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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Sa 18.06.2016 | | Autor: | Septime |
| Aufgabe | Seien [mm] X_{1},X_{2},... [/mm] u.i.v. auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Zeigen Sie
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (X_{1}*X_{2}*...*X_{n})^{1/n}=c\in\IR [/mm] fast sicher und bestimmen sie c. |
Hallo,
mein Ansatz :
nun ist die Aussage [mm] X_{n} \to [/mm] X fast sicher äquivalent zu der Aussage, dass [mm] P(w\in O|\limes_{n\rightarrow\infty} (X_{1}(w)*X_{2}(w)*...*X_{n}(w))^{1/n}=c)=1 [/mm] ist, wobei O die Grundmenge vom Maßraum ist.
Da jede Funktion [mm] X_{i} [/mm] wegen Gleichverteilung auf [0,1] folgendermaßen aussieht
[mm] F(w)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } w\le0 \mbox{ } \\ w, & \mbox{für } 0
gilt dann
[mm] F^{n}(w)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } w\le0 \mbox{ } \\ w^{n}, & \mbox{für } 0
und damit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (X_{1}*X_{2}*...*X_{n})^{1/n}=\limes_{n\rightarrow\infty} (w^{n})^{1/n}=w
[/mm]
Habe ich mir das zu einfach gemacht?
Ich freue mich auf jede Antwort.
Gruß Septime
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Da jede Funktion [mm]X_{i}[/mm] wegen Gleichverteilung auf [0,1]
> folgendermaßen aussieht
>
> [mm]F(w)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } w\le0 \mbox{ } \\ w, & \mbox{für } 0
>
> gilt dann
>
> [mm]F^{n}(w)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } w\le0 \mbox{ } \\ w^{n}, & \mbox{für } 0
Jo.
> und damit
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (X_{1}*X_{2}*...*X_{n})^{1/n}=\limes_{n\rightarrow\infty} (w^{n})^{1/n}=w[/mm]
Wie kommst du denn darauf? Dort steht doch das Produkt der Zufallsvariablen und nicht der Verteilungsfunktionen! Wo kommt denn dein [mm] $\omega$ [/mm] plötzlich her?
> Habe ich mir das zu einfach gemacht?
Du hast es schlichtweg falsch gemacht.
Tipp: Mache aus dem Produkt der Zufallsvariablen durch Anwendung einer geeigneten Funktion eine Summe und wende dann das starke Gesetz der großen Zahlen an.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:12 So 19.06.2016 | | Autor: | Septime |
Ich habe versucht dein Tipp umzusetzen:
Es gilt
[mm] F_{X_{1}}=F_{X_{1}}=...=F_{X_{n}} \gdw \gamma_{X_{1}}=\gamma_{X_{2}}=...=\gamma_{X_{n}},
[/mm]
wobei [mm] \gamma_{X_{i}} [/mm] die charakteristische Funktion von [mm] {X_{i}} [/mm] ist.
Wegen Unabhängigkeit der [mm] {X_{i}} [/mm] folgt dann für alle [mm] t\in\IR
[/mm]
[mm] \gamma_{X_{1}}(t)*\gamma_{X_{2}}(t)*...*\gamma_{X_{n}(t)} [/mm] = [mm] \gamma_{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}(t) [/mm] = [mm] E(e^{it(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})})
[/mm]
und da die Verteilungsfunktionen von allen [mm] X_{i} [/mm] absolut stetig sind, ist die Verteilungsfunktion von [mm] X_{1}+X_{2}+...+X_{n} [/mm] ebenfalls absolut stetig und es folgt
[mm] E(e^{it(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})})=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{ X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}(x)*e^{itx}} dx=\integral_{-\infty}^{\infty}{P( X_{1}+X_{2}+...+X_{n}\le x)*e^{itx}} [/mm] dx
Nun weiß ich nicht mehr weiter. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich das starke Gesetz der großen Zahlen sinnvoll benutzen soll. Zudem weiß ich nicht wie man von der Verteilungsfunktion oder dem Wahrscheinlichkeitsmaß zu den Zufallsvariablen kommt.
Gruß Septime
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Hiho,
> Es gilt
> [mm]F_{X_{1}}=F_{X_{1}}=...=F_{X_{n}} \gdw \gamma_{X_{1}}=\gamma_{X_{2}}=...=\gamma_{X_{n}},[/mm]
>
> wobei [mm]\gamma_{X_{i}}[/mm] die charakteristische Funktion von
> [mm]{X_{i}}[/mm] ist.
das stimmt erst mal… ist aber absolut nicht zielführend.
