Faltungsintegral < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:00 Mo 10.01.2011 | | Autor: | likenobody |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Bildfunktion [mm] Y(s)=\bruch{s}{(s+1)({s^2}+1)} [/mm] berechnen Sie mit hilfe des Faltungsintegrals die zugehörige Orginalfunkton y(t), t=/>0. |
mit [mm] f(t)=f1(t)\times f2(t)=\integral_{}^{}{f1(u)*f2(t-u) du} [/mm] ergibt sich [mm] f(t)=-\bruch{1}{2}{t^2}{e^-t} [/mm] ist das so Richtig?
[mm] (\times [/mm] = Faltungszeichen)
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo likenobody,
> Gegeben sei die Bildfunktion [mm]Y(s)=\bruch{s}{(s+1)({s^2}+1)}[/mm]
> berechnen Sie mit hilfe des Faltungsintegrals die
> zugehörige Orginalfunkton y(t), t=/>0.
> mit [mm]f(t)=f1(t)\times f2(t)=\integral_{}^{}{f1(u)*f2(t-u) du}[/mm]
> ergibt sich [mm]f(t)=-\bruch{1}{2}{t^2}{e^-t}[/mm] ist das so
> Richtig?
Leider nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Poste doch dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> [mm](\times[/mm] = Faltungszeichen)
>
> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruss
MathePower
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Ok, meine erste überlegung war eine PBZ von [mm] Y(s)=\bruch{s}{(s+1)({s^2}+1)} [/mm] = [mm] \bruch{S}{{s^2}+1)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(s+1)} [/mm] zu machen so erhalte ich F1(s) und F2(s) welche mit hilfe der K-Tabelle dann zu f1(t)={e^-t} und f2(t)= (1-t)* {e^-t} umgerechnet werden kann hieraus folgt dann f(t)= [mm] f1(t)\times [/mm] f2(t) = [mm] \integral_{0}^{t}{f1(u)*f2(t-u) du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{{e^-t}-(t-u)*{e^-t} du} [/mm] nach integration ergbit sich [mm] {e^-t}*(t-t-\bruch{1}{2}*{t^2}) [/mm] daruas folgt dann die vorgenannte Lösung.....
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Hallo likenobody,
> Ok, meine erste überlegung war eine PBZ von
> [mm]Y(s)=\bruch{s}{(s+1)({s^2}+1)}[/mm] = [mm]\bruch{S}{{s^2}+1)}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{(s+1)}[/mm] zu machen so erhalte ich F1(s) und F2(s)
> welche mit hilfe der K-Tabelle dann zu f1(t)={e^-t} und
> f2(t)= (1-t)* {e^-t} umgerechnet werden kann hieraus folgt
> dann f(t)= [mm]f1(t)\times[/mm] f2(t) =
> [mm]\integral_{0}^{t}{f1(u)*f2(t-u) du}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{t}{{e^-t}-(t-u)*{e^-t} du}[/mm] nach integration
> ergbit sich [mm]{e^-t}*(t-t-\bruch{1}{2}*{t^2})[/mm] daruas folgt
> dann die vorgenannte Lösung.....
Zunächst mußt Du Y(s) als Produkt zweier Funktionen schreiben:
[mm]Y\left(s\right)=f_{1}\left(s\right)*f_{2}\left(s\right)[/mm]
Dann kannst Du darauf die Umkehr des Faltungssatzes anwenden.
[mm]L^{-1}\left\{ \ f_{1}\left(s\right)*f_{2}\left(s\right) \ \right\}=L^{-1}\left\{ \ f_{1}\left(s\right) \ \right\}\times L^{-1}\left\{ \ f_{2}\left(s\right) \ \right\}[/mm]
Erst dann kannst Du das Faltungsintegral bilden.
Gruss
MathePower
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Zunächst mußt Du Y(s) als Produkt zweier Funktionen schreiben:
[mm] Y\left(s\right)=f_{1}\left(s\right)\cdot{}f_{2}\left(s\right) [/mm] ist das nicht mit den Thermen [mm] \bruch{S}{{s^2}+1)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{s+1)} [/mm] Bereits geschehen? (selbstverständlich keine PZB, einfaches Umformen)
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Hallo likenobody,
> Zunächst mußt Du Y(s) als Produkt zweier Funktionen
> schreiben:
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> [mm]Y\left(s\right)=f_{1}\left(s\right)\cdot{}f_{2}\left(s\right)[/mm]
> ist das nicht mit den Thermen [mm]\bruch{S}{{s^2}+1)}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{s+1)}[/mm] Bereits geschehen? (selbstverständlich
> keine PZB, einfaches Umformen)
Ja, das ist mit den beiden Termen bereits geschehen.
Gruss
MathePower
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aber ich versteh nicht, dann ist die erstgenannte Lösung doch korrekt?!
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Hallo likenobody,
> aber ich versteh nicht, dann ist die erstgenannte Lösung
> doch korrekt?!
