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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Do 07.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
So, hallo nochmal!
Ein paar kleine Fragen bzw. Aufgaben habe ich noch...
In der Klausur war gegeben:
Sei
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [0,1] \\ 0, & \mbox{für } x\notin [0,1] \end{cases}
[/mm]
die Indikatorfunktion des Intervalls [0,1].
Aufgabe a war nun:
Berechnen Sie die Faltung [mm] h(x)=(f\*f)(x).
[/mm]
Wie macht man das denn? Ich hatte mir überlegt, dass ich da wohl irgendwie eine Fallunterscheidung machen muss, aber ich hab's nicht so wirklich auf die Reihe bekommen.
Wäre schön, wenn mir hier möglichst schnell noch jemand helfen könnte.
Und der letzte Teil war dann:
Berechnen Sie die Fourier-Transformierte [mm] \hat{h}(\xi).
[/mm]
Gibt es da irgendeine Regel, wie man die Fourier-Transformierte von einer Faltung berechnen kann oder muss man einfach die Fourier-Transformierte von dem, was man bei a berechnet hat, berechnen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Do 07.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich hoffe ich verrechne mich jetzt nicht...
Also, es gilt für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2$:
$(f [mm] \* [/mm] f)(x)$
$= [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(x-y) [mm] \cdot f(y)\, [/mm] dy$
$= [mm] \int\limits_0^1 1_{\{0 \le x-y \le 1\}}\, [/mm] dy$
$= [mm] \int\limits_0^1 1_{\{x-1 \le y \le x\}}\, [/mm] dy$
$= [mm] \int\limits_{\max\{x-1,0\}}^{\min\{x,1\}} 1\, [/mm] dy$
$= [mm] \min\{x,1\} [/mm] - [mm] \max\{x-1,0\}$
[/mm]
$= [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 2-x & , & \mbox{wenn} \quad 2 \ge x \ge 1,\\[5pt] x & , & \mbox{wenn} \quad 0 \le x<1, \\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst}. \end{array} \right.$.
[/mm]
Aber bitte unbedingt nachrechnen!
Die Fourier-Transformation von $h$, also von der Faltung von $f$ mit sich selbst, ist einfach das Quadrat der Fourier-Transformierten von $f$.
Man könnte sie auch direkt berechnen, aber so erscheint es mir einfacher. 
Allgemein gilt:
[mm] $\hat{f \*g} [/mm] = [mm] \hat{f} \cdot \hat{g}$.
[/mm]
Rechne also die Fourier-Transformierte von $f$ aus (das solltest du zur Übung mal selber tun, musst du ja morgen auch können) und quadriere sie dann.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Do 07.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo Christiane,
Das Ergebnis von Stefan gilt natürlich nur für [mm] $0\le x\le [/mm] 2$. Sonst ist es 0.
Alles Gute
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:54 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Peter!
Danke für den Hinweis, ich war zu faul dazu, weil ich dachte es sei eh klar. Aber ich gebe zu, dass es sicherlich Christiane verwirrt hat. Daher verbessere ich es mal besser.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Do 07.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke für die schnelle Antwort!
> Ich hoffe ich verrechne mich jetzt nicht...
>
> Also, es gilt:
>
> [mm](f \* f)(x)[/mm]
>
> [mm]= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x-y) \cdot f(y)\, dy[/mm]
>
> [mm]= \int\limits_0^1 1_{\{0 \le x-y \le 1\}}\, dy[/mm]
Das ist doch, weil f(y) nur 1 wird, falls y zwischen 0 und 1, also kann ich das als Integrationsgrenzen einsetzen, oder?
> [mm]= \int\limits_0^1 1_{\{x-1 \le y \le x\}}\, dy[/mm]
Diesen Schritt hier verstehe ich irgendwie nicht... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> [mm]= \int\limits_{\max\{x-1,0\}}^{\min\{x,1\}} 1\, dy[/mm]
Das kann ich mir zwar vorstellen, aber mathematisch verstehe ich das noch nicht so ganz...
> [mm]= \min\{x,1\} - \max\{x-1,0\}[/mm]
>
> [mm]= \left\{ \begin{array}{ccc} 2-x & , & \mbox{wenn} \quad x \ge 1,\\[5pt] x & , & \mbox{wenn} \quad x<1, \end{array} \right.[/mm].
