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Fehler oder Schreibweise?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:27 Do 05.06.2014
Autor: Diophant

Hallo zusammen,

ich arbeite gerade die Übungsaufgaben aus dem Werk Anschauliche Funktionentheorie von T. Needham durch und bin bei folgender Aufgabe auf eine Unstimmigkeit gestoßen:

Betrachten Sie [mm] (a+ib)(cos\theta+i*sin\theta) [/mm] und zeigen Sie

[mm] b*cos\theta+a*sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}*sin\left(\theta+tan^{-1}\left(\bruch{b}{a}\right)\right) [/mm]

Gleich zu Beginn möchte ich anmerken, dass ich die Schreibweise des Arkustangens so aus dem betreffenden Buch übernommen habe.

Nun, die Aufgabe selbst ist schnell abgehandelt. Man multipliziert einmal per Distributivgesetz aus:

[mm] (a+ib)(cos\theta+i*sin\theta)=a*cos\theta+i*a*sin\theta+i*b*cos\theta-b*sin\theta=a*cos\theta-b*sin\theta+i*\left(b*cos\theta+a*sin\theta\right) [/mm]

Nun die gleiche Multiplikation, indem man die Beträge multipliziert und die Argumente addiert:

[mm] (a+ib)(cos\theta+i*sin\theta)=\wurzel{a^2+b^2}*1*\left(cos\left(\theta+arctan\left(\bruch{b}{a}\right)+k*\pi\right)+i*sin\left(\theta+arctan\left(\bruch{b}{a}\right)+k*\pi\right)\right) [/mm]

mit [mm] k\in\{0;1;2\} [/mm] abhängig vom Quadranten. Wenn man jetzt die beiden Imaginärteile miteinander vergleicht, so ist die Behauptung gezeigt.

Was mich an dieser Aufgabe stutzig gemacht hat, ist allein die Schreibweise [mm] tan^{-1}(x) [/mm] für das Argument der Zahl z=a+ib. Versteht hier der amerikanische Autor etwas anderes als wir unter arctan(x) oder ist dem Autor hier (und dann auch an anderen Stellen des betreffenden Werkes) schlicht und ergreifend ein Fehler unterlaufen? Denn dass man mal im vierten Quadranten die [mm] 2\pi [/mm] weglässt, mag ja hingehen, aber im zweiten und dritten Quadranten hätte das meiner Ansicht nach beim Sinus eine Vorzeichenumkehr zur Folge.

Bevor ich also jetzt vorschnell den Autor dieses sehr guten Buches eines Fehlers bezichtige, wollte ich eben nachfragen, ob es da im angloamerikanischen irgendwelche Lässlichkeiten bei der Schreibweise gibt nach dem Motto: denkt euch das passende Vielfache von [mm] \pi [/mm] selbst dazu oder etwas in der Art. :-)

Vielen Dank für jede Antwort!

Gruß, Diophant
 

        
Bezug
Fehler oder Schreibweise?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 Do 05.06.2014
Autor: fred97

Hallo Diophant,

1. Ich kann mir nicht vorstellen, dass mit [mm] tan^{-1} [/mm] etwas anderes gemeint sein kann als $arctan$

2. Die Gleichung


$ [mm] b\cdot{}cos\theta+a\cdot{}sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}\cdot{}sin\left(\theta+tan^{-1}\left(\bruch{b}{a}\right)\right) [/mm] $

ist falsch !

Ist z.B. b=0, so lautet die Gleichung

    [mm] a\cdot{}sin\theta=|a|\cdot{}sin\theta, [/mm]

was aber im Falle [mm] sin\theta \ne [/mm] 0 und a<0 falsch ist.

Ist z.B. a=1=b, so lautet die Gleichung

Edit: ich meinte a=-1 und b=1

   [mm] cos\theta+sin\theta=cos\theta-sin\theta, [/mm]

auch das ist falsch.

Gruß FRED

Bezug
                
Bezug
Fehler oder Schreibweise?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Do 05.06.2014
Autor: Diophant

Moin FRED,

> Hallo Diophant,

>

> 1. Ich kann mir nicht vorstellen, dass mit [mm]tan^{-1}[/mm] etwas
> anderes gemeint sein kann als [mm]arctan[/mm]

>

> 2. Die Gleichung

>
>

> [mm]b\cdot{}cos\theta+a\cdot{}sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}\cdot{}sin\left(\theta+tan^{-1}\left(\bruch{b}{a}\right)\right)[/mm]

>

> ist falsch !

