Faltung von Stetigen Dichtefkt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi, ich habe die folgenden Dichtefkt. gegeben:
[mm] f_X(x)=\lambda*e^{-\lambda* x} [/mm] für x>0 und 0 sonst
[mm] f_Y(y)=\lambda^2*y*e^{-\lambda* y} [/mm] für y>0 und 0 sonst.
So, jetzt will ich die gemeinsame Dichte von X+Y bestimmen. |
So,
wir kennen ja jetzt die gleichung [mm] f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}, [/mm] also setzen wir erstmal die Fkt. ein:
[mm] f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\lambda*e^{-\lambda* x}\lambda^2*(z-x)*e^{-\lambda* (z-x)}dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\lambda^3*(z-x)e^{-\lambda*z}dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{(\lambda^3*z*e^{-\lambda*z} - \lambda^3*x*e^{-\lambda*z})dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\lambda^3*z*e^{-\lambda*z} dx} [/mm] - [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\lambda^3*x*e^{-\lambda*z}dx}
[/mm]
Hi, so jetzt kommen meine Fragen:
a) ich weiß, dass ich schon nach dem ersten Schritt, also nach der Formel, als ich die Fkten eingesetzt habe, hätte die Grenzen einsetzen müssen. Ich weiß gerade nur nicht, was ich dort einsetzen muss.
b) wie gehts jetzt weiter??
Wäre echt nett, wenn mir wer helfen könnte.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Do 15.04.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo jaruleking,
> a) ich weiß, dass ich schon nach dem ersten Schritt, also
> nach der Formel, als ich die Fkten eingesetzt habe, hätte
> die Grenzen einsetzen müssen. Ich weiß gerade nur nicht,
> was ich dort einsetzen muss.
Für [mm] $x\le0$ [/mm] verschwindet ja [mm] $f_X$ [/mm] und damit der Integrand, also kannst als untere Grenze 0 wählen.
Für [mm] $z-x\le0\ \gdw\ x\ge [/mm] z$ verschwindet [mm] $f_Y$, [/mm] also kannst du als obere Grenze z nehmen.
> b) wie gehts jetzt weiter??
Beachte, dass die Integrationsvariable $x$ ist und $z$ und [mm] $\lambda$ [/mm] bzgl. der Integration Konstanten sind. Damit dürfte es (auch ohne deine letzten Umformungsschritte) möglich sein, das Integral zu berechnen.
Viele Grüße,
Marc
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Ist das dann so richtig, auch wenn ich meinen letzen Schritt mitnehme:
[mm] f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx} [/mm]
= [mm] \integral_{z}^{0}{\lambda^3\cdot{}z\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z} dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{z}^{0}{\lambda^3\cdot{}x\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}dx} [/mm]
= [mm] [\lambda^3 z*x*e^{-\lambda\cdot{}z}] [/mm] - [mm] [\bruch{x^2}{2}\lambda^3\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}]
[/mm]
= [mm] -\lambda^3 z^2*e^{-\lambda\cdot{}z} [/mm] + [mm] \bruch{z^2}{2}\lambda^3\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}
[/mm]
=> [mm] f_{X+Y}(z)=\lambda^3e^{-\lambda\cdot{}z}z^2\bruch{3}{2}
[/mm]
ist das so richtig?? oder fehler vorhanden? ...
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Hallo!
> Ist das dann so richtig, auch wenn ich meinen letzen
> Schritt mitnehme:
>
> [mm]f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{z}^{0}{\lambda^3\cdot{}z\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z} dx}[/mm]
> [mm]-[/mm]
> [mm]\integral_{z}^{0}{\lambda^3\cdot{}x\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}dx}[/mm]
Wieso gehen deine Integrale von z bis 0 ?
Sie müssen doch von 0 bis z gehen!
> = [mm][\lambda^3 z*x*e^{-\lambda\cdot{}z}][/mm] -
> [mm][\bruch{x^2}{2}\lambda^3\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}][/mm]
>
> = [mm]-\lambda^3 z^2*e^{-\lambda\cdot{}z}[/mm] +
> [mm]\bruch{z^2}{2}\lambda^3\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}[/mm]
> => [mm]f_{X+Y}(z)=\lambda^3e^{-\lambda\cdot{}z}z^2\bruch{3}{2}[/mm]
Hier hast du dich verrechnet.
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Was noch fehlt: Was passiert für z < 0? Das musst du alles angeben.
