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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Sa 11.06.2005 | | Autor: | nofreak |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit einem Faltungsintegral, das als Lösung einer Differentialgleichung 2.Ordnung auftritt.
Eine der beiden Funktionen hat eine Unstetigkeitsstelle, nun weis ich nicht wie ich damit verfahren soll.
Die Frage habe ich bereits in einem anderen Forum gepostet, was jedoch ohne Antwort geblieben ist.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=38395&start=0&lps=278907#v278907
Löse Anfangswertproblem:
x''(t)+x(t)=f(t)
x(0)=0, x'(0)=0
[mm] f(t)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } 0\leq t\leq 1 \\ 0 & \mbox{für } t>1 \end{cases}
[/mm]
(Deutung (z.B.): Nach der Zeit t=1 wird die Fremdspannung abgeschaltet.)
a) Löse x''(t)+x(t)=0 mit Anfangsbedingungen x(0)=0, x'(0)=1.
Dies ergibt eine Funktion [mm] x_h=x_h(t) [/mm] als Lösung der homogenen DGL.
b) Eine Lösung der inhomogenen DGL ist dann das Faltungintegral
[mm] x(t)=\int_{0}^{t}~ f(\tau)x_h(t-\tau)~d\tau
[/mm]
c) Stelle die Lösung graphisch dar. (Wegen der Unstetigkeit von f ist x nur auf [0,1] und [mm] [1,\infty) [/mm] eine [mm] \mathbb C^{2}-Funktion.)
[/mm]
So, nun zu meiner Lösung:
zu a) hab ich [mm] x_h(t)=\sin(t) [/mm] herausgefunden
in das Faltungsintegral bei b) eingesetzt ergibt folgendes:
[mm] x(t)=\int_{0}^{t}~ f(\tau)\sin(t-\tau)~d\tau
[/mm]
mein weiteres Vorgehen war, das Integral aufzuteilen, wegen der Unstetigkeitsstelle:
[mm] x(t)=\int_{0}^{1}~1\cdot\sin(t-\tau)~d\tau+\int_{1}^{t}~0\cdot\sin(t-\tau)~d\tau
[/mm]
[mm] x(t)=\int_{0}^{1}~\sin(t-\tau)~d\tau+\int_{1}^{t}~0~d\tau
[/mm]
[mm] x(t)=[\cos(t-\tau)]_{0}^{1}+C
[/mm]
mit x(0)=0
[mm] x(0)=0=\cos(-1)-1+C \to C=1-\cos(1)
[/mm]
wegen [mm] \cos(x)=\cos(-x) [/mm] Achsensymmetrie
[mm] \Rightarrow x(t)=\cos(t-1)-\cos(t)+1-\cos(1)
[/mm]
Ich weis, dass es falsch ist. Aber was ist falsch?
nofreak
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Hallo!
> Ich weis, dass es falsch ist. Aber was ist falsch?
Dir fehlt eine Fallunterscheidung! Für [mm] $0\le t\le [/mm] 1$ betrachtest du das Integral
[mm] $x(t)=\int_0^tf(\tau)\sin(t-\tau)d\tau=[\cos(t-\tau)]^t_0=1-\cos [/mm] t$.
Jetzt ist bereits $x(0)=0$ und $x'(0)=0$!
Für $t>1$ gilt:
[mm] $x(t)=\int_0^tf(\tau)\sin(t-\tau)d\tau=x(t)=\int_0^1 \sin(t-\tau)d\tau=[\cos(t-\tau)]^1_0=\cos(t-1)-\cos(t)$.
[/mm]
Letztlich kommst du so auf die Lösung: [mm] $x(t)=\begin{cases} 1-\cos t,&\mbox{falls }t\in[0;1]\\\cos(t-1)-\cos(t),&\mbox{falls } t>1\end{cases}$.
[/mm]
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mo 13.06.2005 | | Autor: | nofreak |
Danke
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