das Nullelement betrachten. Wenn $U+W$ ein linearer Teilraum ist (was ich in einer anderen Aufgabe beweisen muss, darum nehme ich es jetzt schon mal an), dann liegt das Nullelement in $U+W$. Da $U$ ja Teil ist von $U+W$, muss das Nullelement ja auch in $U$ liegen. Ist aber lediglich eine Intuition.
Wenn ich für die Abgeschlossenheit unter Addition zwei Elemente [mm] $u_1 \in [/mm] U$ und [mm] $u_w \in [/mm] U$ sowie das Nullelement $0 [mm] \in [/mm] W$ nehme, kriege ich:
$ [mm] (u_1 [/mm] + [mm] o)+(u_2+0)=(u_1+u_2)+(0+0)=u_1+u_2+0$.
[/mm]
[mm] $u_1+u_2$ [/mm] leigt in $U$, weil die einzelnen Elemente auch in $U$ liegen und $U$ ein linearer Unterraum ist. Damit kriege ich ein neues Element [mm] $u_3 \in [/mm] U$ und somit
$ [mm] \underbrace{u_3}_{\in U}+\underbrace{0}_{\in W}$,
[/mm]
was die Definition von $U+W$ erfüllt.
Skalarmultiplikation ginge dann analog. Ich habe zwei Elemente $ u [mm] \in [/mm] U$ und $a [mm] \in \IR$. [/mm] Dann habe ich:
$ [mm] a(u+0)=au+a0=au+0=\underbrace{u'}_{\in U}+\underbrace{0}_{\in W} [/mm] $,
da $au$ ein skalierter Vektor $u' [mm] \in [/mm] U$ ist. Die Definition von $U+W$ ist auch hier erfüllt.
Teilaufgabe ii)
Ich nehme für die Linearität zwei Elemente [mm] $u_1 \in [/mm] U$ und [mm] $u_2 \in [/mm] U$ und wende die Transformation auf die Summe der beiden Elemente an:
$ [mm] f(u_1+u_2)=(u_1+u_2)+W=(u_1+W)+(u_2+W)=f(u_1)+f(u_2) [/mm] $.
Dasselbe mit dem Produkt aus einer Zahl $a [mm] \in \IR$ [/mm] und einem Element $u [mm] \in [/mm] U$:
$ f(au)=(au)+W=a(u+W)=a*f(u) $.
Die Abbildung ist also linear.
Bei der Surjektivität zweifle ich. Wenn ich ein Element $q$ betrachte, dass die Abbildung eines Elementes $u [mm] \in [/mm] U$ ist, dann krieg ich, dass
$ f(u) = q = u+W$
und somit $ q = u+W$. Heißt das, dass jedes Bildelement mindestens einen Repräsentanten hat und dass ich fertig bin?
Teilaufgabe iii)
Der Kern von $f$ wäre ja $ Ker(f) := [mm] \{f(u) = 0+W | u \in U\}$, [/mm] oder? Nur wie gehe ich jetzt konkret vor, um Elemente zu finden, die diese Definition erfüllen? Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch...
Vielen Dank für jede Hilfe.
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> Sei [mm]V[/mm] ein Vektorraum und [mm]U \subseteq V[/mm] und [mm]W \subseteq V[/mm]
> lineare Teilräume von [mm]V[/mm]. Sei [mm]U + W := \{u+w|u\in U, w\in W\}[/mm].
>
> i) Zeige, dass [mm]U[/mm] ein linearer Teilraum von [mm]U + W[/mm] ist.
> ii) Wir definieren eine Abbildung [mm]f : U \to (U+W)/W[/mm] mit
> [mm]f(u) = u+W[/mm]. Zeige, dass [mm]f[/mm] linear und surjektiv ist.
> iii) Berechne [mm]Ker(f)[/mm].
> Hallo,
>
> Teilaufgabe i)
> Ich dachte mir, ich muss erst das Nullelement betrachten.
Hallo,
wenn Du mithilfe der drei Unterraumkriterien zeigen möchtest, daß U ein linearer Teilraum von U+W ist, dann solltest Du Dir zuallererst Gedanken darüber machen, ob U eine Teilmenge der Menge U+W ist.
Danach kannst Du dann darüber nachdenken, ob das Nullelement von U+W auch in U ist.
> Wenn [mm]U+W[/mm] ein linearer Teilraum ist (was ich in einer
> anderen Aufgabe beweisen muss, darum nehme ich es jetzt
> schon mal an), dann liegt das Nullelement
von V, [mm] 0_V,
[/mm]
> in [mm]U+W[/mm],
(und es ist auch Nullelement dieses Raumes.)
Stimmt.
> Da [mm]U[/mm] ja
> Teil ist von [mm]U+W[/mm], muss das Nullelement ja auch in [mm]U[/mm] liegen.
Nö.
U könnte ja eine Teilmenge von U+W sein, welche das Nullelement von U+W nicht enthält.
Dafür, daß das nicht der Fall ist, mußt Du einen Grund finden.
Was ist denn U? Das ist ja nicht bloß irgendeine Teilmenge von V...
> Ist aber lediglich eine Intuition.
>
> Wenn ich für die Abgeschlossenheit unter Addition zwei
> Elemente [mm]u_1 \in U[/mm] und [mm]u_w \in U[/mm]
>sowie das Nullelement [mm]0 \in W[/mm]
> nehme, kriege ich:
Bevor Du irgendetwas "kriegst", solltest Du erstmal überlegen, was Du zeigen möchtest:
[mm] u_1,u_2\in [/mm] U ==> [mm] u_1+u_2\in [/mm] U.
Nicht mehr, nicht weniger.
>
> [mm](u_1 + o)+(u_2+0)=(u_1+u_2)+(0+0)=u_1+u_2+0[/mm].
Das stimmt zwar, erhellt aber in diesem Zusammenhang überhaupt nicht.
> [mm]u_1+u_2[/mm] leigt in [mm]U[/mm], weil die einzelnen Elemente auch in [mm]U[/mm]
> liegen und [mm]U[/mm] ein linearer Unterraum ist.
Ach! Da haben wir's doch!
Genau.
> Damit kriege ich
> ein neues Element [mm]u_3 \in U[/mm] und somit
>
> [mm]\underbrace{u_3}_{\in U}+\underbrace{0}_{\in W}[/mm],
>
> was die Definition von [mm]U+W[/mm] erfüllt.
Interessiert an dieser Stelle nicht.
>
> Skalarmultiplikation ginge dann analog.
Genau: für [mm] a\in \IR [/mm] (bzw. [mm] \in [/mm] K) und [mm] u\in [/mm] U ist zu überlegen, ob [mm] a*u\in [/mm] U.
> Teilaufgabe ii)
> Ich nehme für die Linearität zwei Elemente [mm]u_1 \in U[/mm] und
> [mm]u_2 \in U[/mm] und wende die Transformation auf die Summe der
> beiden Elemente an:
>
> [mm]f(u_1+u_2)=(u_1+u_2)+W\red{=}(u_1+W)+(u_2+W)=f(u_1)+f(u_2) [/mm].
