Faltung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:15 So 06.12.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | | Sei f(x) die charakteristische Funktion des Intervalls [-1,1]. Berechne (f*f)(0),(f*f*f)(0),(f*f*f*f)(0) |
Also die erste Faltung habe ich noch hinbekommen. Ich erhielt
(f*f)(0) = max{0,2-|x|}
Doch wie kann ich jetzt diese Funktion mit f(x) erneut falten, damit ich die Deifachfaltung bzw. Vierfachfaltung erhalte??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 So 06.12.2009 | | Autor: | Sacha |
Bei der Faltung (f*f) kommt natürlich ein x als Argument, sodass gilt
(f*f)(0)=2
gilt
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Schreiben wir
[mm]f_1 = f, \ \ f_2 = f \star f, \ \ f_3 = f \star f \star f \ \ \text{usw.}[/mm]
Dann kann man [mm]f_2[/mm] auch so darstellen:
[mm]f_2 (x) = \frac{1}{2} \left| x+2 \right| + \frac{1}{2} \left| x-2 \right| - \left| x \right| \, , \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Dann kannst du rechnen:
[mm]f_3 (x) = \int_{-1}^1 f_2(x-t)~\mathrm{d} t = \int_{-1}^1 \left( \frac{1}{2} \left| t-x-2 \right| + \frac{1}{2} \left| t - x + 2 \right| - \left| t-x \right| \right)~\mathrm{d} t[/mm]
Wegen
[mm]\int \left| t - a \right|~\mathrm{d} t = \frac{1}{2} (t-a) \left| t-a \right|[/mm]
kann [mm]f_3[/mm] mittels Stammfunktionen berechnet werden. Ich habe
[mm]f_3(x) = \frac{1}{4}\left( x+3 \right) \left| x+3 \right| - \frac{1}{4}\left( x-3 \right) \left| x-3 \right| + \frac{3}{4} \left( x-1 \right) \left| x-1 \right| - \frac{3}{4} \left( x+1 \right) \left| x+1 \right| \, , \ x \in \mathbb{R}[/mm]
erhalten.
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