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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Do 06.09.2007 | | Autor: | AnnaB |
| Aufgabe | | Man soll die Faltung von 2 gleichverteilten Zufallsvariablen berechnen, also U(0,1) * U(0,1) |
Die Dichte wird mit Faltungsformel berechnet [mm] g(x)=\integral_{}^{}f(x-y)f(y)\,dy
[/mm]
Wie kommt man in diesem Fall auf folgene Lösung:
[mm] \begin{Bmatrix}
\integral_{0}^{x}\,dy & x<=1 \\
\integral_{x-1}^{1}\,dy & 1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Do 06.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Anna,
zunaecht einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
bei solchen Aufgaben ist es immer ganz hilfreich, mit der
Indikatorfunktion [mm] $\chi_M$ [/mm] einer Menge zu arbeiten, fuer die gilt
[mm] $\chi_M(x)=1$ [/mm] fuer [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $\chi_M(x)=0$ [/mm] sonst. Die Dichte der
Gleichverteilung ist dann also [mm] $f(x)=\chi_{(0,1)}(x)$.
[/mm]
Deine Faltungsformel deutet darauf hin, dass die beiden
Zufallsvariablen unabhaengig sind. Deswegen kann ich schreiben:
[mm] \begin{matrix}
g(x)
&=&\int_{-\infty}^{+\infty}\chi_{(0,1)}(x-y)\chi_{(0,1)}(y)\,dy \\
&=&\int_{0}^{1}\chi_{(0,1)}(x-y)\,dy \\
\end{matrix}
[/mm]
Jetzt musst du dich fragen, wann der verbleibende Integrand nicht
verschwindet. Offenbar dann, wenn gilt $0<x-y<1$. Vielleicht machst du
jetzt mal weiter...
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Do 06.09.2007 | | Autor: | AnnaB |
Hallo Luis,
vielen Dank für deine Antwort!
Der Integrad verschwindet für x-y<0, also für x<0, da 0<y<1 ebenso wie für x-y>1, also x>2.
Der Integrand bleibt für 0<x-y<1. Daraus ergeben sich folgende Fallunterscheidungen:
1) x-y>0, d.h. y<x und somit [mm] \integral_{0}^{x}\,dy=x [/mm] und x<=1
2) x-y<1, d.h. y>x-1 und somit [mm] \integral_{x-1}^{1}\,dy=2-x [/mm] und 1<x<=2
Danke und schöne Grüße,
Anna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Fr 01.10.2010 | | Autor: | eldorado |
Hallo!
Erstmal entschuldigung, dass ich so eine altes Thema wieder aufgreife, aber ich sitze grad an einer ähnlichen Aufgabe und steh total auf dem Schlauch.
> Hallo Luis,
>
> vielen Dank für deine Antwort!
>
> Der Integrad verschwindet für x-y<0, also für x<0, da
> 0<y<1 ebenso wie für x-y>1, also x>2.
> Der Integrand bleibt für 0<x-y<1. Daraus ergeben sich
> folgende Fallunterscheidungen:
> 1) x-y>0, d.h. y<x und somit [mm]\integral_{0}^{x}\,dy=x[/mm] und
> x<=1
bis zum Integral ist alles klar, aber wie komme ich denn auf die Grenze x [mm] \le [/mm] 1
> 2) x-y<1, d.h. y>x-1 und somit [mm]\integral_{x-1}^{1}\,dy=2-x[/mm]
> und 1<x<=2
und hier auf die Grenze 1 < x [mm] \le [/mm] 2??
>
> Danke und schöne Grüße,
> Anna
Vielen Dank für die Hilfe!
Liebe Grüße eldorado
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du willst
$g(x) [mm] =\int_{-\infty}^{+\infty}\chi_{(0,1)}(x-y)\chi_{(0,1)}(y)\,dy [/mm] $
also geht es nur darum, wie sich
[mm] $\chi_{(0,1)}(x-y)\chi_{(0,1)}(y)$
[/mm]
verhält. Insbesondere ist das Integral über y, x ist für die Berechnung des Integrals ein Parameter.
Daher schreiben wir [mm] $\chi_{(0,1)}(x-y)$ [/mm] mal so um, daß es auch eine Funktion von y und nicht x-y ist:
$x-y<1\ [mm] \Leftrightarrow\ [/mm] y>x-1$
$x-y>0\ [mm] \Leftrightarrow\ [/mm] y<x$
Dementsprechend:
[mm] $\chi_{(0,1)}(x-y)=\chi_{(x-1,x)}(y)$
[/mm]
Du hast zwei gleich lange Intervalle. Das eine ist fest (0,1), das andere (x-1,x) kannst Du entlang der x-Achse verschieben. Du suchst den Schnitt. Entweder sie schneiden sich nicht, oder das bewegliche ragt links aus dem festen heraus, oder es ragt rechts aus dem festen heraus. Sauberer:
[mm] $\chi_{(x-1,x)}(y)\chi_{(0,1)}(y)$ [/mm] ist 1, wenn beide Indikatorfunktionen 1 sind, also
[mm] $\chi_{(x-1,x)}(y)\chi_{(0,1)}(y)=\chi_{(0,1)\cap (x-1,x)}(y)$
[/mm]
[mm] $(0,1)\cap [/mm] (x-1,x)$ ist Schnitt von zwei Intervallen, also selber wieder ein Intervall und das kann 3 Formen annehmen:
[mm] $\emptyset,$ [/mm] wenn x-1>1, oder x<0
$(0,x),$ wenn x>0, aber x-1<0
und
$(x-1,1),$ wenn x>1 und x-1<1
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Fr 01.10.2010 | | Autor: | eldorado |
super erklärt, vielen dank!
lg eldorado
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