Faltung 2er stetiger ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Mi 09.11.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
Ich habe zwei stetig verteile (unabhängige) Zufallsvariablen $ X [mm] \sim [/mm] U(0,1)$ und $Y [mm] \sim [/mm] U(0,1)$ die beide standardgleichverteilt sind.
Gesucht war die Dichte $ [mm] f_{X+Y}$, [/mm] die ich mit Hilfe der Faltung ermittelt habe. Nun kam eine von $S := X+Y $ unabhängige (stetige) ZV [mm] $X_3 \sim [/mm] U(0,1)$ hinzu und gesucht war die Dichte von $ [mm] X_3 [/mm] + S $
Ich weiß nur leider noch nicht, wie ich das genau anstelle. Der Weg zur Lösung wird ja vermutlich sein die bereits ermittelte Dichte $ [mm] f_{X+Y}$ [/mm] heranzuziehen und die gemeinsame Dichte von [mm] $f_{X+Y}=f_{S}$ [/mm] und $ [mm] f_{X_3}$ [/mm] gemäß der Faltung $ [mm] f_{S+X_3}$ [/mm] analog zum ersten Fall zu bestimmen.
Nun ist meine Frage aber, über welches Intervall ich dann genau integrieren muss bzw wie meine zugrundeliegende Fallunterscheidungen aussehen müssen. Ich hab' das Ganze noch nicht vollständig verinnerlicht.
Im ersten Fall schaue ich mir als Integrationsbereich ja den Schnitt von $ [mm] [0,1]\cap[x-1,x]$ [/mm] an und führe die Fallunterscheidung über $ x $ durch.
Dann ergibt sich
[mm] f_{X+Y} =\begin{cases}
0, & \text{für }x \le 0\\
x, & \text{für } x \in [0,1]\\
2-x, & \text{für } x \in [1,2]\\
0, & \text{für }2 \le x\\
\end{cases} [/mm]
Nur wie genau fahre ich nun beim zweiten Teil fort um $ [mm] f_{S+X_3}$ [/mm] korrekt anzugeben?
Ich hoffe ich konnte mein Problem nachvollziehbar darstellen.
LG
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mi 09.11.2016 | | Autor: | Omega91 |
Hallo ChopSuey,
> Hallo,
>
> Ich habe zwei stetig verteile (unabhängige)
> Zufallsvariablen [mm]X \sim U(0,1)[/mm] und [mm]Y \sim U(0,1)[/mm] die beide
> standardgleichverteilt sind.
>
> Gesucht war die Dichte [mm]f_{X+Y}[/mm], die ich mit Hilfe der
> Faltung ermittelt habe. Nun kam eine von [mm]S := X+Y[/mm]
> unabhängige (stetige) ZV [mm]X_3 \sim U(0,1)[/mm] hinzu und gesucht
> war die Dichte von [mm]X_3 + S[/mm]
>
> Ich weiß nur leider noch nicht, wie ich das genau
> anstelle. Der Weg zur Lösung wird ja vermutlich sein die
> bereits ermittelte Dichte [mm]f_{X+Y}[/mm] heranzuziehen und die
> gemeinsame Dichte von [mm]f_{X+Y}=f_{S}[/mm] und [mm]f_{X_3}[/mm] gemäß der
> Faltung [mm]f_{S+X_3}[/mm] analog zum ersten Fall zu bestimmen.
>
> Nun ist meine Frage aber, über welches Intervall ich dann
> genau integrieren muss bzw wie meine zugrundeliegende
> Fallunterscheidungen aussehen müssen. Ich hab' das Ganze
> noch nicht vollständig verinnerlicht.
>
> Im ersten Fall schaue ich mir als Integrationsbereich ja
> den Schnitt von [mm][0,1]\cap[x-1,x][/mm] an und führe die
> Fallunterscheidung über [mm]x[/mm] durch.
>
> Dann ergibt sich
>
> [mm]f_{X+Y} =\begin{cases}
0, & \text{für }x \le 0\\
x, & \text{für } x \in [0,1]\\
2-x, & \text{für } x \in [1,2]\\
0, & \text{für }2 \le x\\
\end{cases}[/mm]
>
> Nur wie genau fahre ich nun beim zweiten Teil fort um
> [mm]f_{S+X_3}[/mm] korrekt anzugeben?
vollkommen analog.
Hier kannst du die Dichte der Wahrscheinlichkeiten [mm] $\mathbb{P}(X+Y \le [/mm] z)$ einfach verwenden um [mm] $\mathbb{P}(X+Y+X_{3} \le [/mm] z)$ zu berechnen.
>
> Ich hoffe ich konnte mein Problem nachvollziehbar
> darstellen.