>
> Dasselbe mit dem Produkt aus einer Zahl [mm]a \in \IR[/mm] und einem
> Element [mm]u \in U[/mm]:
>
> [mm]f(au)=(au)+W\red{=}a(u+W)=a*f(u) [/mm].
>
> Die Abbildung ist also linear.
An den markierten Stellen verwendest Du die Def. der Addition und Multiplikation mit Skalaren im Faktorraum. (Das ist richtig! Und erwähnenswert)
>
> Bei der Surjektivität zweifle ich. Wenn ich ein Element [mm]q[/mm]
> betrachte,
Wo soll dieses Element q herkommen? Aus (U+W)/W.
Sei also [mm] q\in [/mm] U+W.
Dann gibt es ein [mm] u\in [/mm] U und ein [mm] w\in [/mm] W mit
q=(u+w)+W.
Nun mußt Du ein Element [mm] u'\in [/mm] U aus dem Hut zaubern, welches darauf abgebildet wird, für welches also gilt f(u')=(u+w)+W.
In der Tat ist u so ein Element, welches tut, was es tun soll - aber Du mußt begründen, weshalb f(u)=(u+w)+W gilt.
> dass die Abbildung eines Elementes [mm]u \in U[/mm] ist,
> dann krieg ich, dass
>
> [mm]f(u) = q = u+W[/mm]
>
> und somit [mm]q = u+W[/mm]. Heißt das, dass jedes Bildelement
> mindestens einen Repräsentanten hat und dass ich fertig
> bin?
>
> Teilaufgabe iii)
> Der Kern von [mm]f[/mm] wäre ja [mm]Ker(f) := \{f(u) = 0+W | u \in U\}[/mm],
> oder?
Nein.
Der Kern von f ist eine Teilmenge von U! Er enthält all diejenigen Elemente von U, welche auf die Null von (U+W)/W abgebildet werden.
(Mir ist nicht ganz klar, ob Dir klar ist, daß die Null im Faktorraum (U+W)/W das Element W ist. Vielleicht ja...)
Es ist also [mm] Kern(f)=\{u\in U| f(u)=W\}
[/mm]
> Nur wie gehe ich jetzt konkret vor, um Elemente zu
> finden, die diese Definition erfüllen? Irgendwie stehe ich
> auf dem Schlauch...
Du schaust mal, welche [mm] u\in [/mm] U dies erfüllen:
f(u)=W
<==>
u+W=W
<==> ???
LG Angela
>
> Vielen Dank für jede Hilfe.
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Hallo, danke für deine Antwort :)
> > Teilaufgabe i)
> > Ich dachte mir, ich muss erst das Nullelement
> betrachten.
>
> Hallo,
>
> wenn Du mithilfe der drei Unterraumkriterien zeigen
> möchtest, daß U ein linearer Teilraum von U+W ist, dann
> solltest Du Dir zuallererst Gedanken darüber machen, ob U
> eine Teilmenge der Menge U+W ist.
>
> Danach kannst Du dann darüber nachdenken, ob das
> Nullelement von U+W auch in U ist.
Ok, vielleicht verstehe ich hier was falsch. Aber wenn ich $U+W$ habe, dann muss $U$ doch notwendigerweise (zu mindest zu einem Teil) in $U+W$ liegen, oder? Es kann gut sein, dass das ein bisschen naiv ist, aber das sagt mir meine Intuition. Wenn das nicht so ist, dann wäre es nett, wenn du es kurz erklären könntest, da ich es dann scheinbar noch nicht ganz verstehe.
> > Da [mm]U[/mm] ja
> > Teil ist von [mm]U+W[/mm], muss das Nullelement ja auch in [mm]U[/mm]
> liegen.
>
> Nö.
> U könnte ja eine Teilmenge von U+W sein, welche das
> Nullelement von U+W nicht enthält.
> Dafür, daß das nicht der Fall ist, mußt Du einen Grund
> finden.
> Was ist denn U? Das ist ja nicht bloß irgendeine
> Teilmenge von V...
Nein, $U$ ist ein linearer Unterraum von $V$. Darum muss $U$ auch das Nullelement enthalten. D.h. das Nullelement von $V$ [mm] ($0_V$) [/mm] ist in $U+W$, weil das ein linearer Unterraum von $V$ ist, und ebenfalls in $U$, weil auch das ein linearer Unterraum von $V$ ist. Stimmt das so?
>
> > Ist aber lediglich eine Intuition.
>
> >
> > Wenn ich für die Abgeschlossenheit unter Addition zwei
> > Elemente [mm]u_1 \in U[/mm] und [mm]u_w \in U[/mm]
> >sowie das Nullelement
> [mm]0 \in W[/mm]
> > nehme, kriege ich:
>
>
> Bevor Du irgendetwas "kriegst", solltest Du erstmal
> überlegen, was Du zeigen möchtest:
>
> [mm]u_1,u_2\in[/mm] U ==> [mm]u_1+u_2\in[/mm] U.
>
> Nicht mehr, nicht weniger.
Klar, hatte ich vergessen :) Danke.
>
> >
> > [mm](u_1 + o)+(u_2+0)=(u_1+u_2)+(0+0)=u_1+u_2+0[/mm].
> >
> > Damit kriege ich
> > ein neues Element [mm]u_3 \in U[/mm] und somit
> >
> > [mm]\underbrace{u_3}_{\in U}+\underbrace{0}_{\in W}[/mm],
> >
> > was die Definition von [mm]U+W[/mm] erfüllt.
>
> Interessiert an dieser Stelle nicht.
Wieso denn nicht? Ich muss doch zeigen, dass ich ein Element aus $U+W$ kriege, oder? Darum erwähne ich die Defintion.
>
> >
> > Skalarmultiplikation ginge dann analog.
> Genau: für [mm]a\in \IR[/mm] (bzw. [mm]\in[/mm] K) und [mm]u\in[/mm] U ist zu
> überlegen, ob [mm]a*u\in[/mm] U.
>
> [...]
>
> Sei also [mm]q\in[/mm] U+W.
>
> Dann gibt es ein [mm]u\in[/mm] U und ein [mm]w\in[/mm] W mit
>
> q=(u+w)+W.
>
> Nun mußt Du ein Element [mm]u'\in[/mm] U aus dem Hut zaubern,
> welches darauf abgebildet wird, für welches also gilt
> f(u')=(u+w)+W.
>
> In der Tat ist u so ein Element, welches tut, was es tun
> soll - aber Du mußt begründen, weshalb f(u)=(u+w)+W
> gilt.
Das ist genau der Schritt, bei dem ich hängenbleibe.
> > Teilaufgabe iii)
> > Der Kern von [mm]f[/mm] wäre ja [mm]Ker(f) := \{f(u) = 0+W | u \in U\}[/mm],
>
> > oder?
>
> Nein.
> Der Kern von f ist eine Teilmenge von U! Er enthält all
> diejenigen Elemente von U, welche auf die Null von (U+W)/W
> abgebildet werden.
> (Mir ist nicht ganz klar, ob Dir klar ist, daß die Null
> im Faktorraum (U+W)/W das Element W ist. Vielleicht ja...)
