Faltung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Di 07.02.2012 | | Autor: | Glog |
| Aufgabe | f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] e^{-x} \Delta_{0,\infty}(x)
[/mm]
g: [mm] \IR \to \IR, [/mm] g(x) = x
[mm] \Delta_{0,\infty}(x) [/mm] steht für die charakteristische Funktion
Berechnen Sie die Faltung f*g |
Hallo zusammen
Für die Faltung müsste ich folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{0}^{x}{f(u)g(x-u) du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}{e^{-x} \Delta_{0,\infty}(u)*(x-u) du}
[/mm]
Ich verstehe jetzt aber nicht, wie ich die charakteristische Funktion "wegbekomme". Also [mm] \Delta_{0,\infty}(u) [/mm] ist 1, sofern u [mm] \in (0,\infty), [/mm] ansonsten ist sie =0. Ist die Funktion so oder so =0, da ich für u 0-x einsetze und mein [mm] \Delta [/mm] mit 0 und [mm] \infty [/mm] so oder so drin liegt? Was würde ich machen, wenn dies nicht der Fall wäre?
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]e^{-x} \Delta_{0,\infty}(x)[/mm]
> g: [mm]\IR \to \IR,[/mm]
> g(x) = x
>
> [mm]\Delta_{0,\infty}(x)[/mm] steht für die charakteristische
> Funktion
> Berechnen Sie die Faltung f*g
> Hallo zusammen
>
> Für die Faltung müsste ich folgendes Integral berechnen:
> [mm]\integral_{0}^{x}{f(u)g(x-u) du}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{x}{e^{-x} \Delta_{0,\infty}(u)*(x-u) du}[/mm]
>
ich verstehe nicht so ganz, wie du darauf kommst. wieso hängt das integrationsintervall von $x$ ab? Warum geht das integral nicht über ganz [mm] $\mathbb{R}$? [/mm] Eingeschränkt wird das integrationsintervall doch erst durch überlegungen bezüglich des trägers der charakteristischen funktion.
du musst dir überlegen, für welche werte von $u$ die charakteristische funktion unter dem integral gleich null wird.
gruss
matthias
> Ich verstehe jetzt aber nicht, wie ich die
> charakteristische Funktion "wegbekomme". Also
> [mm]\Delta_{0,\infty}(u)[/mm] ist 1, sofern u [mm]\in (0,\infty),[/mm]
> ansonsten ist sie =0. Ist die Funktion so oder so =0, da
> ich für u 0-x einsetze und mein [mm]\Delta[/mm] mit 0 und [mm]\infty[/mm] so
> oder so drin liegt? Was würde ich machen, wenn dies nicht
> der Fall wäre?
>
> Danke für eure Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 07.02.2012 | | Autor: | Glog |
Habe dies so in einem Formelbuch gefunden. Dieses x hat mich eben auch verwirrt, bei anderen Aufgaben wurden normalerweise die Integralsgrenzen mit der charakteristischen Funktion festgelegt.
Also für alle u [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] ist die charakteristische Funktion = 1.
Für alle u [mm] \in (-\infty [/mm] und 0) ist die charakteristische Funktion = 0.
D.h. die Integralsgrenzen wären dann 0 und [mm] \infty?
[/mm]
Wäre z.B. f: [mm] \IR \to \IR^{n} [/mm] definiert, dann wäre das Integral über [mm] \IR^{n}?
[/mm]
Ist es eigentlich egal, ob ich f(x-u)*g(u) oder f(u)*g(x-u) nehme?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Habe dies so in einem Formelbuch gefunden. Dieses x hat
> mich eben auch verwirrt, bei anderen Aufgaben wurden
> normalerweise die Integralsgrenzen mit der
> charakteristischen Funktion festgelegt.
>
> Also für alle u [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty)[/mm] ist die charakteristische
> Funktion = 1.
> Für alle u [mm]\in (-\infty[/mm] und 0) ist die charakteristische
> Funktion = 0.
>
> D.h. die Integralsgrenzen wären dann 0 und [mm]\infty?[/mm]
Allgemein:
$(f*g)(x) := [mm] \int_{\IR} f(u)g(x-u)\mathrm{d}u$
[/mm]
Jetzt sei g eben diese char. Funktion.
Wir halten x fest. Ist u [mm] \ge [/mm] x, so ist g(x-u)=0. Ist u<x, so ist g(x-u)=1.
Damit:
$(f*g)(x) = [mm] \int_{- \infty}^x f(u)\mathrm{d}u$
[/mm]
>
> Wäre z.B. f: [mm]\IR \to \IR^{n}[/mm] definiert, dann wäre das
> Integral über [mm]\IR^{n}?[/mm]
>
> Ist es eigentlich egal, ob ich f(x-u)*g(u) oder f(u)*g(x-u)
> nehme?
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Faltung_(Mathematik)
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 07.02.2012 | | Autor: | Glog |
> Allgemein:
>
> [mm](f*g)(x) := \int_{\IR} f(u)g(x-u)\mathrm{d}u[/mm]
>
> Jetzt sei g eben diese char. Funktion.