>
> LG
> ChopSuey
Zur Kontrolle:
du solltest dann
$ [mm] f_{X+Y+X_{3}} =\begin{cases} 0, & \text{für }x \le 0\\ \frac{x^2}{2}, & \text{für } x \in [0,1]\\ -x^2 +3x -3/2, & \text{für } x \in [1,2]\\ \frac{(3-x)^2}{2}, & \text{für }x \in [2,3]\\ 0 , & \text{für} x > 3 \\ \end{cases} [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 09.11.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Omega,
vielen Dank für deine Antwort. Im ersten Fall, also für $ [mm] f_{X+Y}$ [/mm] habe ich mich an den Indikatorfunktionen $ [mm] \chi_{[0,1]}(t)$ [/mm] und [mm] $\chi_{[x-1,x]}(t)$ [/mm] orientiert.
Dabei habe ich geschaut, wo das Produkt $ [mm] \chi_{[0,1]}(t)\chi_{[x-1,x]}(t)$ [/mm] zu 1 wird, also gerade bei $ [mm] \chi_{[0,1]\cap[x-1,x]}(t)$ [/mm] und dort hab ich entsprechend das Integral ausgewertet.
Ich weiß nur leider nicht, wie ich das hier analog umsetzen kann. Wie müsste ich denn die Intervalle bzw die Integrationsgrenzen anpassen?
Für die ZV $ [mm] X_3 [/mm] $ ist die Indikatorfunktion ja wieder [mm] $\chi_{[0,1]}(x-t)$, [/mm] also gerade $ [mm] \chi_{[x-1,x]}(t)$ [/mm] Wenn ich nun die Indikatorfunktion von $ S = X+Y $ als $ [mm] \chi_{[0,1]\cap[x-1,x]}(t)$ [/mm] interepretiere, dann ergibt sich für das Produkt
$ [mm] \chi_{[0,1]\cap[x-1,x]}(t)\chi_{[x-1,x]}(t)$ [/mm] aber ich glaube nicht, dass das stimmen kann. Hier tu ich mich gerade noch schwer.
Was mache ich hier falsch? Bzw wie kann ich diesen Ansatz korrekt umsetzen?
LG
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mi 09.11.2016 | | Autor: | Omega91 |
Hallo ChopSuey,
Schauen wir uns das ganze mal ein wenig an :
Wir wissen ja bereits, dass die Dichte von [mm] $X_{3}$ [/mm] , nämlich [mm] $f_{X_{3}}(x) [/mm] = 1$ für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ und sonst 0 ist.
außerdem haben wir ja herausgefunden, dass
$ [mm] f_{X+Y} =\begin{cases} 0, & \text{für }y \le 0\\ y, & \text{für } y \in [0,1]\\ 2-y, & \text{für } y \in [1,2]\\ 0, & \text{für }2 \le y\\ \end{cases} [/mm] $
ist.
(Zur besseren Sichtlichkeit habe ich x und y verwendet)
Nun möchten wir :
[mm] $f_{X+Y+X_{3}}(z)$ [/mm] bestimmen.
klar ist, dass für $z [mm] \le [/mm] 0$ , sowie für $z >3$ die Dichte 0 ist.
es ist also $0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 3$ und wir müssen die möglichen Fälle abarbeiten.
1 Fall : $0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1$
[mm] f_{X_{3}}(x) [/mm] lebt ja nur auf Werten zwischen $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ , [mm] $f_{X+Y}(y)$ [/mm] lebt auf Werten $y [mm] \in [/mm] [0,2]$.
Dadurch, dass wir aber z einschränken, schränken wir y aber auch auf [0,1] ein (warum)?.
Wie sieht nun das Faltungsintegral aus?
Lg Omega
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 09.11.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Omega,
danke erneut für die ausführliche Antwort. Ich übersehe im Moment noch die einfachsten Eigenschaften bei der gemeinsamen Dichte der Zufallsvariablen.
> Hallo ChopSuey,
>
> Schauen wir uns das ganze mal ein wenig an :
>
> Wir wissen ja bereits, dass die Dichte von [mm]X_{3}[/mm] , nämlich
> [mm]f_{X_{3}}(x) = 1[/mm] für [mm]x \in [0,1][/mm] und sonst 0 ist.
>
Genau.
>
>
> außerdem haben wir ja herausgefunden, dass
>
> [mm]f_{X+Y} =\begin{cases} 0, & \text{für }y \le 0\\ y, & \text{für } y \in [0,1]\\ 2-y, & \text{für } y \in [1,2]\\ 0, & \text{für }2 \le y\\ \end{cases}[/mm]
>
> ist.
