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| Aufgabe | Wo benutzt man bei der Bildung eines Quotientenringes R/I, dass I nicht nur ein Unterring (eventuell ohne 1) sondern ein idesl ist?
(1) Bei der Definition der Menge R/I.
(2) Bei der Definition der Addition in R/I.
(3) Bei der Definition der Multiplikation in R/I. |
Hallo,
ich bin mir bei meinen Überlegungen nicht ganz sicher und bitte um Anmerkungen.
Also ein Unterring bildet ja mit seinen Verknüpfungen wieder einen Ring, muss aber nicht unbedingt die 1 enthalten. Außerdem ist die Multiplikation bloß innerhalb des Unterringes definiert, nicht allgemein mit allen Elementen aus dem Ring.
Wohingegn die Multiplikation für Elemente mit Idealen allgemein mit Elementen aus dem Ring funktioniert.
(1) Hierbei würde ich sagen, dass es wir die Eigenschaft des ideals verwenden, weil der Kern eines Homomorphismus ein Ideal ist aber nicht unbedingt ein Unterring sein muss. Und von daher müsste man hier die Eigenschaft des Idesl nutzen.
(2) Hierbei macht es meiner Meinung nach auch keine Unterschied, weil die Definition des Faktorrings, wie für abelsche Gruppen definiert ist, d.h. sie ist additiv abgeschlossen und dies ist sowohl bei Unterringen als auch bei idealen der Fall.
(3) Hier würde ich sagen, dass man nutzt das I ein Ideal ist, weil die Multipliaktion allgemein für alle elemente des Ringes definiert wird und nicht nur für die Elemente die im Unterring enthalten sind.
Liege ich mit meinen Überlegungen richtig?..ich wäre über ein Feedback sehr dankbar...
LG Schmetterfee
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ich habe weiter an der aufgabe überlegt, habe auch mit vielen Kommillitonen gerdet und die mein nur 3 aber müsste es nicht auch 1 sein?..weil die Menge brauch doch auch ein neutrales Element der Multiplikation oder?
bin mir nur nicht sicher ob das jetzt ein Argument nur für 3 ist oder ob das auch für 1 reicht...
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Do 06.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich habe weiter an der aufgabe überlegt, habe auch mit
> vielen Komunitonen
Ich kenne nur Kommilitonen. Woher stammt das Wort?
> gerdet und die mein nur 3 aber müsste
> es nicht auch 1 sein?..
Recht haben sie aber!
> weil die Menge brauch doch auch ein
> neutrales Element der Multiplikation oder?
Braucht sie (natürlich, steht schon in der Aufgabe!) nicht.
> bin mir nur nicht sicher ob das jetzt ein Argument nur
> für 3 ist oder ob das auch für 1 reicht...
Schreibe für jeden Schritt mal die Definiton hin und was du verwendet hast für Def. im 1., 2., 3. Schritt.
SEcki
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> > bin mir nur nicht sicher ob das jetzt ein Argument nur
> > für 3 ist oder ob das auch für 1 reicht...
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> Schreibe für jeden Schritt mal die Definiton hin und was
> du verwendet hast für Def. im 1., 2., 3. Schritt.
>
bei (1) ist ja R/I={a+I|a [mm] \ir [/mm] R} dabrauch ich also nicht das es ein Ideal ist sondern da würde es schon reichen das es ein Unterraum sprich Unterring ist
(2) (a+I)+(b+I)=(a+b)+I
Da reicht es auch das es sich um ein Untering handelt denn der bildet ja auch mit der Addition wieder ein Ring.
(3) (a+I)*(b+I)=a*b+I
Hier brauch ich die Eigenschaft das es ein Ideal ist, weil der Unterring nur für die Multiplikation abgeschlossen wäre wenn a und b aus dem Unterring kommen würden. Aber erst die Idealeigenschaft ermöglicht es, dass a*b wieder in I liegen
ist das soweit richtig?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Do 06.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hier brauch ich die Eigenschaft das es ein Ideal ist, weil
> der Unterring nur für die Multiplikation abgeschlossen
> wäre wenn a und b aus dem Unterring kommen würden. Aber
> erst die Idealeigenschaft ermöglicht es, dass a*b wieder
> in I liegen
Das tun sie nicht. Aber wenn [m][a]=[a'],[b]=[b'][/m], dann folgt [m][a*b]=[a'*b'][/m]. Es geht nur 3 die Idealeigenschaft ein, um die Unabh. vom Repräsentanten zu zeigen.
SEcki
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danke für die Erklärung das werd ich mir nochmal klar machen.
LG Schmetterfee
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