>
Wenn $W$ das Gleiche ist wie $0+W$, dann ja. Sonst nein :) Weil wenn ich zwei Elemente [mm] $((u_1+w_1)+W), ((u_2+w_2)+W) \in [/mm] (U+W)/W$ habe und die Gleichung
$ [mm] ((u_1+w_1)+W)+((u_2+w_2)+W)=((u_1+w_1)+W) [/mm] $
lösen will, dann muss ja gelten, dass [mm] $(u_2+w_2)=0$, [/mm] also [mm] $((u_2+w_2)+W)=0+W$, [/mm] oder?
> Es ist also [mm]Kern(f)=\{u\in U| f(u)=W\}[/mm]
Ja, irgendwie hatte ich die Definition genau umgedreht. Ich meinte in der Tat, dass der Kern aus den Elementen aus $U$ besteht, die auf das Nullelement abgebildet werden.
>
>
> > Nur wie gehe ich jetzt konkret vor, um Elemente zu
> > finden, die diese Definition erfüllen? Irgendwie stehe
> ich
> > auf dem Schlauch...
>
> Du schaust mal, welche [mm]u\in[/mm] U dies erfüllen:
>
> f(u)=W
> <==>
> u+W=W
> <==> ???
Ist es nicht so, dass das Nullelement diese Voraussetzung erfüllt? Denn dann wäre ja
$ f(0) = 0 + W = W $,
oder?
>
> LG Angela
> >
> > Vielen Dank für jede Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Do 09.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
> Hallo, danke für deine Antwort :)
>
> > > Teilaufgabe i)
> > > Ich dachte mir, ich muss erst das Nullelement
> > betrachten.
> >
> > Hallo,
> >
> > wenn Du mithilfe der drei Unterraumkriterien zeigen
> > möchtest, daß U ein linearer Teilraum von U+W ist, dann
> > solltest Du Dir zuallererst Gedanken darüber machen, ob U
> > eine Teilmenge der Menge U+W ist.
> >
> > Danach kannst Du dann darüber nachdenken, ob das
> > Nullelement von U+W auch in U ist.
>
> Ok, vielleicht verstehe ich hier was falsch. Aber wenn ich
> [mm]U+W[/mm] habe, dann muss [mm]U[/mm] doch notwendigerweise (zu mindest zu
> einem Teil) in [mm]U+W[/mm] liegen, oder?
Das ist ja auch so, trotzdem kann man sich darüber Gedanken machen.
>Es kann gut sein, dass das
> ein bisschen naiv ist, aber das sagt mir meine Intuition.
> Wenn das nicht so ist, dann wäre es nett, wenn du es kurz
> erklären könntest, da ich es dann scheinbar noch nicht
> ganz verstehe.
>
> > > Da [mm]U[/mm] ja
> > > Teil ist von [mm]U+W[/mm], muss das Nullelement ja auch in [mm]U[/mm]
> > liegen.
> >
> > Nö.
> > U könnte ja eine Teilmenge von U+W sein, welche das
> > Nullelement von U+W nicht enthält.
> > Dafür, daß das nicht der Fall ist, mußt Du einen
> Grund
> > finden.
> > Was ist denn U? Das ist ja nicht bloß irgendeine
> > Teilmenge von V...
>
> Nein, [mm]U[/mm] ist ein linearer Unterraum von [mm]V[/mm]. Darum muss [mm]U[/mm] auch
> das Nullelement enthalten. D.h. das Nullelement von [mm]V[/mm] ([mm]0_V[/mm])
> ist in [mm]U+W[/mm], weil das ein linearer Unterraum von [mm]V[/mm] ist, und
> ebenfalls in [mm]U[/mm], weil auch das ein linearer Unterraum von [mm]V[/mm]
> ist. Stimmt das so?
ok.
>
> >
> > > Ist aber lediglich eine Intuition.
> >
> > >
> > > Wenn ich für die Abgeschlossenheit unter Addition
> zwei
> > > Elemente [mm]u_1 \in U[/mm] und [mm]u_w \in U[/mm]
> > >sowie das
> Nullelement
> > [mm]0 \in W[/mm]
> > > nehme, kriege ich:
> >
> >
> > Bevor Du irgendetwas "kriegst", solltest Du erstmal
> > überlegen, was Du zeigen möchtest:
> >
> > [mm]u_1,u_2\in[/mm] U ==> [mm]u_1+u_2\in[/mm] U.
> >
> > Nicht mehr, nicht weniger.
>
> Klar, hatte ich vergessen :) Danke.
>
> >
> > >
> > > [mm](u_1 + o)+(u_2+0)=(u_1+u_2)+(0+0)=u_1+u_2+0[/mm].
> > >
> > > Damit kriege ich
> > > ein neues Element [mm]u_3 \in U[/mm] und somit
> > >
> > > [mm]\underbrace{u_3}_{\in U}+\underbrace{0}_{\in W}[/mm],
> >
> >
> > > was die Definition von [mm]U+W[/mm] erfüllt.
> >
> > Interessiert an dieser Stelle nicht.
>
> Wieso denn nicht? Ich muss doch zeigen, dass ich ein
> Element aus [mm]U+W[/mm] kriege, oder? Darum erwähne ich die
> Defintion.
Nein, du wolltest doch zeigen, dass die Summe zweier Elemente aus U wieder in U liegt. Das sie auch noch in U+W liegt ist klar, weil das eine Obermenge von U ist (s.o.).
>
> >
> > >
> > > Skalarmultiplikation ginge dann analog.
> > Genau: für [mm]a\in \IR[/mm] (bzw. [mm]\in[/mm] K) und [mm]u\in[/mm] U ist zu
> > überlegen, ob [mm]a*u\in[/mm] U.
> >
> > [...]
> >
> > Sei also [mm]q\in[/mm] U+W.
> >
> > Dann gibt es ein [mm]u\in[/mm] U und ein [mm]w\in[/mm] W mit
> >
> > q=(u+w)+W.
> >
> > Nun mußt Du ein Element [mm]u'\in[/mm] U aus dem Hut zaubern,
> > welches darauf abgebildet wird, für welches also gilt
> > f(u')=(u+w)+W.
> >
> > In der Tat ist u so ein Element, welches tut, was es tun
> > soll - aber Du mußt begründen, weshalb f(u)=(u+w)+W
> > gilt.
>
> Das ist genau der Schritt, bei dem ich hängenbleibe.
Wie ist denn die Abbildung definiert? Was ist w+W?
>
> > > Teilaufgabe iii)
> > > Der Kern von [mm]f[/mm] wäre ja [mm]Ker(f) := \{f(u) = 0+W | u \in U\}[/mm],
>
> >
> > > oder?
> >
> > Nein.
> > Der Kern von f ist eine Teilmenge von U! Er enthält all
> > diejenigen Elemente von U, welche auf die Null von (U+W)/W
> > abgebildet werden.
> > (Mir ist nicht ganz klar, ob Dir klar ist, daß die
> Null
> > im Faktorraum (U+W)/W das Element W ist. Vielleicht ja...)