Dann poste doch, wie Du auf dieses f(t) gekommen bist.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Calli |
> aber ich versteh nicht, dann ist die erstgenannte Lösung
> doch korrekt?!
Hey likenobody !
Deine "Lösung"
[mm] $f(t)=-\frac{t^2}{2}\,e^{-t}$
[/mm]
kannst Du ja durch Transformation in den Bildbereich auf ihre Richtigkeit überprüfen.
Ciao Calli
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ich habe durch auftrennen und invertieren der Laplace funktion die Orginalfunktionen f1(t)={e^-^t} und f2(t)= cos (-t) diese müssten ja jetzt noch gefaltet werden, was dann ja dem [mm] \integral_{0}^{t}{{e^-^u}* cos (-t-u) du} [/mm] entspricht... ist mein ansatz bis hier richtig`? und wie löse ich nun das integral?
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Hallo likenobody,
> ich habe durch auftrennen und invertieren der Laplace
> funktion die Orginalfunktionen f1(t)={e^-^t} und f2(t)= cos
> (-t) diese müssten ja jetzt noch gefaltet werden, was dann
Es muss [mm]f_{2}\left(t\right)=\cos\left(\blue{t}\right)[/mm] sein.
> ja dem [mm]\integral_{0}^{t}{{e^-^u}* cos (-t-u) du}[/mm]
> entspricht... ist mein ansatz bis hier richtig'? und wie
Damit das Integral:
[mm]\integral_{0}^{t}{{e^-^u}* cos (t-u) du}[/mm]
> löse ich nun das integral?
Nun, z.B. mit der partielle Integration.
Gruss
MathePower
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Ich habe durch Produktitegration das ergebniss y(t)= sin(t)+{e^-t}-cos(t) ist diese Lösung dann so korrekt, oder habe ich hierbei wieder etwas übersehen?
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Hallo likenobody,
> Ich habe durch Produktitegration das ergebniss y(t)=
> sin(t)+{e^-t}-cos(t) ist diese Lösung dann so korrekt,
> oder habe ich hierbei wieder etwas übersehen?
Hier hast Du einen Faktor [mm]\not= 1[/mm] übersehen.
Gruss
MathePower
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Ich glaube meinen fehler gefunden zu haben: y(t)=
{e^-t}-cos(t)-sin(t) ich habe das Vorzeichen von [mm] -{e^0} [/mm] übersehen... oder meintest du einen anderen faktor?
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Hallo likenobody,
> Ich glaube meinen fehler gefunden zu haben: y(t)=
> {e^-t}-cos(t)-sin(t) ich habe das Vorzeichen von [mm]-{e^0}[/mm]
Das meinte ich nicht.
> übersehen... oder meintest du einen anderen faktor?
Das Integral ist bis auf den Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] richtig berechnet worden.
Gruss
MathePower
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Ich kann meinen Fehler nicht finden, bzw. mir nicht erklären, wo der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] herkommt. Hier mal meine bisherigen Ansätze:
[mm] \integral_{0}^{t}{{e^-^u}* cos(t-u) du} [/mm] =
[{e^-^u}*sin(t-u)] - [mm] \integral_{0}^{t}{-{e^-^u}*sin(t-u) du} [/mm] = 0 - [mm] {e^0} [/mm] * sin (t) - [mm] [{e^u} [/mm] * - cos(t-u)] = -sin(t)+{e^-^t} - cos (t)
wo liegt mein fehler? was mache ich falsch?
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Hallo linkenobody,
> Ich kann meinen Fehler nicht finden, bzw. mir nicht
> erklären, wo der Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] herkommt. Hier mal
> meine bisherigen Ansätze:
>
> [mm]\integral_{0}^{t}{{e^-^u}* cos(t-u) du}[/mm] =
> [{e^-^u}*sin(t-u)]
Hier fehlt doch ein "-" ...
> - [mm]\integral_{0}^{t}{-{e^-^u}*sin(t-u) du}[/mm]
> = 0 - [mm]{e^0}[/mm] * sin (t) - [mm][{e^u}[/mm] * - cos(t-u)] =
> -sin(t)+{e^-^t} - cos (t)
>
> wo liegt mein fehler? was mache ich falsch?
Mal ohne Grenzen:
[mm]\red{\int{e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ du}} \ = \ -e^{-u}\cdot{}\sin(t-u) \ - \ \int{e^{-u}\cdot{}\sin(t-u) \ du} \ [/mm]
[mm]= \ -e^{-u}\cdot{}\sin(t-u) \ - \ \left( \ \left[e^{-u}\cdot{}\cos(t-u)\right] \ - \ \int{-e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ du} \ \right)[/mm]
[mm]= \ -e^{-u}\cdot{}\sin(t-u) \ - \ e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ - \ \int{e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ du} \ [/mm]
Also [mm]\red{\int{e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ du}} \ =\ -e^{-u}\cdot{}\left[\sin(t-u) \ + \ \cos(t-u)\right] \ - \ \red{\int{e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ du}} \ [/mm]
Jetzt nach dem roten Integral umstellen und danach auflösen ...
Gruß
schachuzipus
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