Falsche Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Sa 01.11.2008 | | Autor: | simple |
| Aufgabe | für n [mm] \in \IN [/mm] behaupten wir folgende Aussage A(n):
Wenn sich unter n Tieren ein Elefant befindet,
dann sind alle Elefanten.
Wir führen einen Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsbeginn: Wenn in einer Menge von n=1 Tieren eines ein Elefant ist, dann sind alle Elefanten
Induktionsschritt von n auf n+1 : Es sei unter n+1 eines ein Elefant.
Wir stellen die Tiere in eine Reihe und betrachten jeweils die ersten und die letzten n Tiere.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei der Elefant unter den ersten n Tieren.
Nach Induktionsvoraussetzung sind dann die ersten n Tiere sämtliche Elefanten.
Dann befindet sich aber auch unter den letzten n Tieren ein Elefant.
Wieder folgt nach Induktionsvoraussetzung, dass auch die letzten n Tiere sämtliche Elefanten sind. Somit sind alle n+1 Tiere Elefanten.
Wo liegt genau der fehler? |
hi =)
kann mir vielleicht jemand helfen den Fehler zufinden?
einen Ansatz oder eine Idee wäre hilfreich
liebe grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> für n [mm]\in \IN[/mm] behaupten wir folgende Aussage A(n):
>
> Wenn sich unter n Tieren ein Elefant befindet,
> dann sind alle Elefanten.
>
> Wir führen einen Beweis durch vollständige Induktion:
>
> Induktionsbeginn: Wenn in einer Menge von n=1 Tieren eines
> ein Elefant ist, dann sind alle Elefanten
>
> Induktionsschritt von n auf n+1 : Es sei unter n+1 eines
> ein Elefant.
> Wir stellen die Tiere in eine Reihe und betrachten jeweils
> die ersten und die letzten n Tiere.
> Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei der Elefant unter
> den ersten n Tieren.
> Nach Induktionsvoraussetzung sind dann die ersten n Tiere
> sämtliche Elefanten.
> Dann befindet sich aber auch unter den letzten n Tieren
> ein Elefant.
> Wieder folgt nach Induktionsvoraussetzung, dass auch die
> letzten n Tiere sämtliche Elefanten sind. Somit sind alle
> n+1 Tiere Elefanten.
überlege Dir mal folgendes:
Es ist hier im Induktionsschritt ja wichtig, dass eines der ersten [mm] $\black{n}$ [/mm] Tiere auch stets unter den letzten [mm] $\black{n}$ [/mm] Tieren ist. (Das soll der Elefant sein.)
Und nun nehmen wir mal an, wir haben [mm] $\black{2}=n+1$ [/mm] Tiere (also [mm] $n=\black{1}$ [/mm] und [mm] $\black{n+1}=2$). [/mm] Eines von diesen Tieren ist ein Elefant. Wir wollen zeigen, dass auch das zweite ein Elefant ist. Wir betrachten dazu die ersten [mm] $\black{n}$ [/mm] Tiere, also das erste, und die letzten [mm] $\black{n}$ [/mm] Tiere, also das zweite. Unter den ersten [mm] $\black{n}$ [/mm] Tieren ist ein Elefant. Aber wir können nun nicht, wie im Induktionsschritt oben getan wird, daraus schließen, dass auch unter den letzten [mm] $\black{n}$, [/mm] denn davon gibt es ja nur eines, ein Elefant ist.
Diese Argumentation greift nicht immer bzw. sie geht schon sofort am Anfang kaputt. Bei [mm] $\black{n+1=2}$ [/mm] Tieren ist die Zerlegung in die ersten [mm] $\black{n=1}$ [/mm] und letzten [mm] $\black{n=1}$ [/mm] Tiere eine "disjunkte" Zerlegung.
Mit anderen Worten (mit $0 [mm] \notin \IN$):
[/mm]
Bei obiger Argumentation im Induktionsschritt bräuchte man so etwas, wie, dass die Schnittmenge [mm] $\{k \in \IN:\;k\le n\} \cap \{p \in \IN: \; 2 \le p \le n+1\}$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] nichtleer sein müßte. Im Falle [mm] $n=\black{1}$ [/mm] geht das aber schon schief.
Gruß,
Marcel
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