Grüße,
Stefan
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Hi nochmal.
dann müsste es ja so sein:
[mm] f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{z}{\lambda^3\cdot{}z\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z} dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{z}{\lambda^3\cdot{}x\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}dx} [/mm]
= [mm] [\lambda^3 z\cdot{}x\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}] [/mm] - [mm] [\bruch{x^2}{2}\lambda^3\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}] [/mm]
[mm] f_{X+Y}(z)=\lambda^3e^{-\lambda\cdot{}z}\bruch{z^2}{2} [/mm]
und für z<0 haben wir sicherlich 0. richtig so??
Was ich bei diesen typ von aufgaben nicht verstehe: wie bestimmt man die integrationsgrenzen?? ich hatte hier letztens auch schon mal ein beispiel, aber auch dort habe ich nicht so wirklich verstanden, wie man auf die integrationsgrenzen kam.
kann mir das vielleicht nochmal wer erklären??
Grüße
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Hallo!
> Hi nochmal.
>
> dann müsste es ja so sein:
>
> [mm]f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{0}^{z}{\lambda^3\cdot{}z\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z} dx}[/mm]
> -
> [mm]\integral_{0}^{z}{\lambda^3\cdot{}x\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}dx}[/mm]
>
> = [mm][\lambda^3 z\cdot{}x\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}][/mm] -
> [mm][\bruch{x^2}{2}\lambda^3\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}z}][/mm]
>
> [mm]f_{X+Y}(z)=\lambda^3e^{-\lambda\cdot{}z}\bruch{z^2}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> und für z<0 haben wir sicherlich 0. richtig so??
Genau. Beides ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")  .
> Was ich bei diesen typ von aufgaben nicht verstehe: wie
> bestimmt man die integrationsgrenzen?? ich hatte hier
> letztens auch schon mal ein beispiel, aber auch dort habe
> ich nicht so wirklich verstanden, wie man auf die
> integrationsgrenzen kam.
>
> kann mir das vielleicht nochmal wer erklären??
Die Integrationsgrenzen entstehen aufgrund deiner Dichtefunktionen.
Diese lauteten:
$ f_X(x)=\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{} x}*1_{\{x>0\}} = \begin{cases}\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{} x},\quad\mbox{ falls } x > 0\\ 0, \quad\quad\quad\quad\mbox{ falls } x\le 0 \end{cases}$
$ f_Y(y)=\lambda^2\cdot{}y\cdot{}e^{-\lambda\cdot{} y}*1_{\{y>0\}} = \begin{cases}\lambda^2\cdot{}y\cdot{}e^{-\lambda\cdot{} y} ,\quad\mbox{ falls } y > 0\\ 0, \quad\quad\quad\quad\quad\quad\mbox{ falls } y\le 0 \end{cases}$.
Nun erfolgt die Bestimmung deiner neuen Dichtefunktion:
$f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(x)*f_{Y}(z-x) dx$
$= \int_{-\infty}^{\infty}\Big(\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{} x}*1_{\{x>0\}}\Big)*\Big(\lambda^2\cdot{}(z-x)\cdot{}e^{-\lambda\cdot{} (z-x)}*1_{\{(z-x)>0\}}\Big) dx$.
Bis zu dieser Stelle kannst du das alles so hinschreiben.
Nun musst du aber die Indikatorfunktionen beachten!
Wenn die Indikatorfunktionen Null werden, wird der gesamte Integrand Null. Wir müssen also nicht über diese x integrieren, bei welchen die Indikatorfunktionen Null werden.
Die erste Indikatorfunktion sagt: $x > 0$.
Die zweite sagt: $z-x>0 \Leftrightarrow x < z$.
Das heißt: Nur falls $0 < x < z$, ist der Integrand ungleich 0.
Indem wir jetzt also nur von 0 bis z integrieren, können wir die Indikatorfunktionen entfernen, weil sie genau in diesem Bereich sowieso immer 1 sind.
Der nächste Schritt ist also:
$= \int_{0}^{z}\Big(\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{} x}}\Big)*\Big(\lambda^2\cdot{}(z-x)\cdot{}e^{-\lambda\cdot{} (z-x)}\Big) dx$.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Fr 16.04.2010 | | Autor: | jaruleking |
SUPER VIELEN DANK MAL WIEDER FÜR DIE AUSFÜRHLICHE ERKLÄRUNG.
Grüße!!!!
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