>
> (Zur besseren Sichtlichkeit habe ich x und y verwendet)
>
Alles klar bis hierhin.
>
> Nun möchten wir :
>
> [mm]f_{X+Y+X_{3}}(z)[/mm] bestimmen.
>
> klar ist, dass für [mm]z \le 0[/mm] , sowie für [mm]z >3[/mm] die Dichte 0
> ist.
>
Das konnte ich noch nicht nachvollziehen. Woraus folgt das? Ich weiß zwar, dass $ [mm] f_{X+Y} [/mm] = 0 $ für alle $ x [mm] \not\in [/mm] [0,2]$, aber warum $ [mm] f_{X+Y+X_3} [/mm] = 0$ für $ z [mm] \not\in [/mm] [0,3]$ hab' ich leider noch nicht verstanden.
Liegt das daran dass wir den Schnitt der beiden Intervalle $ [0,2] $ und $[x-1,x]$ betrachten und nur für $ z [mm] \in [/mm] [0,3]$ die Indikatorfunktion des Durchschnitts $ 1 $ ist?
> es ist also [mm]0 \le z \le 3[/mm] und wir müssen die möglichen
> Fälle abarbeiten.
>
> 1 Fall : [mm]0 \le z \le 1[/mm]
>
> [mm]f_{X_{3}}(x)[/mm] lebt ja nur auf Werten zwischen [mm]x \in [0,1][/mm] ,
> [mm]f_{X+Y}(y)[/mm] lebt auf Werten [mm]y \in [0,2][/mm].
> Dadurch, dass wir aber z einschränken, schränken wir y
> aber auch auf [0,1] ein (warum)?.
Wir müssen uns ja überlegen, wo beide Dichtefunktionen $ 1 $ sind. Das ist, wie du ja schon sagst, für $ [mm] f_{X_{3}}(x)$ [/mm] nur auf $[0,1]$ und für [mm] $f_{X+Y}(y)$ [/mm] nur auf $[0,2]$ der Fall.
Wenn ich das richtig verstanden habe, schauen wir uns also $ [mm] \chi_{[0,2]}(z)\chi_{[0,1]}(z) [/mm] $ an. Aber das ergibt irgendwie auch keinen Sinn. Ich komm einfach nicht dahinter. Irgendwo hab' ich eine riesen Blockade, das sollte doch eigentlich nicht so schwer sein.
>
> Wie sieht nun das Faltungsintegral aus?
Tut mir leid, ich steh leider auf dem Schlauch. Ich check's noch nicht.
Danke für deine Geduld.
LG
ChopSuey
>
>
>
> Lg Omega
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Do 10.11.2016 | | Autor: | Omega91 |
Hallo,
> Hallo Omega,
>
> danke erneut für die ausführliche Antwort. Ich übersehe
> im Moment noch die einfachsten Eigenschaften bei der
> gemeinsamen Dichte der Zufallsvariablen.
>
> > Hallo ChopSuey,
> >
> > Schauen wir uns das ganze mal ein wenig an :
> >
> > Wir wissen ja bereits, dass die Dichte von [mm]X_{3}[/mm] , nämlich
> > [mm]f_{X_{3}}(x) = 1[/mm] für [mm]x \in [0,1][/mm] und sonst 0 ist.
> >
>
> Genau.
>
> >
> >
> > außerdem haben wir ja herausgefunden, dass
> >
> > [mm]f_{X+Y} =\begin{cases} 0, & \text{für }y \le 0\\ y, & \text{für } y \in [0,1]\\ 2-y, & \text{für } y \in [1,2]\\ 0, & \text{für }2 \le y\\ \end{cases}[/mm]
>
> >
> > ist.
> >
> > (Zur besseren Sichtlichkeit habe ich x und y verwendet)
> >
>
> Alles klar bis hierhin.
>
> >
> > Nun möchten wir :
> >
> > [mm]f_{X+Y+X_{3}}(z)[/mm] bestimmen.
> >
> > klar ist, dass für [mm]z \le 0[/mm] , sowie für [mm]z >3[/mm] die Dichte 0
> > ist.
> >
>
> Das konnte ich noch nicht nachvollziehen. Woraus folgt das?
> Ich weiß zwar, dass [mm]f_{X+Y} = 0[/mm] für alle [mm]x \not\in [0,2][/mm],
> aber warum [mm]f_{X+Y+X_3} = 0[/mm] für [mm]z \not\in [0,3][/mm] hab' ich
> leider noch nicht verstanden.
>
> Liegt das daran dass wir den Schnitt der beiden Intervalle
> [mm][0,2][/mm] und [mm][x-1,x][/mm] betrachten und nur für [mm]z \in [0,3][/mm] die
> Indikatorfunktion des Durchschnitts [mm]1[/mm] ist?