> >
>
> Wenn [mm]W[/mm] das Gleiche ist wie [mm]0+W[/mm], dann ja. Sonst nein :) Weil
> wenn ich zwei Elemente [mm]((u_1+w_1)+W), ((u_2+w_2)+W) \in (U+W)/W[/mm]
> habe und die Gleichung
>
> [mm]((u_1+w_1)+W)+((u_2+w_2)+W)=((u_1+w_1)+W)[/mm]
>
> lösen will, dann muss ja gelten, dass [mm](u_2+w_2)=0[/mm],
wieso?
>also
> [mm]((u_2+w_2)+W)=0+W[/mm], oder?
Ja
>
> > Es ist also [mm]Kern(f)=\{u\in U| f(u)=W\}[/mm]
>
> Ja, irgendwie hatte ich die Definition genau umgedreht. Ich
> meinte in der Tat, dass der Kern aus den Elementen aus [mm]U[/mm]
> besteht, die auf das Nullelement abgebildet werden.
>
> >
> >
> > > Nur wie gehe ich jetzt konkret vor, um Elemente zu
> > > finden, die diese Definition erfüllen? Irgendwie
> stehe
> > ich
> > > auf dem Schlauch...
> >
> > Du schaust mal, welche [mm]u\in[/mm] U dies erfüllen:
> >
> > f(u)=W
> > <==>
> > u+W=W
> > <==> ???
>
> Ist es nicht so, dass das Nullelement diese Voraussetzung
> erfüllt? Denn dann wäre ja
>
> [mm]f(0) = 0 + W = W [/mm],
>
> oder?
Ja, aber vielleicht gibt es ja noch mehr Elemente im Kern.
>
> >
> > LG Angela
> > >
> > > Vielen Dank für jede Hilfe.
>
Liebe Grüße
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|
Hallo :)
> > Ok, vielleicht verstehe ich hier was falsch. Aber wenn ich
> > [mm]U+W[/mm] habe, dann muss [mm]U[/mm] doch notwendigerweise (zu mindest zu
> > einem Teil) in [mm]U+W[/mm] liegen, oder?
>
> Das ist ja auch so, trotzdem kann man sich darüber
> Gedanken machen.
Ok, so war das gemeint. Ich dachte, dass ich einen Schritt ausgelassen hatte.
> > > > Damit kriege ich
> > > > ein neues Element [mm]u_3 \in U[/mm] und somit
> > > >
> > > > [mm]\underbrace{u_3}_{\in U}+\underbrace{0}_{\in W}[/mm],
>
> > >
> > >
> > > > was die Definition von [mm]U+W[/mm] erfüllt.
> > >
> > > Interessiert an dieser Stelle nicht.
> >
> > Wieso denn nicht? Ich muss doch zeigen, dass ich ein
> > Element aus [mm]U+W[/mm] kriege, oder? Darum erwähne ich die
> > Defintion.
>
> Nein, du wolltest doch zeigen, dass die Summe zweier
> Elemente aus U wieder in U liegt. Das sie auch noch in U+W
> liegt ist klar, weil das eine Obermenge von U ist (s.o.).
Stimmt, sehe ich ein.
> > > Sei also [mm]q\in[/mm] U+W.
> > >
> > > Dann gibt es ein [mm]u\in[/mm] U und ein [mm]w\in[/mm] W mit
> > >
> > > q=(u+w)+W.
> > >
> > > Nun mußt Du ein Element [mm]u'\in[/mm] U aus dem Hut zaubern,
> > > welches darauf abgebildet wird, für welches also gilt
> > > f(u')=(u+w)+W.
> > >
> > > In der Tat ist u so ein Element, welches tut, was es tun
> > > soll - aber Du mußt begründen, weshalb f(u)=(u+w)+W
> > > gilt.
> >
> > Das ist genau der Schritt, bei dem ich hängenbleibe.
>
> Wie ist denn die Abbildung definiert? Was ist w+W?
Die Abbildung der Definition steht in der Aufgabe, wenn ich mich nicht irre, und ist definiert als
$f(u) u + W$, wobei $ f : U [mm] \to [/mm] (U+W)/W $.
Und ist $w+W := [mm] \{ w + w' | w' \in W\}$?
[/mm]
> >
> > > > Teilaufgabe iii)
> > > > Der Kern von [mm]f[/mm] wäre ja [mm]Ker(f) := \{f(u) = 0+W | u \in U\}[/mm],
>
> >
> > >
> > > > oder?
> > >
> > > Nein.
> > > Der Kern von f ist eine Teilmenge von U! Er enthält all
> > > diejenigen Elemente von U, welche auf die Null von (U+W)/W
> > > abgebildet werden.
> > > (Mir ist nicht ganz klar, ob Dir klar ist, daß die
> > Null
> > > im Faktorraum (U+W)/W das Element W ist. Vielleicht ja...)
> > >
> >
> > Wenn [mm]W[/mm] das Gleiche ist wie [mm]0+W[/mm], dann ja. Sonst nein :) Weil
> > wenn ich zwei Elemente [mm]((u_1+w_1)+W), ((u_2+w_2)+W) \in (U+W)/W[/mm]
> > habe und die Gleichung
> >
> > [mm]((u_1+w_1)+W)+((u_2+w_2)+W)=((u_1+w_1)+W)[/mm]
> >
> > lösen will, dann muss ja gelten, dass [mm](u_2+w_2)=0[/mm],
>
> wieso?
Weil es ja ein Element $0$ geben muss, sodass gilt (ganz allgemein) $x+0=x$.
> >also
> > [mm]((u_2+w_2)+W)=0+W[/mm], oder?
>
> Ja
> >
> > > f(u)=W
> > > <==>
> > > u+W=W
> > > <==> ???
> >
> > Ist es nicht so, dass das Nullelement diese Voraussetzung
> > erfüllt? Denn dann wäre ja
> >
> > [mm]f(0) = 0 + W = W [/mm],
> >
> > oder?
>
> Ja, aber vielleicht gibt es ja noch mehr Elemente im Kern.
Ja, nur wie finde ich die? Da dreht sich ja meine ganze Frage drum :/
> >
> > >
> > > LG Angela
> > > >
> > > > Vielen Dank für jede Hilfe.
> >
>
> Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:48 Fr 10.10.2014 | | Autor: | andyv |
> Hallo :)
>
> > > Ok, vielleicht verstehe ich hier was falsch. Aber wenn ich
> > > [mm]U+W[/mm] habe, dann muss [mm]U[/mm] doch notwendigerweise (zu mindest zu
> > > einem Teil) in [mm]U+W[/mm] liegen, oder?
> >
> > Das ist ja auch so, trotzdem kann man sich darüber
> > Gedanken machen.
>
> Ok, so war das gemeint. Ich dachte, dass ich einen Schritt
> ausgelassen hatte.
>
> > > > > Damit kriege ich
> > > > > ein neues Element [mm]u_3 \in U[/mm] und somit
> > > > >
> > > > > [mm]\underbrace{u_3}_{\in U}+\underbrace{0}_{\in W}[/mm],
>
> >
> > > >
> > > >
> > > > > was die Definition von [mm]U+W[/mm] erfüllt.
> > > >
> > > > Interessiert an dieser Stelle nicht.
