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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 So 19.02.2012 | | Autor: | chara18 |
| Aufgabe | a) Sei {v1;v2;v3} eine Basis des 3-dimensionalen K-Vektorraums V.
i) Sei K = R. Zeigen Sie, dass dann auch die Menge {c1;c2;c3} eine Basis ist mit
c1 := 3v1+v2+2v3;
c2 := v1+v2+v3 und
c3 := v1+v2+2v3:
ii) Gilt die Aussage aus i) auch f¨ur K = Z2 und K = Z3? (Dabei müssen Sie die Koeffizienten
modulo 2 bzw. 3 betrachten.)
iii) Seien K = R und U = {c1;c3}. Bestimmen Sie eine Basis des Faktorraums V/U und
geben Sie die Dimension von V/U an. |
Hallo,
ich lerne momentan für meine anstehende Klausur, deswegen möchte ich vor der Klasur alles verstehen.
Nunja i) und ii) habe ich gelöst, die Aufgabenteile waren ziemlich leicht zu lösen.
Nur iii) das mit den Faktorräumen verstehe ich nicht. Ich habe überall im INternet recherchiert und nichts hilfreiches gefunden. In der Vorlesung habe wir das leider auch nur ganz kurz angesprochen, weshalb ich überhaupt nicht weiß wie ich vorangehen muss. Ich verstehe nicht mal den Unterschied zwischen Faktorraum und Vektorraum :(
Wie kommt man auf die Basis???
Und wie berechnet man die Dimension??
Recht herzlichen Dank :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
obwohl es i.a. als ungünstig angesehen wird, sich in der Linearen Algebra zu sehr der Anschauung hinzugeben, so hilft dir vielleicht doch der folgende Tipp, die Aufgabe zu verstehen:
Im [mm] \IR^3 [/mm] ist jede Ebene, die den Ursprung enthält, ein 2-dimensionaler Unterraum. Eine solche Ebene bildet zusammen mit allen zu ihr parallelen Ebenen einen Faktorraum. Wie viele Elemente benötigst du, um eine solche Ebene per Vektor zu verschieben, um dich also durch diesen Faktorraum zu bewegen? Die Antwort auf diese Frage liefert dir die Dimension des hier gesuchten Faktorraums, und damit sollte es auch leicht sein, eine Basis desselaben anzugeben.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 19.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hallo,
ich habe jetzt Dimension ausgerechnet das war nicht kompliziert, die Dimension von V/U ist 1. Da habe ich einfach Die Dimension von V-U gerechnet, also 3-2=1.
Trotzdessen komme ich nicht auf die Basis. Ich habe ja zwei "Räume" gegeben. Wie soll ich dabei auf die Basis kommen :(
Und ist das was ich oben über die Dimension gesagt habe, überhaupt richtig???
LG
Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 So 19.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Kann mir denn niemand dabei weiterhelfen?? Die Aufgabenstellung habe ich gepostet und die Dimension auch ausgerechnet, nur auf die Basis komme ich nicht..
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 So 19.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich habe jetzt Dimension ausgerechnet das war nicht
> kompliziert, die Dimension von V/U ist 1. Da habe ich
> einfach Die Dimension von V-U gerechnet, also 3-2=1.
>
> Trotzdessen komme ich nicht auf die Basis. Ich habe ja zwei
> "Räume" gegeben.
was meinst Du damit? Du hast doch den Faktorraum gegeben, von dem Du eine Basis suchst, oder?
> Wie soll ich dabei auf die Basis kommen
> :(
Wenn ich Diophants anschauliche Erklärung richtig verstehe, brauchst Du doch nur einen Vektor, "der aus der durch den Ursprung gegebenen Ebene herausguckt". D.h. wenn Du zwei Spannvektoren einer Ebene hast, würde sicher der
Vektor=Ergebnis des Kreuzprodukts zweier Spannvektoren
ein Vektor sein, der zu diesen linear unabhängig ist - also "aus der Ebene herausguckt".
> Und ist das was ich oben über die Dimension gesagt habe,
> überhaupt richtig???
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 19.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hallo,
ich Danke dir erstmal für die Antwort. Ich habe die Aufgabenstellung ja schon gepostet und in der Aufgabe ist eine Basis des Faktorraums V/U gesucht. V und U habe ich getrennt gegeben.
Aber hier steht ja V/U und deswegen weiß ich nicht wie ich weiterarbeiten muss.
In der Vorlesung haben wir gesagt, dass V/U ={v+u I v € V} ist und das dies die Menge aller Nebenklassen von U in V sind. Nur ich kann das nicht anwenden. Und mit zwei meinte V und U.
Ich glaube ich frage heute etwas zu viel, aber ich will das richtig verstehen und am Anfang ist es immer schwierig bisschen mathematisch zu denken(Das wurde mir so gesagt). :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 So 19.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo chara,
> Hallo,
> ich Danke dir erstmal für die Antwort. Ich habe die
> Aufgabenstellung ja schon gepostet und in der Aufgabe ist
> eine Basis des Faktorraums V/U gesucht. V und U habe ich
> getrennt gegeben.
> Aber hier steht ja V/U und deswegen weiß ich nicht wie ich
> weiterarbeiten muss.