>
> > es ist also [mm]0 \le z \le 3[/mm] und wir müssen die möglichen
> > Fälle abarbeiten.
> >
> > 1 Fall : [mm]0 \le z \le 1[/mm]
> >
> > [mm]f_{X_{3}}(x)[/mm] lebt ja nur auf Werten zwischen [mm]x \in [0,1][/mm] ,
> > [mm]f_{X+Y}(y)[/mm] lebt auf Werten [mm]y \in [0,2][/mm].
> > Dadurch, dass wir aber z einschränken, schränken wir y
> > aber auch auf [0,1] ein (warum)?.
>
> Wir müssen uns ja überlegen, wo beide Dichtefunktionen [mm]1[/mm]
> sind. Das ist, wie du ja schon sagst, für [mm]f_{X_{3}}(x)[/mm] nur
> auf [mm][0,1][/mm] und für [mm]f_{X+Y}(y)[/mm] nur auf [mm][0,2][/mm] der Fall.
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, schauen wir uns also
> [mm]\chi_{[0,2]}(z)\chi_{[0,1]}(z)[/mm] an. Aber das ergibt
> irgendwie auch keinen Sinn. Ich komm einfach nicht
> dahinter. Irgendwo hab' ich eine riesen Blockade, das
> sollte doch eigentlich nicht so schwer sein.
>
> >
> > Wie sieht nun das Faltungsintegral aus?
Schauen wir uns das Integral mal an:
[mm] $f_{X+Y+X_{3}}(z) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} f_{X+Y}(z-t)f_{X_{3}}(t)dt
[/mm]
und weil dich so die Indikatorfunktionen freuen :)
uns interessiert also mal : [mm] $\chi_{[0,2]}(z-t)$ [/mm]
nun : Wie sieht diese Indikatorfunktion als Funktion in t und nicht in z-t aus?
>
> Tut mir leid, ich steh leider auf dem Schlauch. Ich check's
> noch nicht.
>
> Danke für deine Geduld.
>
> LG
> ChopSuey
>
> >
> >
> >
> > Lg Omega
>
Lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Do 10.11.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Omega,
ich glaube ich bin so allmählich dahinter gekommen, aber bin sehr skeptisch und unsicher.
$ [mm] f_{X+Y+Z} [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} f_{X+Y}(t)f_{Z}(z-t)dt [/mm] $
Es ist
$ [mm] f_{X+Y} =\begin{cases} 0, & \text{für }y \le 0\\ y, & \text{für } y \in [0,1]\\ 2-y, & \text{für } y \in [1,2]\\ 0, & \text{für }2 \le y\\ \end{cases} [/mm] $
Für die Dichte der Zufallsvariable $ S = X + Y $ ist $ [mm] \chi_{[0,2]}(t) [/mm] $
Für die Dichte der Zufallsvariable $ [mm] X_3 [/mm] = Z$ ist $ [mm] \chi_{[0,1]}(z-t) [/mm] = [mm] \chi_{[z-1,z]}(t)$
[/mm]
Dann ist
$ [mm] [0,2]\cap[z-1,z] =\begin{cases} [0,z], & \text{für }z \in [0,1], \\ [z-1,z], & \text{für } z \in [1,2]\\ [z-1,2], & \text{für } z \in [2,3]\\ \emptyset, & \text{sonst}\\ \end{cases} [/mm] $
Damit ergibt sich für die gemeinsame Dichte
$ [mm] f_{X+Y+Z} =\begin{cases} \int_{0}^ztdt = \frac{1}{2}z^2, & \text{für } t \in [0,1]\\ \int_{z-1}^{z}(2-t)dt =\left[2t-\frac{1}{2}t^2\right]_{z-1}^{z}, & \text{für } t \in [1,2]\\ \int_{z-1}^{2}(2-t)dt = \left[2t-\frac{1}{2}t^2\right]_{z-1}^{2}, & \text{für } t \in [2,3]\\ \end{cases} [/mm] $
Kann das denn stimmen? Ich hab wie gesagt irgendwie den Überblick verloren und hab das alles wirklich nocht nicht nachvollzogen.
LG
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Do 10.11.2016 | | Autor: | Omega91 |
leider derzeit nur am Handy , da ich unterwegs bin.
Deine Ausführungen sehen in Ordnung aus.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Do 10.11.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Vielen Dank für deine Hilfe Omega! Falls du zum späteren Zeitpunkt feststellen solltest, dass ich etwas bestimmtes noch nicht richtig Verstanden hab', würde ich mich über einen Hinweis freuen.
LG
ChopSuey
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