> > >
> > > Wieso denn nicht? Ich muss doch zeigen, dass ich ein
> > > Element aus [mm]U+W[/mm] kriege, oder? Darum erwähne ich die
> > > Defintion.
> >
> > Nein, du wolltest doch zeigen, dass die Summe zweier
> > Elemente aus U wieder in U liegt. Das sie auch noch in U+W
> > liegt ist klar, weil das eine Obermenge von U ist (s.o.).
>
> Stimmt, sehe ich ein.
>
> > > > Sei also [mm]q\in[/mm] U+W.
> > > >
> > > > Dann gibt es ein [mm]u\in[/mm] U und ein [mm]w\in[/mm] W mit
> > > >
> > > > q=(u+w)+W.
> > > >
> > > > Nun mußt Du ein Element [mm]u'\in[/mm] U aus dem Hut zaubern,
> > > > welches darauf abgebildet wird, für welches also gilt
> > > > f(u')=(u+w)+W.
> > > >
> > > > In der Tat ist u so ein Element, welches tut, was es tun
> > > > soll - aber Du mußt begründen, weshalb f(u)=(u+w)+W
> > > > gilt.
> > >
> > > Das ist genau der Schritt, bei dem ich hängenbleibe.
> >
> > Wie ist denn die Abbildung definiert? Was ist w+W?
>
> Die Abbildung der Definition steht in der Aufgabe, wenn ich
> mich nicht irre, und ist definiert als
>
> [mm]f(u) u + W[/mm], wobei [mm]f : U \to (U+W)/W [/mm].
>
> Und ist [mm]w+W := \{ w + w' | w' \in W\}[/mm]?
Ja, das kann man aber noch schöner schreiben.
>
> > >
> > > > > Teilaufgabe iii)
> > > > > Der Kern von [mm]f[/mm] wäre ja [mm]Ker(f) := \{f(u) = 0+W | u \in U\}[/mm],
>
> >
> > >
> > > >
> > > > > oder?
> > > >
> > > > Nein.
> > > > Der Kern von f ist eine Teilmenge von U! Er enthält all
> > > > diejenigen Elemente von U, welche auf die Null von (U+W)/W
> > > > abgebildet werden.
> > > > (Mir ist nicht ganz klar, ob Dir klar ist, daß
> die
> > > Null
> > > > im Faktorraum (U+W)/W das Element W ist. Vielleicht ja...)
> > > >
> > >
> > > Wenn [mm]W[/mm] das Gleiche ist wie [mm]0+W[/mm], dann ja. Sonst nein :) Weil
> > > wenn ich zwei Elemente [mm]((u_1+w_1)+W), ((u_2+w_2)+W) \in (U+W)/W[/mm]
> > > habe und die Gleichung
> > >
> > > [mm]((u_1+w_1)+W)+((u_2+w_2)+W)=((u_1+w_1)+W)[/mm]
> > >
> > > lösen will, dann muss ja gelten, dass [mm](u_2+w_2)=0[/mm],
> >
> > wieso?
>
> Weil es ja ein Element [mm]0[/mm] geben muss, sodass gilt (ganz
> allgemein) [mm]x+0=x[/mm].
Das begründet aber doch nicht [mm] $u_2+w_2=0$.
[/mm]
>
> > >also
> > > [mm]((u_2+w_2)+W)=0+W[/mm], oder?
> >
> > Ja
> > >
> > > > f(u)=W
> > > > <==>
> > > > u+W=W
> > > > <==> ???
> > >
> > > Ist es nicht so, dass das Nullelement diese Voraussetzung
> > > erfüllt? Denn dann wäre ja
> > >
> > > [mm]f(0) = 0 + W = W [/mm],
> > >
> > > oder?
> >
> > Ja, aber vielleicht gibt es ja noch mehr Elemente im Kern.
>
> Ja, nur wie finde ich die? Da dreht sich ja meine ganze
> Frage drum :/
Angenommen $u [mm] \in [/mm] W$, was ist dann $f(u)=u+W$? Was folgt daraus?
>
> > >
> > > >
> > > > LG Angela
> > > > >
> > > > > Vielen Dank für jede Hilfe.
> > >
> >
> > Liebe Grüße
>
Liebe Grüße
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> > > > > f(u)=W
> > > > > <==>
> > > > > u+W=W
> > > > > <==> ???
> > > >
> > > > Ist es nicht so, dass das Nullelement diese Voraussetzung
> > > > erfüllt? Denn dann wäre ja
> > > >
> > > > [mm]f(0) = 0 + W = W [/mm],
> > > >
> > > > oder?
> > >
> > > Ja, aber vielleicht gibt es ja noch mehr Elemente im Kern.
> >
> > Ja, nur wie finde ich die? Da dreht sich ja meine ganze
> > Frage drum :/
>
> Angenommen [mm]u \in W[/mm], was ist dann [mm]f(u)=u+W[/mm]? Was folgt
> daraus?
Dann ist $f(u) = [mm] \underbrace{u}_{\in W}+W$.
[/mm]
Was hieraus folgt, weiß ich nicht. Ich verstehe es einfach nicht mehr...
> >
> > > >
> > > > >
> > > > > LG Angela
> > > > > >
> > > > > > Vielen Dank für jede Hilfe.
> > > >
> > >
> > > Liebe Grüße
> >
>
> Liebe Grüße
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Hallo,
> >
> > Angenommen [mm]u \in W[/mm], was ist dann [mm]f(u)=u+W[/mm]? Was folgt
> > daraus?
>
> Dann ist [mm]f(u) = \underbrace{u}_{\in W}+W[/mm].
>
> Was hieraus folgt, weiß ich nicht. Ich verstehe es einfach
> nicht mehr...
Wenn [mm] u\in{W}, [/mm] dann ist die Nebenklasse u+W einfach der Unterraum W. Dieser ist ja aber das neutrale Element des Faktorraums aus Aufgabenteil ii). Hilft dir das weiter?
PS: ich hab jetzt mal darauf verzichtet, dieses Zitate-Epos weiterzuführen. 
Gruß, Diophant
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> Wenn [mm]u\in{W},[/mm] dann ist die Nebenklasse u+W einfach der
> Unterraum W. Dieser ist ja aber das neutrale Element des
> Faktorraums aus Aufgabenteil ii). Hilft dir das weiter?
Wenn ich zwei Elemente $ [mm] ((u_1+w_1)+W), ((u_2+w_2)+W) \in [/mm] (U+W)/W $ habe und die Gleichung
$ [mm] ((u_1+w_1)+W)+((u_2+w_2)+W)=((u_1+w_1)+W) [/mm] $
lösen will, dann muss ja gelten, dass $ [mm] (u_2+w_2)=0 [/mm] $, also $ [mm] ((u_2+w_2)+W)=0+W [/mm] $. Ist es darum das neutrale Element? Wenn ja, verstehe ich, dass es so ist, aber ich weiß nicht, wie ich dann meine Antwort formulieren soll. Ich begreif einfach nicht, warum ich die Zusammenhänge nicht sehe...
>
> PS: ich hab jetzt mal darauf verzichtet, dieses Zitate-Epos
> weiterzuführen.