>
> In der Vorlesung haben wir gesagt, dass V/U ={v+u I v €
> V}
nein, das stimmt nicht ganz:
[mm] $$V/U=\{v+\red{U}| v \in V\}\,,$$
[/mm]
wobei
[mm] $$v+U:=\{\underbrace{v+u}_{\in V}| u \in U\}\,.$$
[/mm]
Also könnte man auch schreiben
[mm] $$V/U=\{\{v+u: u \in U\}|v \in V\}\,.$$
[/mm]
$V/U$ ist also "eine Familie von Teilmengen aus [mm] $V\,.$"
[/mm]
> ist und das dies die Menge aller Nebenklassen von U in V
> sind. Nur ich kann das nicht anwenden. Und mit zwei meinte
> V und U.
Mach' Dir erstmal klar, was $U+U'$ für Unterräume $U,U' [mm] \subseteq [/mm] V$ ist, wobei [mm] $V\,$ [/mm] Vektorraum.
> Ich glaube ich frage heute etwas zu viel, aber ich will das
> richtig verstehen und am Anfang ist es immer schwierig
> bisschen mathematisch zu denken(Das wurde mir so gesagt).
> :)
Ja, das ist Gewöhnungssache. Aber ich halt mich nun mal ein wenig an Diophants "anschaulische" Vorgehensweise:
Wenn Du einen Unterraum $U [mm] \subseteq \IR^3$ [/mm] der Dimension 2 hast, so ist das eine Ursprungsebene. Aus der Schule ist bekannt, dass man [mm] $U\,$ [/mm] in der Form
[mm] $$U=\{p*y+q*z: p,q \in \IR\}$$
[/mm]
schreiben kann, wobei [mm] $y=(y_1,y_2,y_3)^T$ [/mm] und [mm] $z=(z_1,z_2,z_3)^T$ [/mm] Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] sind, die in [mm] $U\,$ [/mm] liegen und linear unabhängig sind.
Vorstellen kannst Du Dir nun $V/U$ als "Ansammlung aller zu [mm] $U\,$ [/mm] parallelen Ebenen". Wie kann man nun, wenn [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] zwei disjunkte Ebenen sind, die zu [mm] $U\,$ [/mm] parallel sind, mithilfe von [mm] $U_1$ [/mm] dann [mm] $U_2$ [/mm] beschreiben? Man braucht wenigstens einen "Hilfsvektor", der auch nicht in [mm] $U\,$ [/mm] liegt. Daher wäre es naheliegend (nicht zwingend notwendig!), einfach mal $w:=y [mm] \times [/mm] z$ zu berechnen - denn (aus der Schule) bekannt ist, dass dann [mm] $\{y,z,w\}$ [/mm] eine linear unabhängige Teilmenge aus [mm] $V=\IR^3$ [/mm] ist.
Damit ist [mm] $\{w\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $V/U\,.$
[/mm]
Banales Beispiel :
Für [mm] $V=\IR^3$ [/mm] ist [mm] $U=\{p*(1,0,0)^T+q*(0,1,0)^T: p,q \in \IR\}$ [/mm] ein zweidimensionaler Unterraum - es ist "die [mm] $xy\,$-Ebene\," [/mm] mit (möglicher) Basis [mm] $\{e_1:=(1,0,0)^T,\;e_2:=(0,1,0)^T\}\,.$ [/mm]
Berechne ich
[mm] $$e_1 \times e_2=\vektor{1\\0\\0}\times \vektor{0\\1\\0}\,,$$
[/mm]
so sehe ich, dass also mit
[mm] $$e_3:=\vektor{0\\0\\1}$$
[/mm]
dann [mm] $\{e_3\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $V/U\,$ [/mm] ist.
Beachte aber:
Diese "einfache" Vorgehensweise hier klappt, denke ich, so erstmal wirklich nur für den [mm] $\IR^3$ [/mm] und weil der Unterraum eine Ursprungsebene ist. Wäre [mm] $U\,$ [/mm] Ursprungsgerade, so musst Du erst einen Vektor finden, der zum Richtungsvektor der Geraden linear unabhängig ist und dann kannst Du wieder mit dem Kreuzprodukt arbeiten.
Insgesamt sollte das ganze auch, denke ich, wegen der Struktur des [mm] $\IR^3$ [/mm] mit [mm] $U\,$ [/mm] und dem orthogonalen Komplement [mm] $U^\perp$ [/mm] zu tun haben - also schau' vielleicht mal in Deiner Vorlesung, was Du zu dem orthogonalen Komplement eines URs findest und was das dann mit [mm] $V/U\,$ [/mm] zu tun hat - da gibt es sicher Zusammenhänge (die ich mir jetzt auch überlegen oder nachlesen müßte, was aber gar nicht so schwer ist).
Aber ganz allgemein kann es auch sein und wird, denke ich, auch so sein, dass man generell für eine Basis von [mm] $V/U\,$ [/mm] zu konstruieren nur eine Basis von [mm] $U\,$ [/mm] braucht und dann mit diesem und dem Basisergänzungssatz eine Basis von [mm] $V\,$ [/mm] konstruiert, und dann kann man eine Basis von [mm] $V/U\,$ [/mm] angeben. Das Thema habe ich aber gerade nicht komplett im Kopf - also lieber nochmal nachlesen oder Dir hier bestätigen lassen, dass ich keinen Unsinn erzähle - bzw. warte darauf, dass mich ggf. noch jemand korrigiert oder sagt: "Das ist so schon okay!"
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 So 19.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hallo Marcel,
ok ich werde gleich mal nachschauen, ob ich noch Zusammenhänge dazu finde und versuche dann anschließend die Aufgabe zu lösen. Aber erstmal vielen Dank für deine gut erklärte Antwort.
Falls ich doch noch Probleme habe, kann ich mich ja bei dir melden. : )
Wünsche dir noch was.
LG
Nadine
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