Faltungsintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Do 27.08.2009 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen
[mm] h(t)=\begin{cases}t, & \mbox{für } 0
und
[mm] x(t)=\begin{cases}1, & \mbox{für } 0
Bestimmen Sie das Faltungsintegral bzw. die Systemantwort [mm] y(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x(\tau)h(t-\tau) d\tau}. [/mm] |
Hallo!
Leider wurde uns nicht erklärt, wie man so etwas geschickt löst. Ich muss das doch bereichsweise lösen, oder?
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Do 27.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sind die Funktionen
> [mm]h(t)=\begin{cases}t, & \mbox{für } 0
>
> und
> [mm]x(t)=\begin{cases}1, & \mbox{für } 0
>
> Bestimmen Sie das Faltungsintegral bzw. die Systemantwort
> [mm]y(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x(\tau)h(t-\tau) d\tau}.[/mm]
>
> Hallo!
>
> Leider wurde uns nicht erklärt, wie man so etwas geschickt
> löst. Ich muss das doch bereichsweise lösen, oder?
Ja. Du kannst es erstmal unterteilen in ein Integral von [mm] $-\infty$ [/mm] bis $0$, dort ist naemlich [mm] $x(\tau) [/mm] = 0$ also auch [mm] $x(\tau) [/mm] h(t - [mm] \tau)$. [/mm] Das faellt also weg. Dann hast du eins von $T$ bis [mm] $+\infty$, [/mm] was ebenso 0 ist.
Uebrig bleibt [mm] $\int_0^T x(\tau) [/mm] f(t - [mm] \tau) d\tau [/mm] = [mm] \int_0^T [/mm] f(t - [mm] \tau) d\tau$. [/mm] Jetzt musst du $t - [mm] \tau$ [/mm] anschauen. Wann gilt $0 < t - [mm] \tau [/mm] < 2 T$?
Du kannst dir jetzt ueberlegen, fuer welche $t$ der Ausdruck $y(t)$ sowieso 0 ist (weil $h(t - [mm] \tau) [/mm] = 0$ ist fuer alle [mm] $\tau \in [/mm] (0, T)$). Fuer die restlichen ueberlegst du dir, wie du die Integralgrenzen setzen musst um $y(t)$ als Integral ueber $t - [mm] \tau$ [/mm] zu bestimmen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:13 Fr 28.08.2009 | | Autor: | papillon |
Hallo Felix,
vielen Dank erstmal für die rasche Antwort. So ganz durchgestiegen bin ich aber immer noch nicht. Klar, nur im Bereich zwischen 0 und T ist das Integral ungleich 0.
Aber die weiteren Schritte verstehe ich nicht ganz.
Aus
[mm] h(t)=\begin{cases} t, & \mbox{für} 0
mache ich
[mm] h(t-\tau)=\begin{cases} t-\tau, & \mbox{für } 0
Jetzt kann ich ja die Ungleichung [mm] 0
Grüße
Papillon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:35 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Papillon
> vielen Dank erstmal für die rasche Antwort. So ganz
> durchgestiegen bin ich aber immer noch nicht. Klar, nur im
> Bereich zwischen 0 und T ist das Integral ungleich 0.
> Aber die weiteren Schritte verstehe ich nicht ganz.
> Aus
> [mm]h(t)=\begin{cases} t, & \mbox{für} 0
>
> mache ich
> [mm]h(t-\tau)=\begin{cases} t-\tau, & \mbox{für } 0
>
> Jetzt kann ich ja die Ungleichung [mm]0
> umstellen, das gibt dann [mm]t-2T<\tau
> ist [mm]h(t-\tau)=t-\tau,[/mm] sonst ist es überall 0, richtig?
Genau so ist es.
Du hast nun $y(t) = [mm] \int_0^T [/mm] h(t - [mm] \tau) d\tau$. [/mm] Fuer [mm] $\tau \ge [/mm] t$ ist $h(t - [mm] \tau) [/mm] = 0$, also ist $y(t) = [mm] \int_0^{\min(t, T)} [/mm] h(t - [mm] \tau) d\tau$ [/mm] fuer $t > 0$ und $y(t) = 0$ fuer $t [mm] \le [/mm] 0$.
Fuer [mm] $\tau \le [/mm] t - 2 T$ ist $h(t - [mm] \tau) [/mm] = 0$, also ist $y(t) = [mm] \int_{\max(0, t - 2 T)}^{\min(t, T)} [/mm] t - [mm] \tau d\tau$ [/mm] fuer $t > 0$ und $t - 2 T < [mm] \min(t, [/mm] T) [mm] \Leftrightarrow [/mm] t - 2 T < T [mm] \Leftrightarrow [/mm] t < 3 T$, also fuer $t [mm] \in [/mm] (0, 3 T)$. Ist dagegen $t [mm] \ge [/mm] 3 T$, so folgt wieder $y(t) = 0$.
Also ist $y(t) = [mm] \begin{cases} 0 & \text{fuer } t \le 0, \\ \int_{\max(0, t - 2 T)}^{\min(t, T)} t - \tau d\tau & \text{fuer } 0 < t < 3 T, \\ 0 & \text{fuer } t \ge 3 T \end{cases}$. [/mm] Das kannst du jetzt ausrechnen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Fr 28.08.2009 | | Autor: | papillon |
Hallo Felix,
vielen Dank, ich denke jetzt hab ichs. Man hätte das ganze auch graphisch lösen können, richtig?
Gruß
Papillon
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