>
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Fr 10.10.2014 | | Autor: | fred97 |
$a+W=b+W$ [mm] \gdw [/mm] $a-b [mm] \in [/mm] W$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Fr 10.10.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
> [mm]a+W=b+W[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]a-b \in W[/mm]
>
> FRED
Entschuldigung, aber hiermit kann ich leider nichts anfangen. Die Eigenschaft ist mir bekannt, aber da ich ja die Zusammenhänge scheinbar nicht sehe, sagt mir der Beitrag nichts.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> > [mm]a+W=b+W[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]a-b \in W[/mm]
> >
> > FRED
>
> Entschuldigung, aber hiermit kann ich leider nichts
> anfangen. Die Eigenschaft ist mir bekannt, aber da ich ja
> die Zusammenhänge scheinbar nicht sehe, sagt mir der
> Beitrag nichts.
Das ist ja auch keine schöne Sache: aber obiges ist nun wirklich keine Frage. Ich habe daher umgewandelt zu einer Mitteilung.
Ich würde dir dringend raten, bevor du weiter blindwütig Aufgaben rechnest, deren Sinn dir offensoichtlich iun Teilen unklar ist: lies dir erst einemal den ganzen Stoff rund um lineare Teilräume nochmals in Ruhe durch und versuche dann zu formulieren, wo eigentlich dein Verständnisproblem liegt bzw. vielleicht ja dann 'lag'.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Fr 10.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> > [mm]a+W=b+W[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]a-b \in W[/mm]
> >
> > FRED
>
> Entschuldigung, aber hiermit kann ich leider nichts
> anfangen. Die Eigenschaft ist mir bekannt, aber da ich ja
> die Zusammenhänge scheinbar nicht sehe, sagt mir der
> Beitrag nichts.
Echt ?
Sei a [mm] \in [/mm] W. Dann: a-0 [mm] \in [/mm] W. Nach obigem ist also
a+W=0+W=W.
Sagt es Dir jetzt etwas ?
FRED
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Hallo,
ich hab mich noch mal in aller Ruhe damit beschäftigt. Ich soll also den Kern der Abbildung $f(u) = u+W$ für $f : U [mm] \to [/mm] (U+W)/W$ berechnen.
Den Kern definier ich in diesem Fall so:
$ Ker(f) := [mm] \{u \in U | f(u) = W\} [/mm] $
Es gilt also:
$u+W=0+W$
Wegen
$ [mm] v_1+W=v_2+W [/mm] $ [mm] $\gdw$ [/mm] $ [mm] v_1-v_2 \in [/mm] W$
folgt dann, dass $u-0 [mm] \in [/mm] W$ und damit
$ u [mm] \in [/mm] W $.
Da ich das jetzt weiß, muss ich Elemente suchen, sodass gilt
$ Ker(f) = [mm] \{u \in U | u \in W\}$.
[/mm]
Umformuliert heißt das, dass $ u [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W $ gelten muss. Also:
$ Ker(f) = U [mm] \cap [/mm] W$
Ist das so ok?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Deine Überlergungen sind gar nicht so falsch, aber irgendwie finde ich sie
etwas durcheinander.
1.) Es war [mm] $V\,$ [/mm] ein [mm] $K\,$-VR [/mm] mit linearen Teilräumen [mm] $U,W\,.$
[/mm]
2.) Es ist [mm] $V\,':=U+W:=\{u+w \in V:\;\; u \in U \text{ und }w \in W\}$ [/mm] ein linearer Teilraum von [mm] $V\,.$
[/mm]
Weiter
[mm] $(U+W)/W=\{[\,v'\,]:\;\;v\,' \in V\,'\}=\{[\,u+w\,]:\;\; u \in U, w \in W\}\,,$
[/mm]
wobei
[mm] $[\,v\,'\,]=\{v\,'+w \in V\,':\;\; w \in W\}\,$
[/mm]
für [mm] $v\,' \in V\,'=U+W\,.$
[/mm]
(D.h.
[mm] $(U+W)/W=\{\;[\,v\,'\,]:\;\; v\,' \in U+W\;\}=\{\;\{u_1+w_1+w:\;\; w \in W\}:\;\;u_1 \in U,\,w_1 \in W\;\}$.)
[/mm]
Das Nullelement [mm] $[n\,'] \in V\,'/W=(U+W)/W$ [/mm] ist gegeben durch
[mm] $[n\,']$ [/mm] ist Nullelement [mm] $\iff$ $n\,' \in W\,.$
[/mm]
Und weiter gilt somit
[mm] $n\,' \in [/mm] W$ [mm] $\iff$ $[n\,']=W\,.$
[/mm]
Damit also:
> Hallo,
>
> ich hab mich noch mal in aller Ruhe damit beschäftigt. Ich
> soll also den Kern der Abbildung [mm]f(u) = u+W[/mm] für [mm]f : U \to (U+W)/W[/mm]
> berechnen.
>
> Den Kern definier ich in diesem Fall so:
>
> [mm]Ker(f) := \{u \in U | f(u) = W\}[/mm]
Natürlich ist
[mm] $\text{Ker}(f)=\{u \in U:\;\; f(u)=\text{Nullelement in }V\,'/W\}=\{u \in U:\;\; f(u)=\text{Nullelement in }(U+W)/W\}\,.$
[/mm]
Da braucht man nichts neu zu definieren, da kann man etwas feststellen.
Die Feststellung ist also
$u [mm] \in \text{Ker}(f)$ $\iff$ $[u]=W\,$ ($\iff$ $\underbrace{u+W}_{=\{u+w:\;\; w \in W\}}=W$).
[/mm]
> Es gilt also:
Mit der folgenden Überlegung willst Du doch nun oben weiterarbeiten, also
solltest Du auch schreiben:
"Es ist offensichtlich, dass..."
> [mm]u+W=0+W[/mm]
"gilt, und ..."
> Wegen
>
> [mm]v_1+W=v_2+W[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]v_1-v_2 \in W[/mm]
>
> folgt dann, dass [mm]u-0 \in W[/mm] und damit
>
> [mm]u \in W [/mm].
Und das finde ich nun etwas wirr. Ich schreibe es mal so auf, wie ich es
sortieren würde:
Es ist
$u [mm] \in \text{Ker}(f)$ $\iff$ [/mm] $u [mm] \in [/mm] U$ mit [mm] $u+W=W=0+W\,.$
[/mm]
Da für [mm] $u_1,u_2 \in [/mm] U$ gilt
[mm] $u_1+W=u_2+W$ $\iff$ $(u_1-u_2) \in W\,,$
[/mm]
besagt die Gleichung
[mm] $u+W=0+W\,$
[/mm]
nichts anderes, als dass $u [mm] \in \text{Ker}(f)$ [/mm] genau dann, wenn
$u=u-0 [mm] \in [/mm] W$
gilt. (Beachtenswert ist dabei $u,0 [mm] \in [/mm] U$).
> Da ich das jetzt weiß, muss ich Elemente suchen, sodass
> gilt
>
> [mm]Ker(f) = \{u \in U | u \in W\}[/mm].
