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| Aufgabe | Hallo habe eine Frage:
Stimmt's, dass 1 / n! = e ist?
Stimmt's dass [mm] (\bruch{(n+1)}{n})^n [/mm] und dass der Kehrwert davon 1 / e ist? |
Danke...
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Hallo Doc,
> Hallo habe eine Frage:
> Stimmt's, dass 1 / n! = e ist?
Nein, die Exponentialreihe ist definiert als [mm] $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
[/mm]
Also [mm] $e^1=e=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$
[/mm]
> Stimmt's dass [mm](\bruch{(n+1)}{n})^n[/mm] und dass der Kehrwert
> davon 1 / e ist?
Das ist eine alternative Definition der eulerschen Zahl, also Grenzwert der Folge [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Also [mm] $e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Allg. [mm] $e^{\red{x}}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\red{x}}{n}\right)^n$
[/mm]
Also: [mm] $\frac{1}{e}=e^{-1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{-1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Bedenke, dass dein Ausdruck [mm] $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] ist, also für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen $e$ strebt
> Danke...
LG
schachuzipus
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