Ich sehe auch nicht, wo du aus [mm] $(X_1\cdot\ldots\cdot X_n)$ [/mm] eine Summe gemacht hast… also noch deutlicher:
Verwende den Logarithmus und betrachte:
[mm] $Y_n [/mm] = [mm] \ln\left((X_1\cdot\ldots\cdot X_n )^{\frac{1}{n}}\right)$
[/mm]
1.) Forme [mm] $Y_n$ [/mm] geeignet um, um das starke Gesetz der großen Zahlen anwenden zu können.
2.) Berechne damit [mm] $\lim_{n\to\infty} Y_n$
[/mm]
3.) Aus [mm] $e^{Y_n} [/mm] = [mm] (X_1\cdot\ldots\cdot X_n )^{\frac{1}{n}}$ [/mm] folgt dann die gewünschte Aussage.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 19.06.2016 | | Autor: | Septime |
Vielen Dank! Ich habe den Trick mit dem Logarithmus vorher noch nicht gekannt
Stimmt das jetzt ?
Es gilt
$ [mm] Y_n [/mm] = [mm] \ln\left((X_1\cdot\ldots\cdot X_n )^{\frac{1}{n}}\right) [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{n}*ln(X_{1}*X_{2}*...*X_{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}ln(X_{i})
[/mm]
und mit dem starken Satz der großen Zahlen folgt
[mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}ln(X_{i}) \to E(ln(X_{1})) [/mm] fast sicher.
Außerdem ist [mm] X_{1} [/mm] gleichverteilt, daher gilt für [mm] b\in(0,1]
[/mm]
[mm] E(ln(X_{1}))=\limes_{b\rightarrow0}\bruch{ln(1)+ln(b)}{2}=-\infty, [/mm] also ist [mm] Y_{n}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}ln(X_{i}) \to -\infty [/mm] fast sicher
und damit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(X_1\cdot\ldots\cdot X_n )^{\frac{1}{n}} $=\limes_{n\rightarrow\infty}$ e^{Y_n} [/mm] = 0 fast sicher.
Gruß Septime
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:45 Mo 20.06.2016 | | Autor: | Septime |
Ich hoffe jetzt stimmt alles:
Alle [mm] X_{i} [/mm] sind u.i.v. Zufallsgrößen und die Logarithmusfunktion ist messbar, also ist [mm] (ln(X_{n})) [/mm] ebenfalls eine Folge u.i.v Zufallsgrößen.
Weiterhin gilt wegen Messbarkeit von der Logarithmusfunktion, mit der Gleichverteilung der [mm] X_{i} [/mm] und mit L'Hospital für i=1,...,n
[mm] E(ln(X_{i}))=\integral_{-\infty}^{\infty}{ln(x)f_{X_{i}}(x) dx}=\integral_{-\infty}^{\infty}{ln(x)\gamma_{[0,1]}(x) dx}=\limes_{b\rightarrow0}\integral_{b}^{1}{ln(x) dx}=-1\in\IR [/mm] und damit sind alle Voraussetzungen für den starken Satz der großen Zahlen erfüllt und es gilt
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(X_1\cdot\ldots\cdot X_n )^{\frac{1}{n}} [/mm] $=$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $$ [mm] e^{Y_n} $=\bruch{1}{e} [/mm] fast sicher.
Gruß Septime
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Hiho,
> Alle [mm]X_{i}[/mm] sind u.i.v. Zufallsgrößen und die
> Logarithmusfunktion ist messbar, also ist [mm](ln(X_{n}))[/mm]
> ebenfalls eine Folge u.i.v Zufallsgrößen.
> Weiterhin gilt wegen Messbarkeit von der
> Logarithmusfunktion, mit der Gleichverteilung der [mm]X_{i}[/mm] und
> mit L'Hospital für i=1,...,n
> [mm]E(ln(X_{i}))=\integral_{-\infty}^{\infty}{ln(x)f_{X_{i}}(x) dx}=\integral_{-\infty}^{\infty}{ln(x)\gamma_{[0,1]}(x) dx}=\limes_{b\rightarrow0}\integral_{b}^{1}{ln(x) dx}=-1\in\IR[/mm]
> und damit sind alle Voraussetzungen für den starken Satz der großen Zahlen erfüllt
Kommt drauf an, was ihr für Voraussetzungen definiert habt. Normalerweise setzt man noch [mm] $\ln(X_i) \in L^2$ [/mm] voraus (auch wenn man das eigentlich nicht braucht…). Solltet ihr das so definiert haben, musst du das natürlich auch prüfen.
> und es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(X_1\cdot\ldots\cdot X_n )^{\frac{1}{n}} [/mm]=[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm][mm] e^{Y_n}[/mm][mm] =\bruch{1}{e}[/mm] fast sicher.
Sofern du die anderen Schritte von vorher mit aufnimmst, ist das ok. So wäre mir das als Korrektor zu kurz.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Mo 20.06.2016 | | Autor: | Septime |
Alles klar! Danke, du hast mir sehr weitergeholfen!
Gruß Septime
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