>
> Wir halten x fest. Ist u [mm]\ge[/mm] x, so ist g(x-u)=0. Ist u<x,
> so ist g(x-u)=1.
>
> Damit:
>
> [mm](f*g)(x) = \int_{- \infty}^x f(u)\mathrm{d}u[/mm]
Hab da noch ne kleine Verständnisfrage: Weshalb definierst du g als die charakteristische Funktion? In der Aufgabe gehört die charakteristische Funktion zu f und g(x)=x. Ist das egal bzw. kann ich die char. Fkt einfach so "hin und her" schieben oder bezieht sie sich gar auf g, weil sie eben gerade in f ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Allgemein:
> >
> > [mm](f*g)(x) := \int_{\IR} f(u)g(x-u)\mathrm{d}u[/mm]
> >
> > Jetzt sei g eben diese char. Funktion.
> >
> > Wir halten x fest. Ist u [mm]\ge[/mm] x, so ist g(x-u)=0. Ist u<x,
> > so ist g(x-u)=1.
> >
> > Damit:
> >
> > [mm](f*g)(x) = \int_{- \infty}^x f(u)\mathrm{d}u[/mm]
>
> Hab da noch ne kleine Verständnisfrage: Weshalb definierst
> du g als die charakteristische Funktion? In der Aufgabe
> gehört die charakteristische Funktion zu f und g(x)=x.
Ups, da hab ich mich vertan. Muß noch mal ran
FRED
> Ist
> das egal bzw. kann ich die char. Fkt einfach so "hin und
> her" schieben oder bezieht sie sich gar auf g, weil sie
> eben gerade in f ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Di 07.02.2012 | | Autor: | Glog |
Das wäre super, wenn du dir nochmals die Zeit nehmen könntest!
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Allgemein:
> >
> > [mm](f*g)(x) := \int_{\IR} f(u)g(x-u)\mathrm{d}u[/mm]
> >
> > Jetzt sei g eben diese char. Funktion.
> >
> > Wir halten x fest. Ist u [mm]\ge[/mm] x, so ist g(x-u)=0. Ist u<x,
> > so ist g(x-u)=1.
> >
> > Damit:
> >
> > [mm](f*g)(x) = \int_{- \infty}^x f(u)\mathrm{d}u[/mm]
>
> Hab da noch ne kleine Verständnisfrage: Weshalb definierst
> du g als die charakteristische Funktion? In der Aufgabe
> gehört die charakteristische Funktion zu f und g(x)=x. Ist
> das egal bzw. kann ich die char. Fkt einfach so "hin und
> her" schieben oder bezieht sie sich gar auf g, weil sie
> eben gerade in f ist?
welche funktion du f nennst und welche g, ist eigentlich egal, denn die faltung ist kommutativ. durch eine einfache integral-transformation kannst du [mm] $f\star [/mm] g$ in [mm] $g\star [/mm] f$ umformen.
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Glog |
Okay, so wie ich das jetzt verstanden habe, würde das folgendes heissen:
[mm] \integral_{\IR}^{}{f(u)g(x-u) du} [/mm] = [mm] \integral_{\IR}^{}{e^{-x} \Delta_{0,\infty}(u)\cdot{}(x-u) du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}(x-u)du}
[/mm]
Oder:
[mm] \integral_{\IR}^{}{f(x-u)g(u) du} [/mm] = [mm] \integral_{\IR}^{}{e^{-x+u} \Delta_{0,\infty}(x-u)\cdot{}(x) du} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{x}{e^{-x+u}(x)du}
[/mm]
Wenn ich die beiden Integrale berechne, dann gibt es aber nicht dasselbe. Welches der beiden ist korrekt (wenn überhaupt eines der beiden) und wieso bzw weshalb ist das andere falsch?
Lieber Grusse
Glog
|
|
|
| |
|
> Okay, so wie ich das jetzt verstanden habe, würde das
> folgendes heissen:
>
> [mm]\integral_{\IR}^{}{f(u)g(x-u) du}[/mm] =
> [mm]\integral_{\IR}^{}{e^{-x} \Delta_{0,\infty}(u)\cdot{}(x-u) du}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x}(x-u)du}[/mm]
>
> Oder:
>
> [mm]\integral_{\IR}^{}{f(x-u)g(u) du}[/mm] =
> [mm]\integral_{\IR}^{}{e^{-x+u} \Delta_{0,\infty}(x-u)\cdot{}(x) du}[/mm]
> = [mm]\integral_{-\infty}^{x}{e^{-x+u}(x)du}[/mm]
>
> Wenn ich die beiden Integrale berechne, dann gibt es aber
> nicht dasselbe. Welches der beiden ist korrekt (wenn
> überhaupt eines der beiden) und wieso bzw weshalb ist das
> andere falsch?
>
versuch mal [mm] $e^{-u}$ [/mm] im ersten integral....
> Lieber Grusse
> Glog
|
|
|
|
