Fatou --> Beppo Levi < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:33 Sa 15.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Die Aufgabe besteht darin zz., dass aus dem Lemma von Fatou der Satz über die monotone Konvergenz (bzw. Satz von Beppo Levi) folgt. |
Ich habe mich natürlich daran versucht, aber wie immer stellt sich mir die Frage, ob ich korrekt oder völlig falsch liege.
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Also erstmal habe ich mir jedenfalls die in Frage stehenden Aussagen angeguckt:
1.) Lemma von Fatou:
Es seien [mm] f_n:S\to [0,\infty] [/mm] messbare Funktionen. Dann gilt: [mm] \integral_{S}{\limes_{n\to \infty}\inf f_n d\mu} \leq \lim_{n \to \infty}\inf \int_S \! f_n \, d\mu\leq \lim_{n \to \infty}\sup\int_S \! f_n \, d\mu\leq \int_S \! \lim_{n \to \infty} \sup f_n \, d\mu [/mm] .
2.) Satz über die monotone Konvergenz bzw. Satz von Beppo Levi:
Seien [mm] f:S\to [0,\infty] [/mm] und [mm] f_1,f_2,...:S\to [0,\infty] [/mm] meßbar und gelte für alle [mm] s\in [/mm] S: [mm] f_1(s)\leq f_2(s)\leq [/mm] ... sowie [mm] \lim_{n \to \infty}f_n(s)=f(s).
[/mm]
Dann gilt für alle [mm] E\in \mathcal{A}: \lim_{n \to \infty}\int_E \! f_n \, d\mu [/mm] = [mm] \int_E \! [/mm] f [mm] \, d\mu.
[/mm]
Meine Aufgabe ist es nun zz., dass 1.) [mm] \Rightarrow [/mm] 2.).
Beweis [-versuch]:
Seien also [mm] f_n:S\to [0,\infty] [/mm] messbare Funktionen. Wegen des Wertebereichs sind es positive meßbare Funktionen. Dann gilt meines Wissens nach für das Integral (mit [mm] E\in \mathcal{A}):
[/mm]
[mm] \int_E \! f_n \, d\mu=\sup\left\{\int_E \! g \, d\mu:0\leq g\leq f_n\right\}\in [0,\infty], [/mm] wobei g Treppenfunktion ist.
Wenn man den Limes bildet, gilt doch:
[mm] \lim_{n \to \infty}\int_E \! f_n \, d\mu=\lim_{n \to \infty}\sup\left\{\int_E \! g \, d\mu:0\leq g\leq f_n\right\}.
[/mm]
Und weiter würde ich dann sagen [weil man ja voraussetzt, dass das Lemma von Fatou und somit obige Abschätzung unter 1. gilt]:
[mm] \lim_{n \to \infty}\underbrace{\sup\left\{\int_E \! g \, d\mu:0\leq g\leq f_n\right\}}_{\int_E \! f_n \, d\mu} \leq \int_E \! \lim_{n \to \infty}\sup f_n \, d\mu.
[/mm]
D.h.
[mm] \lim_{n \to \infty}\int_E \! f_n \, d\mu\leq \int_E \! \lim_{n \to \infty}\sup f_n \, d\mu [/mm] [Oder?]
Ich habe mir nun Folgendes überlegt:
Wenn man in der Situation ist, dass die [mm] f_n [/mm] monoton wachsend gegen f konvergieren, ergibt sich doch der Satz über die monotone Konvergenz, oder?
Ich bin daher zu dem Schluss gekommen, dass das Lemma von Fatou den Satz über die monotone Konvergenz als "Spezialfall" enthält. Damit würde ich die Aussage als bewiesen ansehen.
Ist der Beweis korrekt (kann man das so machen)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Mo 17.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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