Falluntersch./pos. Definitheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo Matheraum!
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Sei q die quadratische Form des [mm] \IR^{3} [/mm] definiert durch
[mm] q(y_{1},y_{2},y_{3})=2ty_{3}y_{2}+2y_{3}y_{1}+(y_{1})^{2}+(y_{2})^{2}+(y_{3})^{2}
[/mm]
Für welche t [mm] \in \IR [/mm] ist q positiv definit.
Ich habes zuerst versucht, in dem ich die Matrix aufgestellt habe und das charakteristische Polynom gesucht habe um die t zu finden für die es nur positive Eigenwerte gibt. Dann hab ich allerdings ein Polynom dritten Gerades und noch ein t dazwischen.
Das hielt ich für so schnell nicht lösbar und hab mich statt dessen an der quadratischen Ergänzung versucht.
Aus dem oben genannten Ausdruck habe ich nach einigen Umformungen folgendes erhalten:
[mm] (y_{1})^{2}+(y_{1}+y_{3})^2+(y_{2})^{2}+(t+y_{2}y_{3})^2-(y_{2}y_{3})^{2}-t^{2}
[/mm]
Aber was nun? Jetzt wäre es doch an der Zeit für eine Fallunterscheidung, oder?! t=0 ist recht einfach, aber für alle anderen t ist doch auch immer von Belang wie groß das jeweilige y ist, oder?
Wär schön wenn sich damit heut noch jemand befassen könnte, ich schreib nämlich schon morgen die Klausur :/
Schönen Dank,
Olek
Ps: Ich wollte diesen Artikell eigentlich"Frage" nennen, so wie vorgeschlagen. Dann erhalte ich llerdings volgende Meldung:
Der Betreff besteht aus einem der drei Wörter "Frage", "Antwort" bzw. "Mitteilung". Diese werde vom System automatisch angebenen und können daher weggelassen werden.
Widerspruch zu:
Worum geht es in diesem Artikel?
z.B. "Frage", "Aufgabe 1", "Rückfrage", "Idee"
*g*
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Olek |
So, jetzt hab ich auch das Prog. Ghostscript auf meinem rechner :)
Kann es sein dass sich meine Aufgabe mit Bsp. 15 lösen ließe? Ich hab den Vorgang allerdings noch nicht ganz begriffen. Wes wegen werden die Spalten zu erst mit ein Drittel suptrahiert, und danach mit ein Siebtel?
Gruß, Olek
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Olek |
Kannst du mir vielleicht sagen wie ich bei dem Programm ne Seite zurück komme? Vorwärts mit Enter - aber zurück?!
Gruß, Olek
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Olek!
Ja, das ist etwas seltsam. 
Berechne einfach:
[mm] $\det(a_{11}) [/mm] = [mm] a_{11}$,
[/mm]
[mm] $\det \pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} [/mm] = [mm] a_{11} \cdot a_{22} [/mm] - [mm] a_{12} \cdot a_{21}$
[/mm]
[mm] $\det \pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}} [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
und schaue, wann alle drei Determinanten positiv sind (genau dann ist -bei einer symmetrischen Matrix wie hier- die Matrix positiv definit).
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Olek |
Das klingt ja super einfach - wenn ich mir ansehe was ich alles versucht hatte.
[mm] det_{1}=1
[/mm]
[mm] det_{2}=3
[/mm]
[mm] det_{3}=2-3t^{2}
[/mm]
Das heißt, q ist für alle t zwischen [mm] -\wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] und [mm] +\wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] positiv definit.
Korrekt? Für alle anderen t ist q indefinit, oder wie bezeichne ich das dann?
In Beispiel 17 steht dann noch was von Nebenminoren, wann brauche ich das?
Und dann noch zu guter letzt: Ich bin mir ziemlich sicher dass wir das nie in der Vorlesung hatten. Darf ich das dann in der Klausur trotzdem benutzen? Is ja eigentlich der einfachste Lösungsweg, oder?!
Vielen Dank für eure Hilfe,
Olek
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Olek!
Nein, das Ergebnis stimmt nicht. Ich frage mich auch gerade, wie du auf diese Minoren kommst.
Kannst du bitte mal die Matrix angeben und beschreiben, wie du auf sie gekommen bist? Ich vermute, dass dort der Fehler liegt.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Olek |
Das ist aber schade ;)
Hier meine Matrix:
[mm] \pmat{ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & t \\ 1 & t &1}
[/mm]
Die erste Determinante ist dann 3 (ups, sehe gerade dass ich in der Antwort vorhin 1 geschrieben habe - vermutlich ein Tippfehler), die zweite ebenfalls 3.
