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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:27 Do 05.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo zusammen,
ich arbeite gerade die Übungsaufgaben aus dem Werk Anschauliche Funktionentheorie von T. Needham durch und bin bei folgender Aufgabe auf eine Unstimmigkeit gestoßen:
Betrachten Sie [mm] (a+ib)(cos\theta+i*sin\theta) [/mm] und zeigen Sie
[mm] b*cos\theta+a*sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}*sin\left(\theta+tan^{-1}\left(\bruch{b}{a}\right)\right)
[/mm]
Gleich zu Beginn möchte ich anmerken, dass ich die Schreibweise des Arkustangens so aus dem betreffenden Buch übernommen habe.
Nun, die Aufgabe selbst ist schnell abgehandelt. Man multipliziert einmal per Distributivgesetz aus:
[mm] (a+ib)(cos\theta+i*sin\theta)=a*cos\theta+i*a*sin\theta+i*b*cos\theta-b*sin\theta=a*cos\theta-b*sin\theta+i*\left(b*cos\theta+a*sin\theta\right)
[/mm]
Nun die gleiche Multiplikation, indem man die Beträge multipliziert und die Argumente addiert:
[mm] (a+ib)(cos\theta+i*sin\theta)=\wurzel{a^2+b^2}*1*\left(cos\left(\theta+arctan\left(\bruch{b}{a}\right)+k*\pi\right)+i*sin\left(\theta+arctan\left(\bruch{b}{a}\right)+k*\pi\right)\right)
[/mm]
mit [mm] k\in\{0;1;2\} [/mm] abhängig vom Quadranten. Wenn man jetzt die beiden Imaginärteile miteinander vergleicht, so ist die Behauptung gezeigt.
Was mich an dieser Aufgabe stutzig gemacht hat, ist allein die Schreibweise [mm] tan^{-1}(x) [/mm] für das Argument der Zahl z=a+ib. Versteht hier der amerikanische Autor etwas anderes als wir unter arctan(x) oder ist dem Autor hier (und dann auch an anderen Stellen des betreffenden Werkes) schlicht und ergreifend ein Fehler unterlaufen? Denn dass man mal im vierten Quadranten die [mm] 2\pi [/mm] weglässt, mag ja hingehen, aber im zweiten und dritten Quadranten hätte das meiner Ansicht nach beim Sinus eine Vorzeichenumkehr zur Folge.
Bevor ich also jetzt vorschnell den Autor dieses sehr guten Buches eines Fehlers bezichtige, wollte ich eben nachfragen, ob es da im angloamerikanischen irgendwelche Lässlichkeiten bei der Schreibweise gibt nach dem Motto: denkt euch das passende Vielfache von [mm] \pi [/mm] selbst dazu oder etwas in der Art. 
Vielen Dank für jede Antwort!
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Do 05.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Hallo Diophant,
1. Ich kann mir nicht vorstellen, dass mit [mm] tan^{-1} [/mm] etwas anderes gemeint sein kann als $arctan$
2. Die Gleichung
$ [mm] b\cdot{}cos\theta+a\cdot{}sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}\cdot{}sin\left(\theta+tan^{-1}\left(\bruch{b}{a}\right)\right) [/mm] $
ist falsch !
Ist z.B. b=0, so lautet die Gleichung
[mm] a\cdot{}sin\theta=|a|\cdot{}sin\theta,
[/mm]
was aber im Falle [mm] sin\theta \ne [/mm] 0 und a<0 falsch ist.
Ist z.B. a=1=b, so lautet die Gleichung
Edit: ich meinte a=-1 und b=1
[mm] cos\theta+sin\theta=cos\theta-sin\theta,
[/mm]
auch das ist falsch.
Gruß FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Do 05.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin FRED,
> Hallo Diophant,
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> 1. Ich kann mir nicht vorstellen, dass mit [mm]tan^{-1}[/mm] etwas
> anderes gemeint sein kann als [mm]arctan[/mm]
>
> 2. Die Gleichung
>
>
> [mm]b\cdot{}cos\theta+a\cdot{}sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}\cdot{}sin\left(\theta+tan^{-1}\left(\bruch{b}{a}\right)\right)[/mm]
>
> ist falsch !
>
> Ist z.B. b=0, so lautet die Gleichung
>
> [mm]a\cdot{}sin\theta=|a|\cdot{}sin\theta,[/mm]
>
> was aber im Falle [mm]sin\theta \ne[/mm] 0 und a<0 falsch ist.
>
> Ist z.B. a=1=b, so lautet die Gleichung
>
> [mm]cos\theta+sin\theta=cos\theta-sin\theta,[/mm]
>
> auch das ist falsch.
>
> Gruß FRED
vielen Dank für die rasche Rückmeldung. Sehe ich das dann aber richtig, dass 'meine Version' der Gleichung, also
[mm] b*cos\theta+a*sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}*sin\left(\theta+arctan\left(\bruch{b}{a}\right)+k*\pi\right)
[/mm]
mit geeignetem k* aus [mm] \{0;1;2\}
[/mm]
stimmt?
Gruß, Diophant
*Irgendwann, wenn ich groß bin, lerne ich auch noch richtig LaTeX... 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Do 05.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Moin FRED,
>
> > Hallo Diophant,
> >
> > 1. Ich kann mir nicht vorstellen, dass mit [mm]tan^{-1}[/mm]
> etwas
> > anderes gemeint sein kann als [mm]arctan[/mm]
> >
> > 2. Die Gleichung
> >
> >
> >
> [mm]b\cdot{}cos\theta+a\cdot{}sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}\cdot{}sin\left(\theta+tan^{-1}\left(\bruch{b}{a}\right)\right)[/mm]
> >
> > ist falsch !
> >
> > Ist z.B. b=0, so lautet die Gleichung
> >
> > [mm]a\cdot{}sin\theta=|a|\cdot{}sin\theta,[/mm]
> >
> > was aber im Falle [mm]sin\theta \ne[/mm] 0 und a<0 falsch ist.
> >
> > Ist z.B. a=1=b, so lautet die Gleichung
> >
> > [mm]cos\theta+sin\theta=cos\theta-sin\theta,[/mm]
> >
> > auch das ist falsch.
> >
> > Gruß FRED
>
> vielen Dank für die rasche Rückmeldung. Sehe ich das dann
> aber richtig, dass 'meine Version' der Gleichung, also
>
> [mm]b*cos\theta+a*sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}*sin\left(\theta+arctan\left(\bruch{b}{a}\right)+k*\pi\right)[/mm]
>
> mit geeignetem k* aus [mm]\{0;1;2\}[/mm]
>
>
> stimmt?
Ja, das sehe ich auch so
FRED
>
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> Gruß, Diophant
>
> *Irgendwann, wenn ich groß bin, lerne ich auch noch
> richtig LaTeX...
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Do 05.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
vielen Dank für die Antworten. MatheRaum&FRED: da werden Sie geholfen.
Beste Grüße&schönen Tag, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Do 05.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> vielen Dank für die Antworten. MatheRaum&FRED: da werden
> Sie geholfen.
Kaum zu glauben:
http://de.wikipedia.org/wiki/Verona_Pooth
und Diophant
http://de.wikipedia.org/wiki/Diophantos_von_Alexandria
und ich habs auch geschafft (mit Familie !)
http://de.wikipedia.org/wiki/Familie_Feuerstein
FRED
>
> Beste Grüße&schönen Tag, Diophant
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![[]](http://de.wikipedia.org/wiki/Familie_Feuerstein#mediaviewer/Datei:Harikalar_Diyari_Flintstones_06018_nevit.jpg){kind=small}
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