Genau: Wir sehen so also:
$u [mm] \in \text{Ker}(f)$ [/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $u [mm] \in [/mm] U$ und $u [mm] \in [/mm] W$
[mm] $\Longrightarrow$ $\text{Ker}(f)=\{u \in U \mid u \in W\}$
[/mm]
> Umformuliert heißt das, dass [mm]u \in U \cap W[/mm] gelten muss.
Ja, besser könnte man sagen: $u [mm] \in \text{Ker}(f)$ [/mm] wird charakterisiert durch $u [mm] \in [/mm] (U [mm] \cap W)\,.$
[/mm]
> Also:
>
> [mm]Ker(f) = U \cap W[/mm]
>
> Ist das so ok?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wie gesagt: Die Überlegungen sind korrekt, manche Folgerungen sehen
etwas durcheinander aus - aber sie sind dennoch nicht falsch. Was ich
aber definitiv bemängeln muss, ist, dass Du oben sagst, dass Du den
Kern definierst. Du definierst ihn nicht, das ist ein vorgegebener Begriff,
das, was Du machst, ist eine Charakterisierung des Kerns in dem speziellen
Fall der Aufgabe hier.
Gruß,
Marcel
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Danke für die ausführliche Antwort. Ich wusst in diesem Fall keinen anderen Begriff zu benutzen als "definieren". Danke für den Hinweis.
Vielleicht können wir auch noch mal auf die Surjektivität zurück kommen.
Wir haben ein Element $ q [mm] \in [/mm] U+W $ genommen. Dann gibt es ein $u [mm] \in [/mm] U $ und ein $w [mm] \in [/mm] W$, sodass gilt
$ q = (u+w)+W$.
Ich habe das in den vorherigen Beiträge ausgelassen, weil ich mich auf den Kern konzentrieren wollte. Womit ich, glaub ich, aber hier Schwierigkeiten habe, ist, dass man ein $u'$ finden muss, sodass gilt
$ f(u') = (u+w)+W $.
Das hieße ja, dass $ u' = u+w$. Nur wie finde ich dieses $u'$ ? :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Fr 10.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MeMeansMe!
Ich habe den Thread nicht gelesen, hoffe aber trotzdem sinnvoll weiterhelfen zu können.
> Vielleicht können wir auch noch mal auf die Surjektivität
> zurück kommen.
>
> Wir haben ein Element [mm]q \in U+W[/mm] genommen.
[mm] $q\in [/mm] (U+W)/W$ muss es heißen.
> Dann gibt es ein
> [mm]u \in U[/mm] und ein [mm]w \in W[/mm], sodass gilt
>
> [mm]q = (u+w)+W[/mm].
>
> Ich habe das in den vorherigen Beiträge ausgelassen, weil
> ich mich auf den Kern konzentrieren wollte. Womit ich,
> glaub ich, aber hier Schwierigkeiten habe, ist, dass man
> ein [mm]u'[/mm] finden muss, sodass gilt
>
> [mm]f(u') = (u+w)+W [/mm].
Genau. Also muss $u'+W=(u+w)+W$ gelten.
> Das hieße ja, dass [mm]u' = u+w[/mm].
Nein. $u'+W=(u+w)+W$ bedeutet NICHT $u'=u+w$, sondern nur [mm] $(u+w)-u'\in [/mm] W$.
> Nur wie finde ich dieses [mm]u'[/mm] ?
Einfacher als du denkst: Wähle $u':=u$.
(Überlege dir, dass dieses $u'$ wirklich das Gewünschte leistet.)
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo MeMeansMe!
>
>
> Ich habe den Thread nicht gelesen, hoffe aber trotzdem
> sinnvoll weiterhelfen zu können.
>
>
> > Vielleicht können wir auch noch mal auf die Surjektivität
> > zurück kommen.
> >
> > Wir haben ein Element [mm]q \in U+W[/mm] genommen.
> [mm]q\in (U+W)/W[/mm] muss es heißen.
>
> > Dann gibt es ein
> > [mm]u \in U[/mm] und ein [mm]w \in W[/mm], sodass gilt
> >
> > [mm]q = (u+w)+W[/mm].
> >
> > Ich habe das in den vorherigen Beiträge ausgelassen, weil
> > ich mich auf den Kern konzentrieren wollte. Womit ich,
> > glaub ich, aber hier Schwierigkeiten habe, ist, dass man
> > ein [mm]u'[/mm] finden muss, sodass gilt
> >
> > [mm]f(u') = (u+w)+W [/mm].
> Genau. Also muss [mm]u'+W=(u+w)+W[/mm] gelten.
>
> > Das hieße ja, dass [mm]u' = u+w[/mm].
> Nein. [mm]u'+W=(u+w)+W[/mm]
> bedeutet NICHT [mm]u'=u+w[/mm], sondern nur [mm](u+w)-u'\in W[/mm].
>
> > Nur wie finde ich dieses [mm]u'[/mm] ?
> Einfacher als du denkst: Wähle [mm]u':=u[/mm].
>
> (Überlege dir, dass dieses [mm]u'[/mm] wirklich das Gewünschte
> leistet.)
Ok, $ u'+W=(u+w)+W $ bedeutet also, dass $(u+w)-u' [mm] \in [/mm] W$. Hast recht, an diese Eigenschaft muss ich mich noch gewöhnen... Wenn ich dann $u' := u$ wähle, dann erhalte ich $(u+w)-u [mm] \in [/mm] W = w [mm] \in [/mm] W$. Das heißt dann, dass es für jedes $ w [mm] \in [/mm] W$ mindestens ein $u [mm] \in [/mm] U$ gibt, wodurch die Abbildung surjektiv ist. Stimmt das so?
Und vielleicht noch mal eine allgemeinere Frage. Mich irritiert es immer wieder, dass man ein $u'$ nimmt, das nicht dasselbe ist wie $u$, dann aber doch $u' := u$ setzt. Ich sehe, dass das oft Sinn macht, nur intuitiv erschließt sich mir dieser Schritt noch nicht wirklich. Vielleicht könnte hier jemand kurz drauf eingehen :)
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Sa 11.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo MeMeansMe!
> >
> >
> > Ich habe den Thread nicht gelesen, hoffe aber trotzdem
> > sinnvoll weiterhelfen zu können.
> >
> >
> > > Vielleicht können wir auch noch mal auf die Surjektivität
> > > zurück kommen.
> > >
> > > Wir haben ein Element [mm]q \in U+W[/mm] genommen.
> > [mm]q\in (U+W)/W[/mm] muss es heißen.
> >
> > > Dann gibt es ein
> > > [mm]u \in U[/mm] und ein [mm]w \in W[/mm], sodass gilt
> > >
> > > [mm]q = (u+w)+W[/mm].
> > >
> > > Ich habe das in den vorherigen Beiträge ausgelassen, weil
> > > ich mich auf den Kern konzentrieren wollte. Womit ich,
> > > glaub ich, aber hier Schwierigkeiten habe, ist, dass man
> > > ein [mm]u'[/mm] finden muss, sodass gilt
> > >
> > > [mm]f(u') = (u+w)+W [/mm].
> > Genau. Also muss [mm]u'+W=(u+w)+W[/mm]
> gelten.
> >
> > > Das hieße ja, dass [mm]u' = u+w[/mm].
