Familie von Mengen 5 < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:25 Fr 19.04.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | Zeige, falls $I = [mm] \{1,2\}$, [/mm] dann gilt:
a) [mm] $\bigcup_{i \in I} A_i [/mm] = [mm] A_1 \cup A_2$
[/mm]
b) [mm] $\bigcap_{i \in I} A_i [/mm] = [mm] A_1 \cap A_2$. [/mm] |
Bitte kontrollieren:
a)
[mm] $\subseteq$:
[/mm]
$x [mm] \in \bigcup_{i \in I} \Leftrightarrow (\exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I) x [mm] \in A_i$. [/mm] Da $I = [mm] \{1,2\}$ [/mm] gibt es ein $x [mm] \in A_1$ [/mm] oder $x [mm] \in A_2$ [/mm] d.h. $x [mm] \in A_1 \vee [/mm] x [mm] \in A_2 \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in A_1 \cup A_2$.
[/mm]
[mm] $\supseteq$:
[/mm]
$x [mm] \in A_1 \cup A_2 \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in A_1 \vee [/mm] x [mm] \in A_2$. [/mm] Es gibt $x [mm] \in A_i$ [/mm] mit $i [mm] \in \{1\}$ [/mm] oder $x [mm] \in A_i$ [/mm] mit $i [mm] \in \{2\}$. [/mm] Es gibt also $x [mm] \in A_i$ [/mm] mit $i [mm] \in \{1,2\}$ [/mm] d.h. [mm] $(\exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I)x [mm] \in A_i \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in \bigcup_{i \in I}A_i$.
[/mm]
b)
[mm] $\subseteq$:
[/mm]
$x [mm] \in \bigcap_{i \in I} \Leftrightarrow (\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I)x [mm] \in A_i$. [/mm] Da $I = [mm] \{1,2\}$ [/mm] gibt es ein $x [mm] \in A_i$ [/mm] und $x [mm] \in A_2$ [/mm] d.h. $x [mm] \in A_1 \wedge [/mm] x [mm] \in A_2 \Leftrightarrow A_1 \cap A_2$.
[/mm]
[mm] $\supseteq$:
[/mm]
$ x [mm] \in A_1 \cap A_2 \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in A_1 \wedge [/mm] x [mm] \in A_2$. [/mm] Es gibt ein $x [mm] \in A_1$ [/mm] mit $i [mm] \in \{1\}$ [/mm] und $x [mm] \in A_i$ [/mm] mit $i [mm] \in \{2\}$. [/mm] Es gibt also $x [mm] \in A_i$ [/mm] mit [mm] $\{1,2\}$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,2\}$, [/mm] d.h. [mm] $(\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I) x [mm] \in A_i \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in \bigcap_{i \in I} A_i$.
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 04.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
