Faltung , Dichte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] Wahrscheinlichkeitsmaße auf [mm] $\mathfrak{B}(\mathbb{R}^d) [/mm] $. Zeigen Sie
a) [mm] $\widehat{\mu \* \nu} [/mm] = [mm] \hat{\mu}* \hat{\nu}$
[/mm]
b) Sind X und Y unabhängige [mm] $\mathbb{R}^d$-wertige [/mm] Zufallsvariable, so ist die Verteilung von X + Y gleich der Faltung der Verteilung von X mit der Verteilung von Y
c) Für B [mm] $\in \mathfrak{B}(\mathbb{R}^d)$ [/mm] gilt
[mm] $\mu \* \nu [/mm] (B) = [mm] \int\mu(B-y)\nu(dy)$, [/mm] wobei [mm] $B-y:=\{x-y|x \in B\}$
[/mm]
d) Ist [mm] $f:\mathbb{R}^d [/mm] -> [mm] [0,\infty]$ [/mm] eine Wahrscheinlichkeitsdichte , so hat $(f * [mm] \lambda^d)\* \nu$ [/mm] ebenfalls eine Dichte , und zwar [mm] $h:\mathbb {R}^d [/mm] -> [mm] [0,\infty]$ [/mm] , gegeben durch
$h(x) = [mm] \int f(x-y)\nu(dy) [/mm] $
Besitzt auch noch [mm] $\nu$ [/mm] eine Dichte [mm] $g:\mathbb{R}^d-> [0,\infty]$ [/mm] , so ist speziell :
$h(x) = [mm] \int [/mm] f(x-y)g(y)dy$ |
Kann mir jemand mal einen Tipp geben wie ich die Aufgabe lösen kann ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 So 16.07.2006 | | Autor: | felixf |
> Seien [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] Wahrscheinlichkeitsmaße auf
> [mm]\mathfrak{B}(\mathbb{R}^d) [/mm]. Zeigen Sie
> a) [mm]\widehat{\mu \* \nu} = \hat{\mu}* \hat{\nu}[/mm]
Was genau ist [mm] $\widehat{\bullet}$? [/mm] Ich vermute mal die Fouriertransformation. Schreib das doch mal genauer auf.
> b) Sind X und Y unabhängige [mm]\mathbb{R}^d[/mm]-wertige
> Zufallsvariable, so ist die Verteilung von X + Y gleich der
> Faltung der Verteilung von X mit der Verteilung von Y
>
> c) Für B [mm]\in \mathfrak{B}(\mathbb{R}^d)[/mm] gilt
> [mm]\mu \* \nu (B) = \int\mu(B-y)\nu(dy)[/mm], wobei [mm]B-y:=\{x-y|x \in B\}[/mm]
>
> d) Ist [mm]f:\mathbb{R}^d -> [0,\infty][/mm] eine
> Wahrscheinlichkeitsdichte , so hat [mm](f * \lambda^d)\* \nu[/mm]
> ebenfalls eine Dichte , und zwar [mm]h:\mathbb {R}^d -> [0,\infty][/mm]
> , gegeben durch
> [mm]h(x) = \int f(x-y)\nu(dy)[/mm]
>
> Besitzt auch noch [mm]\nu[/mm] eine Dichte [mm]g:\mathbb{R}^d-> [0,\infty][/mm]
> , so ist speziell :
>
> [mm]h(x) = \int f(x-y)g(y)dy[/mm]
> Kann mir jemand mal einen Tipp geben wie ich die Aufgabe
> lösen kann ?
Ganz einfach: Definitionen der Begriffe raussuchen, einsetzen und ausrechnen. Etwa bei (b): Wann haben zwei ZVen die gleiche Verteilung? Schreib doch mal die Verteilungen von beiden hin und versuch das umzuformen (Satz von Fubini nicht vergessen).
LG Felix
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