Und die letzte mit [mm] 3-(1+3t^{2}) [/mm] ergibt [mm] t=-\wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] und [mm] t=+\wurzel{\bruch{3}{2}}.
[/mm]
Was ist denn falsch? Nur das erste, dann wärs ja nicht so wild. Oder meine Aussage über t?
LG Olek
|
|
|
| |
|
hallo also du hast $ [mm] q(y_{1},y_{2},y_{3})=2ty_{3}y_{2}+2y_{3}y_{1}+(y_{1})^{2}+(y_{2})^{2}+(y_{3})^{2} [/mm] $
und dann sagste die Matrix A' = $ [mm] \pmat{ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & t \\ 1 & t &1} [/mm] $ ich glaube die is falsch
warum nicht A = $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & t \\ 1 & t &1} [/mm] $ ?
[mm] y^{t}*A*y [/mm] = [mm] 2ty_{3}y_{2}+2y_{3}y_{1}+(y_{1})^{2}+(y_{2})^{2}+(y_{3})^{2} [/mm] wobei y = [mm] \vektor{y_{1}\\ y_{2} \\ y_{3}} [/mm] ist
dann bekommste [mm] det(A_{1})=1 [/mm] , [mm] det(A_{2})=1 [/mm] und [mm] det(A_{3})= [/mm] - [mm] t^{2} [/mm]
=> [mm] t^{2} [/mm] = 0 => t = 0
mfg epikur
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:29 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Olek |
Hi Leute,
das ist mir jetzt sehr unangenehm. Weil ich so mit dem Formeleditor beschäftig war hab ich ganz hinten die 3 vergessen hinzuschreiben.
Meine Matrix ist also richtig so wie sie da steht, mein Ergebnis wollte ich jetzt mal einfach durch Probe testen, das müsste ja gehen. Wenn ihr mir noch sagen könnt obs so ok ist wie ichs gemacht hab würd mich das auch freuen.
Vielen Dank, Olek
Hab gerade festgestellt dass ich bei meinem Ergebnis auch den Bruch vertauscht habe. Unter der Wurzel muß 2/3 stehen, nicht 3/2.
Ich glaube dann ist auch alles richtig!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Sa 01.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Olek!
Ich verstehe leider nicht mehr, wie genau die Aufgabenstellung eigentlich richtig lautet, wo die $3$ plötzlich herkommt usw.
Insofern fällt es mir leider schwer die Aufgabe zu kontrollieren. Wenn du daran noch Interesse hast, müsstest du bitte die Aufgabenstellung und deine Lösung noch einmal komplett neu und richtig aufschreiben.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Fr 30.09.2005 | | Autor: | taura |
Keine Sorge, du darfst es verwenden, es kam in der VL vor viel Glück für Morgen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Olek |
na so was
kannst du mir sagen auf welcher seite im skipt?
vielen dank, olek
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Fr 30.09.2005 | | Autor: | taura |
Die Definition der Hauptminors ist auf Seite 52 und der darauf bezogene Satz aus Seite 53
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Fr 30.09.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Olek!
Ich hab die Aufgabe doch mal mit quadratischer Ergänzung gerechnet, komm aber auf ein anderes Ergebnis als du!
[mm](y_1+y_3)^2+(y_2+ty_3)^2-t^2y_3^2[/mm]
Du musst bei der quadratischen Ergänzung immer drauf achten, dass du hinterher nicht mehr Variablen als vorher hast, sprich in diesem Fall nur 3! Nach der Ergänzung dürfen also nur drei quadratische Terme vorkommen.
Ich hoffe ich konnte dir damit weiterhelfen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:35 Di 04.10.2005 | | Autor: | statler |
Hallo und guten Morgen!
> Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
>
> Sei q die quadratische Form des [mm]\IR^{3}[/mm] definiert durch
>
> [mm]q(y_{1},y_{2},y_{3})=2ty_{3}y_{2}+2y_{3}y_{1}+(y_{1})^{2}+(y_{2})^{2}+(y_{3})^{2}[/mm]
> Für welche t [mm]\in \IR[/mm] ist q positiv definit.
>
Nach viel Theorie (in den anderen Beiträgen) mal ein Beispiel:
Es ist doch q(1,0,0) = q(0,1,0) = 1 und
q(-1,-t,1) = [mm] -t^{2} [/mm] , woraus alles über die Definitheit folgt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