> > Nein. [mm]u'+W=(u+w)+W[/mm]
> > bedeutet NICHT [mm]u'=u+w[/mm], sondern nur [mm](u+w)-u'\in W[/mm].
> >
> > > Nur wie finde ich dieses [mm]u'[/mm] ?
> > Einfacher als du denkst: Wähle [mm]u':=u[/mm].
> >
> > (Überlege dir, dass dieses [mm]u'[/mm] wirklich das Gewünschte
> > leistet.)
>
> Ok, [mm]u'+W=(u+w)+W[/mm] bedeutet also, dass [mm](u+w)-u' \in W[/mm]. Hast
> recht, an diese Eigenschaft muss ich mich noch gewöhnen...
> Wenn ich dann [mm]u' := u[/mm] wähle, dann erhalte ich [mm](u+w)-u \in W = w \in W[/mm].
> Das heißt dann, dass es für jedes [mm]w \in W[/mm] mindestens ein
> [mm]u \in U[/mm] gibt, wodurch die Abbildung surjektiv ist. Stimmt
> das so?
>
> Und vielleicht noch mal eine allgemeinere Frage. Mich
> irritiert es immer wieder, dass man ein [mm]u'[/mm] nimmt, das nicht
> dasselbe ist wie [mm]u[/mm], dann aber doch [mm]u' := u[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
setzt.
nein, Du suchst ein $u\,'$ so, dass es eine gewisse Eigenschaft erfüllt. Wenn
man so etwas sucht, ist doch die Frage, wie man es findet. Da gibt es
verschiedene Strategien, die oft benutzt werden:
1. Man schaut, ob man die gesuchte Eigenschaft schon "in einem anderen
Element sieht".
2. Man guckt, ob man mit dem bekannten Wissen ein Element bauen kann,
dass die gewünschten Eigenschaften erfüllt.
(Bauen heißt hier sowas wie "Konstruktion mit gegebenen anderen Elementen,
das ist also schon irgendwie 'konkret'.")
3. Man versucht, zu beweisen (da gibt es auch verschiedene Methoden:
konstruktiv oder per Widerspruch etwa), dass man ein solches Element
"wählen" kann (bzw. dass ein solches existiert).
> Ich sehe,
> dass das oft Sinn macht, nur intuitiv erschließt sich mir
> dieser Schritt noch nicht wirklich. Vielleicht könnte hier
> jemand kurz drauf eingehen :)
Ich mache Dir mal ein einfaches Beispiel:
Sei $V\,$ ein $K\,$-Vektorraum. Bekanntlich wird ein Unterraum $U \subseteq V$ per
Definitionem charakterisiert durch
$U \not=\varnothing$
$\forall$ $r,s \in K$, $\forall$ $u,w \in U$ $\Rightarrow$ $r*u+s*w \in U\,.$
Behauptung:
$U\,$ hat ein Nullelement $0_U\,.$ (Es geht noch nicht mal um die Eindeutigkeit!)
Ich gebe Dir jetzt zwei Beweise dieser Tatsache:
1. Beweis:
Es ist $0_V \in U$ wegen $U \subseteq V$ und (nachrechnen!) mit $0_U:=0_V$ erfüllt
$0_U$ damit die gewünschten Eigenschaften!
2. Beweis:
Da $U \not=\varnothing$ ist, können wir ein $u \in U$ wählen. Wir definieren
$0_U:=0_K\;\red{*_U}\;u$
und zeigen, dass das so definierte Element die gewünschten Eigenschaften
erfüllt: ...
(Nebenbei: Da $\;\red{*_U}\;:=\left. \cdot \right|_{K \times U}$ mit skalarer Multiplikation $\cdot \colon K \times V \to V,$ machen wir
hier eigentlich das Gleiche wie oben - auch hier betrachten wir im Endeffekt
$0_U:=0_V\,,$ aber wir greifen "etwas versteckt" auf dieses Element zu).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:01 So 12.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Ok, [mm]u'+W=(u+w)+W[/mm] bedeutet also, dass [mm](u+w)-u' \in W[/mm]. Hast
> recht, an diese Eigenschaft muss ich mich noch gewöhnen...
> Wenn ich dann [mm]u' := u[/mm] wähle, dann erhalte ich [mm](u+w)-u \in W = w \in W[/mm].
Schreibe besser
[mm] $(u'+w)-u'=(u+w)-u=w\in [/mm] W$.
(Um auszudrücken, dass die Aussagen [mm] $(u+w)-u\in [/mm] W$ und [mm] $w\in [/mm] W$ äquivalent sind, verwende [mm] $\gdw$ [/mm] anstelle von $=$.)
> Das heißt dann, dass es für jedes [mm]w \in W[/mm] mindestens ein
> [mm]u \in U[/mm] gibt, wodurch die Abbildung surjektiv ist.
Nein, es gibt für jedes [mm] $(u+w)+W\in [/mm] (U+W)/W$ ein [mm] $u'\in [/mm] U$ mit $f(u')=(u+w)+W$; d.h. f ist surjektiv.
> Und vielleicht noch mal eine allgemeinere Frage. Mich
> irritiert es immer wieder, dass man ein [mm]u'[/mm] nimmt, das nicht
> dasselbe ist wie [mm]u[/mm], dann aber doch [mm]u' := u[/mm] setzt.
Zunächst einmal SUCHEN wir ein [mm] $u'\in [/mm] U$ mit einer gewissen Eigenschaft und HABEN schon gewisses ein [mm] $u\in [/mm] U$ vorgegeben.
Die Unterscheidung zwischen $u'$ und $u$ hilft uns bei der Beweisfindung, uns klarzumachen, was gegeben und was gesucht ist.
Niemand verlangt, dass wir ein $u'$ mit [mm] $u'\not=u$ [/mm] finden.
Auf der anderen Seite wussten wir a priori noch gar nicht, ob $u':=u$ das Gewünschte leistet.
(Aber eine solche Vermutung führt erfahrungsgemäß oft zum Ziel.
Dies entspricht der Strategie, die Marcel in seiner Mitteilung unter 1. angeführt hat.)
Den fertigen Beweis könnte man (aufgrund der gewonnenen Erkenntnis, dass $u':=u$ gewählt werden kann) auch ohne die Unterscheidung zwischen $u$ und $u'$ aufschreiben:
Behauptung:
$f$ ist surjektiv.
Beweis:
Sei [mm] $a\in [/mm] (U+W)/W$.
Zu zeigen ist die Existenz eines [mm] $u\in [/mm] U$ mit $f(u)=a$.
Wegen [mm] $a\in [/mm] (U+W)/W$ existiert ein [mm] $v\in [/mm] U+W$ mit $a=v+W$.
Wegen [mm] $v\in [/mm] U+W$ existieren [mm] $u\in [/mm] U$, [mm] $w\in [/mm] W$ mit $v=u+w$.
Wegen
[mm] $v-u=(u+w)-u=w\in [/mm] W$
gilt
$v+W=u+W$
und damit wie gewünscht
$f(u)=u+W=v+W=a$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Mo 13.10.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Prima, ich danke dir :) Hat mir wirklich sehr geholfen :)
Liebe Grüße.
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