>
> Aber bitte unbedingt nachrechnen!
Ich glaub', das kommt ansonsten hin. Ein anderer hatte vorhin das Gleiche raus, ich hatte nur den Weg nicht so ganz verstanden...
> Die Fourier-Transformation von [mm]h[/mm], also von der Faltung von
> [mm]f[/mm] mit sich selbst, ist einfach das Quadrat der
> Fourier-Transformierten von [mm]f[/mm].
>
> Man könnte sie auch direkt berechnen, aber so erscheint es
> mir einfacher.
>
> Allgemein gilt:
>
> [mm]\hat{f \*g} = \hat{f} \cdot \hat{g}[/mm].
Bist du sicher? Also ich habe hier gefunden:
[mm] \hat{f \*g} =(2\pi)^{\bruch{n}{2}} \hat{f} \cdot \hat{g}
[/mm]
> Rechne also die Fourier-Transformierte von [mm]f[/mm] aus (das
> solltest du zur Übung mal selber tun, musst du ja morgen
> auch können) und quadriere sie dann.
Das habe ich getan (hatte ich vorhin auch schon mal, und die anderen hatten es auch raus ):
[mm] \hat{f}(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}*\bruch{1}{ix}(-e^{-x}+1)
[/mm]
Und das Ganze dann noch quadrieren, das schaffe ich dann wohl auch noch.
Viele Grüße
Christiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:53 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Das ist
> doch, weil f(y) nur 1 wird, falls y zwischen 0 und 1, also
> kann ich das als Integrationsgrenzen einsetzen, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > [mm]= \int\limits_0^1 1_{\{x-1 \le y \le x\}}\, dy[/mm]
> Diesen
> Schritt hier verstehe ich irgendwie nicht...
Ich habe nur die Ungleichung umgestellt. Auf beiden Seiten $-x$ gerechnet und dann alles mal $-1$.
> > [mm]= \int\limits_{\max\{x-1,0\}}^{\min\{x,1\}} 1\, dy[/mm]
> Das
> kann ich mir zwar vorstellen, aber mathematisch verstehe
> ich das noch nicht so ganz...
Was verstehst du daran denn nicht? Ich habe doch das gleiche gemacht wie immer.
>
> > [mm]= \min\{x,1\} - \max\{x-1,0\}[/mm]
> >
> > [mm]= \left\{ \begin{array}{ccc} 2-x & , & \mbox{wenn} \quad x \ge 1,\\[5pt] x & , & \mbox{wenn} \quad x<1, \end{array} \right.[/mm].
>
> >
> > Aber bitte unbedingt nachrechnen!
> Ich glaub', das kommt ansonsten hin. Ein anderer hatte
> vorhin das Gleiche raus, ich hatte nur den Weg nicht so
> ganz verstanden...
> > Die Fourier-Transformation von [mm]h[/mm], also von der Faltung von
> > [mm]f[/mm] mit sich selbst, ist einfach das Quadrat der
> > Fourier-Transformierten von [mm]f[/mm].
> >
> > Man könnte sie auch direkt berechnen, aber so erscheint es
> > mir einfacher.
> >
> > Allgemein gilt:
> >
> > [mm]\hat{f \*g} = \hat{f} \cdot \hat{g}[/mm].
> Bist du sicher?
Ja, aber es hängt von der Definition der Fourier-Transformation ab. Ich erinnere mich, dass ihr die ja anders definiert hattet als ich sie kenne (und als sie etwa im Bauer steht). Insofern musst du die Formel aus der Vorlesung nehmen, klar.
> Also ich habe hier gefunden:
> [mm]\hat{f \*g} =(2\pi)^{\bruch{n}{2}} \hat{f} \cdot \hat{g}[/mm]
>
> > Rechne also die Fourier-Transformierte von [mm]f[/mm] aus (das
> > solltest du zur Übung mal selber tun, musst du ja morgen
> > auch können) und quadriere sie dann.
>
> Das habe ich getan (hatte ich vorhin auch schon mal, und
> die anderen hatten es auch raus ):
>
> [mm]\hat{f}(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}*\bruch{1}{ix}(-e^{-x}+1)[/mm]
>
> Und das Ganze dann noch quadrieren, das schaffe ich dann
> wohl auch noch.
Liebe Grüße
Stefan
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