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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 19:51 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo an alle,
Ich stelle jetzt mal ein paar nicht wirklich schwirige aber ganz interessante neue Übungsaufgaben aus dem Bereich Farbbeweise rein.
Kann ein 10x10x10 Würfel mit 250 1x1x4 Steinen gefüllt werden?
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Sa 19.03.2005 | | Autor: | envious |
dann versuch ich mich mal
also der Würfel hat ein Volumen von 10 zum kubik, sprich 1000,
ein stein hat ein volumen von 4, das gesamt volumen der steine ist 4 mal 250, sprich 1000, die steine füllen den würfel also aus, da sie das gesamtvolumen der steine dem volumen des würfels entspricht.
sorry für die umständliche formulierung
gruß: envious
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Hallo envious,
Du machst es dir etwas zu einfach bei deiner Lösung. Es stimmt schon, dass es Volumentechnisch aufgehen würde. Allerdings ist es unmöglich den Würfel mit diesen Steinen auszufüllen ohne mindestens einen der Steine zu zersägen.
Wenn du dir das klarmachen willst kannst du dir das Problem mal in 2D betrachten. Ein Schackbrett 10x10 und 25 Steine 1x4. (Ist ebenfalls unmöglich).
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Sa 19.03.2005 | | Autor: | envious |
ist es auch nicht möglich wenn man die dritte dimension ausnutzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Sa 19.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo envious!
Das eben sollst du (mit Beweis) herausfinden!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Di 22.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Samuel
Ich beantworte mal diese Frage. Zwar schaue ich das zweidimensionale Problem an (das 3D-Problem ist dann analog zu lösen).
Behauptung: Ein 10x10 Brett lässt sich nicht mit Rechtecken der Form 1x4 auffüllen.
Beweis: Dazu färben wir das Brett wie folgt mit zwei Farben weiss und schwarz:
[mm]\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & x & & & x & x & & & x & x \\ \hline
x & x & & & x & x & & & x & x \\ \hline
& & x & x & & & x & x & & \\ \hline
& & x & x & & & x & x & & \\ \hline
x & x & & & x & x & & & x & x \\ \hline
x & x & & & x & x & & & x & x \\ \hline
& & x & x & & & x & x & & \\ \hline
& & x & x & & & x & x & & \\ \hline
x & x & & & x & x & & & x & x \\ \hline
x & x & & & x & x & & & x & x \\ \hline
\end{tabular}
[/mm]
(x bedeutet schwarz)
Man überlegt sich leicht, dass ein 1x4 Stein in jeder Lage zwei weisse und zwei schwarze Quadrate bedeckt. Mit jeder Belegung werden also gleichviele weisse wie schwarze Quadrate bedeckt. Aber es sind insgesamt 52 schwarze und 48 weisse Quadrate.
Im dreidimensionalen Fall hat man bei "analoger" Färbung 504 schwarze und 494 weisse Würfelchen, aber jeder 1x1x4 Baustein bedeckt in jeder möglichen Lage 2 schwarze und 2 weisse Würfelchen.
mfG Moudi
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Hallo moudi,
Schöne Lösung!
Ich habs zunächst ähnlich gemacht (wenn auch leicht anders gefärbt):
[mm] \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \,& x &\, & x &\, & x &\, & x &\, & x \\
\hline &\, &\, &\, &\, & \, &\, & \, & \, &\, \\
\hline \,& x &\, & x & \, &x & \, & x &\, & x\\
\hline \,&\, & \,&\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, \\
\hline \,& x &\, & x& \, & x &\, & x& \, & x \\
\hline \,&\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, \\
\hline \,& x &\, & x & \, & x &\, & x &\, &x \\
\hline \,&\, &\, & \, &\, &\, &\, &\, &\, &\, \\
\hline \,& x &\, & x& \, & x & \,&x &\, & x \\
\hline \,&\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, \\
\hline \end{tabular} [/mm]
Denn jetzt folgt der Widerspruch aus der Invarianz der Parität der verbleibenden Schwarzenfelder, die damit nicht 0 werden kann. (es gibt 5*5(*5) schwarze Felder)
Wenn man das Problem direkt in 3D angeht, gäbe es allerdigns noch eine direktere Lösung:
Man gebe jedem Würfel Koordinaten von (1,1,1) bis (10,10,10) und färbe dann einen Würfel (x,y,z) mit einer Farbe i wenn gilt: [mm]x+y+z \equiv i mod4[/mm]. Offentsichtlich überdeckt jeder Quader 1x1x4 jeweils einen Würfel der Farben 0 bis 3. Der Wiederspruch ergibt sich, da unter anderem 251 Würfel die Farbe 0 besitzen.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Mi 23.03.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo moudi,
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> Schöne Lösung!
> Ich habs zunächst ähnlich gemacht (wenn auch leicht anders
> gefärbt):
> [mm]\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \,& x &\, & x &\, & x &\, & x &\, & x \\
\hline &\, &\, &\, &\, & \, &\, & \, & \, &\, \\
\hline \,& x &\, & x & \, &x & \, & x &\, & x\\
\hline \,&\, & \,&\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, \\
\hline \,& x &\, & x& \, & x &\, & x& \, & x \\
\hline \,&\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, \\
\hline \,& x &\, & x & \, & x &\, & x &\, &x \\
\hline \,&\, &\, & \, &\, &\, &\, &\, &\, &\, \\
\hline \,& x &\, & x& \, & x & \,&x &\, & x \\
\hline \,&\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, &\, \\
\hline \end{tabular}[/mm]
>
> Denn jetzt folgt der Widerspruch aus der Invarianz der
> Parität der verbleibenden Schwarzenfelder, die damit nicht
> 0 werden kann. (es gibt 5*5(*5) schwarze Felder)
>
> Wenn man das Problem direkt in 3D angeht, gäbe es
> allerdigns noch eine direktere Lösung:
> Man gebe jedem Würfel Koordinaten von (1,1,1) bis
> (10,10,10) und färbe dann einen Würfel (x,y,z) mit einer
> Farbe i wenn gilt: [mm]x+y+z \equiv i mod4[/mm]. Offentsichtlich
> überdeckt jeder Quader 1x1x4 jeweils einen Würfel der
> Farben 0 bis 3. Der Wiederspruch ergibt sich, da unter
> anderem 251 Würfel die Farbe 0 besitzen.
Ja clever, diese 4-Färbung funktioniert auch im 2dimensionalen Fall.
mfG Moudi
>
> Gruß Samuel
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