>

> Ist z.B. b=0, so lautet die Gleichung

>

> [mm]a\cdot{}sin\theta=|a|\cdot{}sin\theta,[/mm]

>

> was aber im Falle [mm]sin\theta \ne[/mm] 0 und a<0 falsch ist.

>

> Ist z.B. a=1=b, so lautet die Gleichung

>

> [mm]cos\theta+sin\theta=cos\theta-sin\theta,[/mm]

>

> auch das ist falsch.

>

> Gruß FRED

vielen Dank für die rasche Rückmeldung. Sehe ich das dann aber richtig, dass 'meine Version' der Gleichung, also

[mm] b*cos\theta+a*sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}*sin\left(\theta+arctan\left(\bruch{b}{a}\right)+k*\pi\right) [/mm]

mit geeignetem k* aus [mm] \{0;1;2\} [/mm]


stimmt? :-)


Gruß, Diophant

*Irgendwann, wenn ich groß bin, lerne ich auch noch richtig LaTeX... ;-)

 

Bezug
                        
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Fehler oder Schreibweise?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Do 05.06.2014
Autor: fred97


> Moin FRED,
>  
> > Hallo Diophant,
>  >
>  > 1. Ich kann mir nicht vorstellen, dass mit [mm]tan^{-1}[/mm]

> etwas
>  > anderes gemeint sein kann als [mm]arctan[/mm]

>  >
>  > 2. Die Gleichung

>  >
>  >
>  >

> [mm]b\cdot{}cos\theta+a\cdot{}sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}\cdot{}sin\left(\theta+tan^{-1}\left(\bruch{b}{a}\right)\right)[/mm]
>  >
>  > ist falsch !

>  >
>  > Ist z.B. b=0, so lautet die Gleichung

>  >
>  > [mm]a\cdot{}sin\theta=|a|\cdot{}sin\theta,[/mm]

>  >
>  > was aber im Falle [mm]sin\theta \ne[/mm] 0 und a<0 falsch ist.

>  >
>  > Ist z.B. a=1=b, so lautet die Gleichung

>  >
>  > [mm]cos\theta+sin\theta=cos\theta-sin\theta,[/mm]

>  >
>  > auch das ist falsch.

>  >
>  > Gruß FRED

>  
> vielen Dank für die rasche Rückmeldung. Sehe ich das dann
> aber richtig, dass 'meine Version' der Gleichung, also
>  
> [mm]b*cos\theta+a*sin\theta=\wurzel{a^2+b^2}*sin\left(\theta+arctan\left(\bruch{b}{a}\right)+k*\pi\right)[/mm]
>  
> mit geeignetem k* aus [mm]\{0;1;2\}[/mm]
>  
>
> stimmt? :-)

Ja, das sehe ich auch so

FRED

>  
>
> Gruß, Diophant
>  
> *Irgendwann, wenn ich groß bin, lerne ich auch noch
> richtig LaTeX... ;-)
>  
>  


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Fehler oder Schreibweise?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:32 Do 05.06.2014
Autor: Diophant

Hallo FRED,

vielen Dank für die Antworten. MatheRaum&FRED: da werden Sie geholfen. :-)

Beste Grüße&schönen Tag, Diophant

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Fehler oder Schreibweise?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:44 Do 05.06.2014
Autor: fred97


> Hallo FRED,
>  
> vielen Dank für die Antworten. MatheRaum&FRED: da werden
> Sie geholfen. :-)

Kaum zu glauben:

http://de.wikipedia.org/wiki/Verona_Pooth

und Diophant

http://de.wikipedia.org/wiki/Diophantos_von_Alexandria

und ich habs auch geschafft (mit Familie !)

http://de.wikipedia.org/wiki/Familie_Feuerstein


FRED

>  
> Beste Grüße&schönen Tag, Diophant


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Fehler oder Schreibweise?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 Do 05.06.2014
Autor: Diophant

Hallo nochmal,

> http://de.wikipedia.org/wiki/Familie_Feuerstein

LOL. Dann haben wir hier jetzt endlich auch mal ein []Bild von dir. :-)

Gruß, Diophant

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